Ecuaciones logarítmicas y
exponenciales
Ejercicios
Leyes de exponentes
a 1
0
a
n

(a  0)
1
a
n
n
(a  0)
a a a
mn
(a )  a
mn
m
n
m
n
ab 
n
a b
n
n
a
a
   n
b
b
a
m
a
n
a
mn
n
Radicales
n
 a
n
n
a a
a
n
a
n
n
1
n
a
(a  0)
n
a
ab 

b
n
a
m

 a
n
m
a
m
n
m n
n
a
n
b
a 
n
a
n
b
(b  0 )
mn
a
Ecuaciones exponenciales
Ecuación exponencial es aquella en donde la incógnita se encuentra
como exponente.
Ejemplo:
2 8
x
Para resolver una ecuación exponencial (determinar el (los) valor(es)
de la incógnita para los cuales la igualdad se cumple) se hace uso de
las leyes de exponentes o bien de las propiedades de logaritmos.
Veamos cómo resolver la ecuación del ejemplo usando leyes de
exponentes:
2 8
x
2 2
x
x3
3
Factorizamos el 8 y lo expresamos con
exponente y como las bases son iguales
podemos igualar los exponentes, de esta forma
determinamos el valor de “x” que hace que la
igualdad se verifique.
Ejemplos
Resolver:
1
4 
x
5
256
4 
x
1
4
4 4
x
x  4
5
x 1
x 1
 0 .2
2
1
2
5
2

4
4
5
x 1
5
1
1 x
4
1 x
 (2 )
1 x
2
3 3
x
2x
2
2x
4x
3
3
2 x3
x 2 x3
3 x3
3
3
3
5
1 x  4x
x  1  1
3x  3  5
 x  4 x  1
x  1  1
3x  5  3
 5 x  1
3x  8
x  2
x
x
1
5
1
x
5
8
3
5
Nota: Siempre debes verificar tus resultados ya que puedes obtener
soluciones extrañas que no cumplen con la igualdad.
5
Tarea: Resuelve las siguientes ecuaciones en tu libreta.
5
2
x
 15625
1  x
2

7
1
3
x2
 343
x 1
 729
32
2 2
x
x 1
 32
Logaritmos
El logaritmo de un número es igual al exponente al que tiene que estar
elevada la base del logaritmo para obtener dicho número.
Existe dos tipos de logaritmos:
Logaritmo vulgar (base 10, decimal o común)
Log b a  c
b a
c
El logaritmo base “b” de “a” es igual a “c”
Logaritmo natural (neperiano):
ln a  b
e a
b
El logaritmo natural de “a” es igual a “b”
Definición de logaritmo
Reescribe las siguientes cantidades en forma logarítmica y verifica el
resultado con la calculadora:
 27  4 3
log

125  2 3
 25
125 2 3
 25
81
1
27
1

81
4
3
log
125
25 
2
3
Ahora en tu libreta:
8
5 3

1
32
 8 


 27 
1 3

3
2
Propiedades de logaritmos
Cuando en el argumento del logaritmo se una cantidad
elevada a un exponente:
n
log b ( x )  n log
b
x
Cuando en el argumento del logaritmo se tienen dos
cantidades multiplicándose entre sí:
log b ( xy )  log
b
x  log
b
y
Cuando en el argumento del logaritmo se tienen dos
cantidades dividiéndose entre sí:
log
x
b
 log
y
b
x  log
b
y
Cambio de base: De base “b” a base 10
log
b
x
log x
log b
Nota: Estas mismas propiedades aplican para logaritmos naturales.
De las propiedades anteriores podemos deducir
las siguientes:
log b b  1
log b 1  0
log
b
0 N /E
log b (  a )  N / E
Practiquemos las propiedades de los
logaritmos
Expresa los siguientes logaritmos como una suma de logaritmos:
 x 4 ( y  5) 

log 
3 4 
(
z

2
)


5
 x 4 ( y  5) 

5 log 
3 4 
(
z

2
)


5 log x  5 log( y  5 )  5 log( z  2 )
4
3 4
( 5 )( 4 ) log x  5 log( y  5 )  ( 5 )( 3 4 ) log( z  2 )
20 log x  5 log( y  5 ) 
15
log( z  2 )
4
 3 x 2 (2 y  4) 4
ln 
6
3

w (3 z )





ln
3
ln x
2
3
x  ln( 2 y  4 )  ln w  ln( 3 z )
2
2 3
4
6
3
 4 ln( 2 y  4 )  6 ln w  3 ln 3 z
ln x  4 ln( 2 y  4 )  6 ln w  3 ln 3  3 ln z
Ahora a la inversa:
Expresa con un solo logaritmo:
log x  2 log y  3
log x  log y  3
2
log( xy )  3
2
2 ln x  x ln 3 
1
2
ln  x  1 
ln x  ln 3  ln( x  1)
2
x
 x23x
ln 
1 2
 ( x  1)



1 2
Tarea: Practica en tu libreta:
Expresa los siguientes logaritmos como una suma de logaritmos:
 3
 x 
log 2 


8 x  9 x  1 43 x  

x
x


2
3


ln 


4

70 x
4 
Expresa con un solo logaritmo:
x ln 2  5 ln  x  1   2 ln  x  3 
x log
2
x
2
 10 x  11   8 log
2
x  log
2
ln
3
x  ln ln x 
ex
x 4
2
 
x


Ecuaciones exponenciales
Ahora veamos cómo se resuelven las ecuaciones
exponenciales utilizando las propiedades de los logaritmos:
3 3
x
1
4 
x
2 8
x
ln 2  ln 2
x
x ln 2  3 ln 2
x
3 ln 2
ln 2
x3
ln( 3  3
x
256
3
2 x3
1
log 4  log
x
256
3
2 x3
ln 3  ln 3
x
5
)  ln( 3 )
2 x3
5
 5 ln 3
x ln 3  ( 2 x  3 ) ln 3  5 ln 3
x log 4  log 1  log 256
x ln 3  2 x ln 3  3 ln 3  5 ln 3
x log 4  0  log 256
x (ln 3  2 ln 3 )  5 ln  3 ln 3
x
 log 256
log 4
x ( 3 ln 3 )  8 (ln 3 )
x
3 ln 3
8 ln 3
x  4
x
8
3
Ecuaciones logarítmicas
Una ecuación logarítmica es una ecuación en la que la incógnita
se encuentra dentro del argumento del logaritmo o bien como
base del logaritmo.
Ejemplo:
log 5 x  6   2
log 4  2
3
x
Para resolver las ecuaciones logarítmicas tenemos que hacer uso
de la definición de logaritmos así como de sus propiedades.
Resolviendo los ejemplos:
log
3
5 x  6   2
5x  6  3
5x  6  9
2
42
5x  9  6
log
5 x  15
x 4
x
15
5
x3
x
2
x 4
x  2
Más ejemplos resueltos:
ln 10 x  5   ln  4  x   ln 2
 10 x  5 
ln 
  ln 2
x

4


10 x  5
4x
2
10 x  5  2 ( 4  x )
10 x  5  8  2 x
10 x  2 x  8  5
12 x  3
x
3
12
x
1
4
 x  12   log 5 x  2
log 5  x  12   log 5 x  2
log
5
 x  12 
log 5 
2
 x 
x  12
5
2
x
x  12  25 x
x  25 x   12
 24 x   12
x
 12
 24
x
1
2
Nota: Siempre debes verificar tus resultados ya que puedes obtener
soluciones extrañas que no cumplen con la igualdad.
Inténtalo tú solo:
log
3
x  4   2
log  x  2   log 3 x  2   log  x  2 
log
x
6  x   2
log
2
 x  1   3  log 2  x  1 
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