LOGARITMOS
1
Recordemos el concepto de potencia
a0  1
a1  a
a2  a  a
M
a n  a  a  a  a  a K a  n veces 
Sus propiedades:
a a  a
n
m
 a  b
n
n m
a b
n n
 
a
n
an
am
n
an
a
b  n
b
 
m
a
n
 an m
 a n m

1
an
2
Realizar las operaciones y contestar las preguntas:
2  16
¿A qué potencia tuvimos que elevar el número 2
para que el resultado fuera 16?
4
7  343
¿A qué potencia tuvimos que elevar el número 7
para que el resultado fuera 343? 3
4
3
5
2
3 
0
1
 25
1
¿A qué potencia tuvimos que elevar al número 5
para que el resultado fuera 1/25? -2
¿A qué potencia tuvimos que elevar el número 3
para que el resultado fuera 1?
0
3
Ahora el exponente va a ser una incógnita. Encontrar su valor
teniendo en cuenta la misma pregunta.
8  64
x
5x 
1
25
¿ A qué potencia tuvimos que elevar el número 8
para que el resultado fuera 64 ?
x=2
¿ A qué potencia tuvimos que elevar el número 5
para que el resultado fuera 1/25 ?
x=-2
¿A qué potencia tuvimos que elevar el número 6
6  216
para que el resultado fuera 216 ?
x=3
x
5x  5
¿A qué potencia tuvimos que elevar el número 5
para que el resultado fuera 5 ?
x=1
4x  1
¿A qué potencia tuvimos que elevar el número 4
para que el resultado fuera 1 ?
x=0
4
OPERACIÓN LOGARITMO
5x  5
si
1
8 
si
64
x
x 1
log5 5  x
x  2
log8
2 x  16 si x  4
3x  1
si x  0
9  3 si
x
1
x
2
1
x
64
log216  x
log31  x
log9 3  x
x 1
log5 5  1
x  2
1
log8
 2
64
x4
log216  4
x0
x
1
2
log31  0
log9 3 
5
1
2
OPERACIÓN LOGARITMO
5
x
 125
log 5 125  x
Generalizando la equivalencia:
a
! OJO ¡
n
b
log a b  n
a 1
a0
6
log2 32  x
2  32
Descomponiendo
x
log8 2  x
log3 1  x
100
Descomponiendo y
con propiedades
de potencias
10 x  10 2
x  2
x 1
10 
x
82
x
3 1
3 x  30
32  2
x 5
2 x  25
1
log10
 x
100
5
2 
3
x
1
2
-2
1
 10
100
1
x
3
3x  1
Propiedad de
potencias
0
13
x 0
7
Logaritmo base 10
La notación científica expresa números en potencias de
10, de ahí, se toma que los logaritmos en base 10 se
llaman logaritmos comunes.
El símbolo log x , se usa como una abreviatura de log10 x
siempre que x>0
log 1 = 0
log 10 x =
x
log 10 = 1
10log
x
1
log
= 2
100
log  -100  =
x
=
No está definido
8
Definición de e
En administración, se utiliza la fórmula del interés compuesto
para determinar en un número de n periodos por año la
cantidad acumulada de capital
1

A  C  1 
n

n
Si se evalúa la expresión: 1  1 
n
1
10
(1+1/n)n
2,0
2,59374
1000
100000
2,71692
2,71826
n


Donde A es la cantidad
acumulada de un capital C
en n periodos de
rendimiento.
n
n
1

 1  n   e  2 , 7182


n
Tenemos que e es un número
irracional tal que: 2< e < 3
9
Logaritmo en base e
Por ser entonces e, una base importante en la
administración se define loge x = ln x
Los logaritmos base e, se llaman logaritmos
naturales y se expresan como ln x
e x  e si
2
e e
x
e 
x
1
3
e
si
x=1
x=2
si x = -3
ln e = x
x 1
ln e 2 = x
x2
ln
1
e
3
=x
x  3
lne = 1
ln e 2 = 2
ln
1
e
3
= -3
10
PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS
log 1  x
3
3x  1
1 x
log1

4
4
1
1

4
4
 
log 3
3
5log 5
x
y x
y
x
 =
log5 -5
30  1
x
x
3 =3
1
1
1

4
4
 
log5 x = log5 y
5 x  5
El log a x,
a1  a
x=y
y
x 1
loga 1  0
loga a  1
loga a x = x
x=y
x =
si x≤0
x0
a0  1
a loga
x
=x
?
no está definido.
11
PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS
Multiplicación.
log  A B  
a
log A  log B
a
a
A
División: loga    loga A  loga B
B
Potencia: loga B  
n
Cambio de base:
logu b
loga b =
logu a
n loga B
loga b =
log b
log a
ln b
loga b =
ln a
En logaritmos
comunes
En logaritmos
naturales
12
Encontrar el valor de las siguientes expresiones:
a.) log 2 + log 5= log(2·5) =log10 =1
b.) 3·log10 –log(1/10) = log 103 – log10-1
= log (103/ 10-1)
= log(104)
=4
c.) log3 8 
log8 0 , 9031

 1 , 8928
log3 0 , 4771
31 ,8928  8
ln8 2 , 0794

 1, 8928
ln3 1, 0986
13
Descargar

Logaritmo y exponencial