ANALISIS DE FRECUENCIA EN
HIDROLOGIA (3)
Profesor Luis F. Carvajal
Universidad Nacional de Colombia
Facultad de Minas
Escuela de Geociencias y Medio Ambiente
Distribuciones de Probabilidad
• Distribuciones discretas
– Distribución Binomial
– Distribución Poisson
– Distribución Geométrica
• Distribuciones continuas
–
–
–
–
–
–
Distribución
Distribución
Distribución
Distribución
Distribución
Distribución
Exponencial
Normal
Log Normal
Gamma
Log Pearson tipo III
General de Valor Extremo
DISTRIBICIONES DE
PROBABILIDAD DISCRETA
Distribución Binomial
Un ejemplo de los ensayos de Bernoulli es lanzar una moneda. Los
ensayos operan bajo tres condiciones:
1.
2.
3.
Cualquier ensayo solo puede tener uno o dos posibles resultados,
éxito o falla, llueve o no llueve.
Ensayos sucesivos son independientes.
Las probabilidades son constantes.
Bajo estas tres condiciones la probabilidad de x éxitos en n ensayos,
está dada por la distribución Binomial como:
Donde:
n
 
 x
 n  x n x
p ( x )    p q
x
Es el número de combinaciones de n eventos tomando x a
la vez.
n!
n

 
 x  x! ( n  x )!
p es la probabilidad de ocurrencia de un evento, por ejemplo la
probabilidad de éxito en lanzar una moneda, q es la probabilidad de
falla.
q  1 p
x es la variable o el número de ensayos con éxito.
Ejemplo: Distribución Binomial
Suponga que una presa tiene una vida útil de 50 años y se desea
evaluar la probabilidad que una inundación, con un periodo de
retorno de 100 años, ocurra una vez durante la vida útil de la presa.
p  1 / T  0 . 01
q  1  p  0 . 99
x 1
 50  1
49
p (1)    0 . 1 0 . 99  0 . 306
1 
n  50
Por lo tanto, es alrededor de 31% de probabilidad que un evento de
tal magnitud pueda ocurrir una vez en la vida útil de la presa
Distribución Poisson
Una expansión binomial es un pequeño inconveniente para calcular
números grandes.
•
•
•
•
P es pequeño (p < 0.1)
n es grande (n > 30)
La media np es constante.
p 0, q  1, n  ∞
( p  q)  e
n


e  e

 e

 e
2


 .....
2!
Esta es conocido como la expansión Poisson y es generalmente escrita
como:
x 
p( x) 
 e
x!
Donde:
 = np es la media.
La distribución binomial finita puede ser aproximada por la
distribución Poisson infinita, siempre que se apliquen las
siguientes 4 condiciones:
1.
2.
3.
4.
Número de eventos es discreto
Dos eventos no pueden coincidir
La media del número de eventos en el tiempo es constante
Los eventos son independientes
Ejemplo: Distribución Poisson
Tomando el ejemplo anterior, la probabilidad que una inundación
con periodo de retorno de 100 años pueda ocurrir una vez en 50
años será:
1
p (1) 
0 .5 e
 0 .5
 0 . 303
1!
Comparado con el resultado de la distribución binomial, p(1) =
0.306, es similar.
Distribución Geométrica
RECORDANDO:
En una secuencia de Bernoulli, el número de ensayos hasta que un evento
específico ocurra por primera vez es modelado por la distribución geométrica.
Éxito  ensayo t + n
Falla  ensayo t – 1
Si T  v.a. apropiada:
P (T  t )  pq
T 1
t  1, 2 , ....
Periodo de retorno  Tiempo de recurrencia promedio para que un
evento de cierta magnitud sea igualado o excedido.
DISTRIBICIONES DE
PROBABILIDAD CONTINUA
Distribución Exponencial
Consideraciones:
• Proceso de eventos aleatorios (los parámetros no cambian con
el tiempo).
• No es posible tener mas de un evento en cualquier instante.
• Descripción de un proceso Poisson.
• La v.a. t representa el tiempo entre tormentas.
 t
Función de Densidad: f ( t )   e ,
La media es:
La varianza es:
t0
E (t )  1 / 
 (t )  1 / 
2
2
La función de distribución acumulada es:
F (t ) 

t
0
e
 t
d  1  e
 t
Ejemplo: Distribución exponencial
En un año en un sitio determinado ocurren 110 tormentas independientes
con una duración promedio (todas) de 5.3 h. El intervalo entre tormentas
es:
t 
8760  110  5 . 3
 = 1/ λ
 74 . 3 h
λ = 1/74.3 = 0.0135 h-1
110
a) Cuál es la probabilidad de que pasen al menos 4 días (96 h) entre
tormentas?
P(t  96) =1- F(96)
96
F ( 96 ) 
 e
 t
dt  1  e
 t
0
P ( t  96 )  1  1  e
 t
e
 0 . 0135 * 96
 0 . 27
b) Cual es la probabilidad de que el tiempo entre dos tormentas sea
exactamente 12 horas?
P(t = 12)= 0
la probabilidad que una V.A continua valga
cero en un intervalo es cero.
c) Cual es la probabilidad que la separación entre 2 tormentas sea
menor o igual que 12 h?
Distribución Log Normal
En general, cuando la variable aleatoria X es el producto de un gran
número de otras variables aleatorias, la distribución de los logaritmos
de X puede aproximarse a la Normal, ya que los logaritmos de X son la
suma de los logaritmos de los factores contribuyentes.
Si se tiene una variable aleatoria X y ln X = Y, se ajusta a una
distribución Normal, se dice que la variable aleatoria X es log
normalmente distribuida.
• Función de Distribución de Probabilidad
Asumiendo Y = loga (X)

 1 y -μ
1
y
f(x) =
exp  2
2
σ y x 2π
σ
y


2



Parámetros y Factor de frecuencia
• Media (Parámetro de escala)
• Desviación estandar (Parámetro de forma)
Estimación de parámetros: Método de los momentos

ˆY 
1
N
N
 log
a
(X i)
i 1
ln  X T  =  y + K  y

ˆY
 1  N
2

     log a ( X i )  
ˆY 
  N  i 1

1 2
K es la misma de la distribución normal
Si se quiere trabajar con la variable no transformada en el campo
logarítmico se tiene que:

 ln 1 + Cv 2   
2 1/2
exp K T ln 1 + Cv  - 
 - 1
2



K =
Cv
K
Fu
1
-1
T

= F u 1 
1 
T
r


Es el inverso de la función de distribución Normal
estandarizada acumulada y Cv es el coeficiente
de variación
1 

1 

T


• Intervalos de confianza
: Nivel de confianza o significancia
ST: Error estándar
ln  X T   u 1 -  2 S T
ST = 
Y
N
2

KT
 =  1 +
2




1/2
Ejemplo: Distribución Log Normal
La media y desviación estándar de los Qmax anuales de la estación
del río Nare son:
μ=94.35 m3/s y σ=22.45 m3/s
μY=4.52 y σY=0.2337
Hallar el QTR=100 si los Qmax tienen una distribución Log Normal.
K=2.326
QY
Tr=100=4.52+2.326*0.237
QTr=100=159 m3/s
Intervalos de Confianza: Ln(QTR=100) μ95ST
Es un intervalo de dos colas, con una probabilidad en cada una de
1/2
5%
2
S
T
= 
Y
N

K T
 =  1 +
2

δ=1.92
ST=0.075
4.94  QY  5.14
5.0711.6*0.075
139159 170 m3/s




Distribución Gamma (2 Parámetros)
Una de las mas usadas en Hidrología.
 x
f(x) =
 
|  | (  )   
1
•
•
•
•
•
Crecientes máximas anuales
Caudales mínimos
Volúmenes de flujo anuales y
estacionales
Valores de precipitaciones extremas
Volúmenes de lluvia de corta
duración
Tiene 2 ó 3 parámetros (Pearson Tipo
III).
 -1
-
x
e
Parámetros y Factor de frecuencia
•  (Parámetro de escala)
•  > 0 (Parámetro de forma)
•  () es la función Gamma completa

z
 ( ) =
 -1
-z
e dz
0
Estimación de parámetros: Método de los momentos
 = 
2
2
 = 
ˆ=

1
ˆv
C

ˆ


ˆ
ˆ

2
2
K  K T + (K t  1)
2
3
 ˆ 
 ˆ 
2
3
ˆ 1
+ (K T  6K T )    (K T  1)   + K T
6 3
6
6
4
 ˆ  1  ˆ 
    
6 36
5
Distribución Gamma (3 Parámetros)
• Función de distribución de probabilidad
 x - xo 
f(x) =


| α | Γ(β)  α 
1
β -1
 x - xo 
exp  
α 

• Función de densidad acumulada
P ( X  x) 
1
( )
X
e
 x  x0 





x  x0 


 

0
 1
• Parámetros
 y , parámetros de escala y forma respectivamente.
xo parámetro de localización.

 ( ) =

0
z
 -1
e
-z
dz
dx
Parámetros e Intervalos de confianza (Función
Gamma)
• Estimación de Parámetros: Método de los momentos
 2 
ˆ = 





ˆ


2

ˆ = 
ˆ

ˆ
2
ˆ
ˆ0 = 
ˆ
ˆ
X
Que tan cercano puede estar el estimado al verdadero valor
desconocido de la población: Conocer con cierta certeza. Franja
grande: mucha incertidumbre.
X T  u1  2 S T
: Nivel de confianza o nivel de probabilidad
ST: Error estándar
ST = 

N
Tabla Factor de frecuencia
Pearson tipo III
Valores de para la Distribución Gamma ó
Pearson tipo III
Ejemplo: Distribución Gamma
Hallar el QTR=100. Si la distribución de los caudales de la estación de Nare
es Gamma.
μ = 94.35 m3/s y σ = 22.45 m3/s, γ = 0.845
μY = 4.52 y σY = 0.2337, Y = 0.0069
De tabla:
K = 2.32
QTR=100 = 94.35 + 2.32*22.45 = 146.4
Intervalos de confianza:
X T  u 1 
2
ST
De tabla δ=4.7, N= 36 datos.
ST  
De tabla 95=1.6

N
ST = 17.6
146,4 1.6*17.6
146.4  28.16 m3/s
Distribución Log Pearson Tipo III
• Función de distribución de probabilidad
 ln (x) - y o 
f x (x) =

x   (  ) 


1
 -1
e
 ln (x) - y o 
-




• Parámetros
 y , parámetros de escala y forma
y yo parámetro de localización
• Estimación de Parámetros
Método de los momentos
 2
ˆ  


 ˆy




2

ˆ =
ˆy
ˆ y
2
ˆ
y0  
ˆ
ˆ
ˆy  
• Factor de Frecuencia:
Y T = ln X T = 
ˆy + K 
ˆy
• Intervalos de Confianza: Que tan cercano puede estar el
estimado al verdadero valor desconocido de la población: Conocer
con cierta certeza. Franja grande: mucha incertidumbre.
X T  u1-  2 S T
: Nivel de confianza o nivel de probabilidad
ST: Error estándar

y
ˆ
ST = 
N
ln X T   1   / 2 S T
Distribución General de Valor Extremo
Los valores extremos son valores máximos y mínimos seleccionados de
un conjuntos de datos.
Las distribuciones de valores extremos seleccionados de conjuntos de
muestras de cualquier distribución de probabilidad convergen en una
de las tres formas de distribución de valor extremo, llamadas:
• Tipo I: Gumbel, g=1.14
• Tipo II: Frechet g<=1.14
• Tipo III: Weibull g>=1.14
• Función de Distribución de probabilidad para la GEV
1/
 
x  
F(x) = exp  -  1 - 
 
  
 
Donde:
,  y  son parámetros que deben ser determinados.
Los tres casos limitantes son:
1.
 = 0  Distribución de Valor Extremo Tipo I (Gumbel)
f(x) =
Rango:
 x-
exp  - exp

 
1
 x-
 



-  x  
Estimación de parámetros:
  x  0 .5772 

ˆ =
6


ˆ
2.  < 0  Distribución de Valor Extremo Tipo II (Frechet)
1/
 
x  
f(x) = exp  -  1 - 
 
  
 
Rango: (    /  )  x  
3.  > 0  Distribución de Valor Extremo Tipo III (Weibull)
1/
 
x  
f(x) = exp  -  1 - 
 
  
 
Rango:    x  (    /  )
Distribución Gumbel
La fda y el factor de frecuencias es:

F(x)  exp  - exp

K=•
6

0.577
 x






 x
+ ln ln Tr - ln Tr - 1 
Intervalos de confianza: Que tan cercano puede estar el estimado al
valor verdadero desconocido de la población.
X T  u1- 
2
ST
: Nivel de confianza o nivel de probabilidad
ST: Error estándar
^
ST = 

N
 = 1 + 1.1396K + 1.1 K 2 
1/2
Ejemplo: Distribución Gumbel
Si los caudales de la estación del río Nare tienen una
distribución Gumbel:
Q Tr   95 S T
K 100 

6

0 .577
 ln ln T R  ln(T R  1 ) 
KTr=100 = 3.13
Q Tr 100    K 
Q Tr 100 94 . 35  3 . 13  22 . 45  164 . 77
Intervalos de confianza:
Ejemplo: Distribución Gumbel
ST = 

N
 = 1 + 1.1396K + 1.1 K 2 
1/2
δ = 3.91
ST = 14.62
QTR  1.6*14.62
141.4  164.77  188.17 m3/s
Descargar

distribución de valor extremo