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Activar HE con Ejemplos y Ejercicios
Propiedades exponenciales.
Propiedades logarítmicas.
Solución de ecuaciones logarítmicas.
Gráficas de funciones exponenciales.
Gráficas de funciones logarítmicas.
Resumen del capítulo.
© Manuel Pontigo Alvarado.
ISBN 978-9968-9634-2-8
Instituto Tecnológico de Costa Rica.
Propiedades Exponenciales: Multiplicación
La multiplicación de los exponentes está definida por:
Considere: x = 6 ; a = 2
Fórmula a operar:
b; =
2
x x x
a b
ab
4
x2x4  x24  x6
La instrucción para la HE es
=6^6
Resuelto mediante la HE
Comprobación
Operaciónes
x=
6
a=
2
b=
4
Comprobación
Respuesta: 2 6; 4; =6^6
x^2
x^4
(x^2)*(x^4)
x^6
6
6
6
6
6
6
36
1.296
6
36
6
36
216
1.296
46.656
46.656
R: Elija cualquier juego de numerales para x, a y b diferentes a los usados y
resuelva.
Propiedades Exponenciales: División caso 1
La división de los exponentes está definida por:
Considere: x = 6; a = 6
b; = 4.
xa
ab

x
xb
x 6 6  6  6  6  6  6 46.656


 36
6 6 6 6
1.296
x4
664  62  36
Fórmula a operar:
Instrucción para la
He: =(6^6)/(6^4)
Comprobación
x=
6
a=
6
b=
4
x^6 =
x^4
x^2
x^6/x^4
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
46.656
1.296
36
36
36
R: Elija cualquier juego de numerales para x, a y b diferentes a los usados y
resuelva.
3
Propiedades Exponenciales: División caso 2
xa
 x ab
b
x
La división de los exponentes está definida por:
Considere: x = 6; a = 6
b; = -4.
66 6  6  6  6  6  6 46.656


 60.466.176  6  6  6  6  6  6  6  6  6  6 
1
1
6 4
6 6 6 6
1.296
6
4
6 4
10
 6  6  6  6  60.466.176
Fórmula a operar:
Instrucción para la He: =(6^6)/(6^-4)
Comprobación
x=
a=
b=
6
6
-4
6
1
6
6
1
6
6
1
6
6
1
6
6
6
0,1667
6
0,1667
6
0,1667
6
0,1667
6
x^6
1
x^4
6 =
46.656 =
1
1.296
60.466.176
1
Resolviendo el denominador
x^6
1/(x^4)
Operaciones con la HE
(x^6)//1/(x^4))
(x^6)(x^4)
x^10
6 =
46.656 = 60.466.176
0,0008
= 60.466.176
= 60.466.176
= 60.466.176
R: Elija cualquier juego de numerales para x, a y b diferentes a los usados y
resuelva.
4
Propiedades Exponenciales: División caso 3
x a
 x (ab)
b
x
La división de los exponentes está definida por:
Considere: x = −6; a = 6
Fórmula a operar:
b; = -4.
1
x
1
1
1
 6 6 6 6 6 6 
 64  10  0,000000017
4
6 6 6 6
6  6  6  6  6  6 6  6  6  6 x
x
x
6
Instrucción para la He: =(6^(-6-4)
x=
a=
b=
1
x^6
x^4
6
-6
4
1
6
6
1
6
6
1
6
6
1
6
6
1
6
1 =
6
1
46.656 =
1.296
0,000000017
Operando el numerador
1/x^6
x^4
(1/x^6)/x^4
(x^-6)*(x^4)
x(-6-4)
5
0,166667 0,16666667 0,166667 0,166667 0,166667 0,166667
6
6
6
6
0,000021 =
1.296
0,000000017
=
=
=
0,000000017
0,000000017
0,000000017
R: Elija cualquier juego de numerales para x, a y b diferentes a los usados y
resuelva.
Propiedades Exponenciales: Distributiva de la multiplicación.
xy 
La distribución de la multiplicación en los
exponentes está definida por:
a
6
x y
a
a
Considere; x = 5; y = 4; a = 3
3
Formula a operar: ( xy) 3  5  4  203  5  5  5 4  4  4  53 43  8.000
Instrucción para la He: =(5  4)^3 ó 5^3  4^3 ó =(B115*B116)^B117 ó
=(B115*B116)^B117
Comprobación
x=
y=
a=
(x * y)^3
5
4
3
20
20
20
=
5
4
5
4
5
4
=
=
8.000
Distribuyendo
x^a = x^3
y^a = 4^3
125 X
64
8000
Instrucciones para la HE
(x*y)^a
x^a*y^a = 5^3*4^3
=
=
8.000
8.000
R: Elija cualquier juego de numerales para x, a y b diferentes a los usados y
resuelva.
Propiedades Exponenciales: Distribución de la división.
La distribución de la división en los exponentes está
definida por:
7
a
 x  xa
   a
y
 y
Considere; x = 5; y = 4; a = 3
5  5  5 53
 5
3
  1,953125
   1,25 
4  4  4 43
 4
3
Fórmula a operar:
Considérese:
x=
y=
a=
(x /y)^3
x^3
5
4
3
1,25
5
5
y^3
4
4
(x^3)/(y^3)
(x/y)^3
1,95313
5
25
125
4
16
64
1,95313
1,95313
R: Elija cualquier juego de numerales para x, a y b diferentes a los usados y
7
resuelva.
Propiedades Exponenciales: La potencia de una potencia.
La potencia de una potencia en los exponentes está
definida por:
x 
a b
8
 xab
Considere; x = 5; y = 4; a = 3
5   625
4 3
Fórmula a operar:

 5  5 5  5 5  5  5 5 5 5  5  5
 5  5  5 5  5  5  5 5  5  5 5  5 
3
 512  244.140.625
Considérese:
x=
a=
b=
(x^4)^3
x^4
5
4
3
5
5
5
(x')^3
625
625
x^(4*3)
244.140.625
5
25
125
625
625
390.625
244.140.625
244.140.625
R: Elija cualquier juego de numerales para x, a y b diferentes a los usados y
resuelva.
Propiedades Exponenciales: La potencia inversa.
9
La potencia inversa en los exponentes está definida por: xa 
1
xa
Comprobación:
x=
a=
1/(x^a)
x*x*x,,,
Considere; x = 5; a = 3
Fórmula a operar:
1
1
5 

 0,0016
5  5  5  5 625
5
4
0,0016
5
25
125
625
0,0016
5
5
5
4
X=
1/(X)
 
Función de la potencia inversa f x a  y
Incremeto x
N°
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
0,5
x
1,00
1,50
2,00
2,50
3,00
3,50
4,00
4,50
5,00
5,50
6,00
2
a=2
3
a=3
4
a=4
1,0000
0,4444
0,2500
0,1600
0,1111
0,0816
0,0625
0,0494
0,0400
0,0331
0,0278
1,0000
0,2963
0,1250
0,0640
0,0370
0,0233
0,0156
0,0110
0,0080
0,0060
0,0046
1,0000
0,1975
0,0625
0,0256
0,0123
0,0067
0,0039
0,0024
0,0016
0,0011
0,0008
y; Rango de la función
Valores de a:
1,2
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
0,0
0,00
1,00
2,00
3,00
4,00
5,00
6,00
7,00
x; dominio de la función
a=2
a=3
a=4
R: Elija cualquier juego de numerales para x, a y b diferentes a los usados y
resuelva.
Propiedades Exponenciales: La potencia raíz.
1
a
x a x
La potencia raíz en los exponentes está definida por:
Comprobación
Considere; x = 5; a = 2
x=
a=
x^(1/a)
Raiz(x)
1
Fórmula a operar: 5 2  50,5  2 51  5  2,2361
5
2
2,2361
2,2361
La potencia raíz
Valores de a:
1
N°
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
0,0
1,0
2,0
3,0
4,0
5,0
6,0
7,0
8,0
9,0
10,0
2
3
4
f(x) = y1
f(x) = y2
f(x) = y3
0,000
1,000
1,414
1,732
2,000
2,236
2,449
2,646
2,828
3,000
3,162
0,000
1,000
1,122
1,201
1,260
1,308
1,348
1,383
1,414
1,442
1,468
0,000
1,000
1,029
1,047
1,059
1,069
1,078
1,084
1,091
1,096
1,101
1
f  xi a   y


3,5
3,0
2,5
y; Rango
Incremeto x
10
2,0
1,5
1,0
0,5
0,0
0,0
2,0
4,0
6,0
8,0
10,0
12,0
x; Dominio
f(x) = y1
f(x) = y2
f(x) = y3
R: Elija cualquier juego de numerales para x, a y b diferentes a los usados y
resuelva.
Propiedades Exponenciales: La potencia racional.
La potencia racional en los exponentes está definida por:
11
a
x b  b xa
Considere; x = 5; a = 2; b = 3
Fórmula a operar:
3
5 2  2 53  5  5  5  125  11,1803
Potencia racional de un número
x=
a=
b=
x^(a/b)
x*x*x… (b veces)
X
X^(1/a)
(x^a)^(1/b)
Incremeto x
N°
5
2
3
5
5
1
2
11,1803
5
25
125
11,1803
11,1803
3
4
5
6
7
8
9
10
11
1
x
f(x) = y
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0,000
1,000
2,828
5,196
8,000
11,180
14,697
18,520
22,627
27,000
31,623
a
b
 b xa
35
30
25
y; Rango
Comprobación:
f ( x)  x
20
15
10
5
0
0
2
4
6
8
10
x; Dominio
R: Elija cualquier juego de numerales para x, a y b diferentes a los usados y
resuelva.
12
Propiedades Logarítmicas: La forma logarítmica.
La forma logarítmica esta
definida por:
log a x  y; y debe cumplirse x  a y
Esto se lee como: y es exponente al que debe elevarse a para
obtener x
Considere
Log10100  2
Número
Comprobación
Número x =
Base a =
Exponente y = 2
y^2 =
y = x^(1/a)
fx= Log(100;10)
fx =Log10(100)
100
10
2
100
10
2
2
Exponente
log a x  y;
Base
En otras palabras: los logaritmos son exponentes para
una base cuya potencia arrojan el valor del número.
12
3.13 Logaritmos y bases de uso común.
13
Logaritmo de base 10.
Se dice que todo número positivo N puede expresarse como una potencia de
10, es decir, se pueden encontrar siempre una base a tal que N = 10a. Se dice que y es
el logaritmo de N en base 10 = a o logaritmo decimal de N. Se puede escribir:
y  log10a N
Por ejemplo; 1.000 = 103, por tanto, log10 1.000 = 3. Análogamente, como: 0,01 = 10–2,
log10 0,01= –2
Cuando N es un número entre 1 y 10, es decir 100 y 101, a log10N está comprendido
entre 0 y 1.
Logaritmo neperiano.
Existe un logaritmos muy especial en la matemática conocido como Logaritmo
Neperiano cuya base es 2,71828183… que por su importancia se conoce como
Logaritmo Natural y la instrucción para calcular el logaritmo natural de cualquier
número (excepto 0) en la Hoja Electrónica es =LN(Número).
Propiedades Logarítmicas: La multiplicación.
La multiplicación en los logaritmos
está definida por:
Loga xy  loga x  loga y
Considere; x = 2.350; y = 2.410
log10 2.350  log10 2.410 
Logaritmo de base 10
 3,3711  3,3820  6,7531
La función inversa
Logaritmo natural
La función inversa
14
x  y  106,7531  5.663.500
Comprobaciòn
x=
y=
x*y=
Logarítmos
Log10(x) =
log(y; 10) =
Log(x;10)+Log(10) =
ln2.350  ln2.410 
 7,7622  7,7874  15,5496
Exponenciación
Usando fx(HE)
2.350
2.410
5.663.500
Base 10
Neperiano
3,3711
7,7622
3,3820
7,7874
6,7531 15,5496
5.663.500 5.663.500
5.663.500 5.663.500
x  y  e15,5496 
 2,7182818285..15,5496  5.663.500
R: Elija cualquier juego de numerales para x, y, diferentes a los usados y
resuelva.
3.15
La multiplicación mediante logaritmos en forma gráfica.
15
El cuadro muestra las transformaciones de x e y en funciones logarítmicas de 10,
el resultado de la exponenciación de la suma de los logaritmos y el producto
directo de x con y. En estudiante habrá comprendido las facilidades que dan los
logaritmos en la operación de unidades astronómicas.
Multiplicación mediante logaritmos
Loga xy  log a x  log a y
Dom inio de y
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
log(x)
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
0,0000
0,3010
0,4771
0,6021
0,6990
0,7782
0,8451
0,9031
0,9542
1,0000
1,0414
1,0792
Log(y)
0,3010
0,6021
0,7782
0,9031
1,0000
1,0792
1,1461
1,2041
1,2553
1,3010
1,3424
1,3802
log(x)+log(y)10^(l(x)+l(y))
0,3010
0,9031
1,2553
1,5051
1,6990
1,8573
1,9912
2,1072
2,2095
2,3010
2,3838
2,4594
2
8
18
32
50
72
98
128
162
200
242
288
x*y
2
8
18
32
50
72
98
128
162
200
242
288
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
3,0
1,6
1,4
2,5
1,2
2,0
1,0
1,5
0,8
0,6
1,0
0,4
0,5
0,2
0,0
0,0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
x dominio 1.
log(x)
Log(y)
lo(x)+lo(y)
Responda: Desarrolle la función para el logaritmo natural.
11
12
Logaritmo de y
y
Logartitmo de x
x
Propiedades Logarítmicas: La division.
La división en los logaritmos está definida por:
x 4.230

 1,3096
y 3.230
Considere: x = 4.230; y = 3.230
Logaritmo de base 10
La función inversa
 x
loga    loga x  loga y
 y
 4.230 
log10 
  log10 4.230  log10 3.230  0,1171
 3.230 
x  y  100,1171  1,3096
Demostración
x=
y=
Logaritmo natural
 4.230 
ln

 3.230 
 ln4.230  ln3.230  0,2697
x*y=
Logarítmos
Log10(x) =
log(y; 10) =
Log(x;10)+Log(10) =
Exponenciación
La función inversa
16
x y e
0,2697
 1,3096
Usando fx(HE)
4.230
3.230
1,3096
Base 10
3,6263
3,5092
0,1171
1,3096
1,3096
Neperiano
8,3500
8,0802
0,2697
1,3096
1,3096
R: Elija cualquier juego de numerales para x, y, diferentes a los usados y
resuelva.
3.17
La división mediante logaritmos como función.
17
El cuadro muestra las transformaciones de x e y en funciones
logarítmicas de BASE 10, el resultado de la exponenciación de la
resta de los logaritmos y el cociente directo de x entre y.
y
2
5
8
11
14
17
20
23
26
29
32
35
w = log(x)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
0,3010
0,6990
0,9031
1,0414
1,1461
1,2304
1,3010
1,3617
1,4150
1,4624
1,5051
1,5441
z = Log(y)
0,0000
0,3010
0,4771
0,6021
0,6990
0,7782
0,8451
0,9031
0,9542
1,0000
1,0414
1,0792
v=w-z
0,3010
0,3979
0,4260
0,4393
0,4472
0,4523
0,4559
0,4586
0,4607
0,4624
0,4638
0,4649
10^v
La división mediante logaritmos.
x/ y
2,0
2,5
2,7
2,8
2,8
2,8
2,9
2,9
2,9
2,9
2,9
2,9
2,0
2,5
2,7
2,8
2,8
2,8
2,9
2,9
2,9
2,9
2,9
2,9
1,8
z; w v; Rango de las funciones
x
1,6
w  Log10 x
1,4
1,2
1,0
z  Log10 y
0,8
0,6
0,4
v  Log10 x  Log10 y
0,2
0,0
0
10
20
30
x e y; Dominio de las funciónes
Responda: Desarrolle la función para usando el logaritmo natural.
40
Propiedades Logarítmicas: La potencia.
18
log a x  b  log a x
b
La potencia en los logaritmos está definida por:
Considere: x = 50; b = 4
Logaritmo de base 10
log10 504  4  log10 50 
 4 1,6990  6,7959
La función inversa
50  10
4
6,7959
 6.250.000
Demostración
x=
b=
x^b =
Logarítmos
Logaritmo natural
ln(50) 4  4  ln(50)  4  3,9120  15,6481
La función inversa
504  e15.6481  6.250.000
50
4
6.250.000
Base 10
Neperiano
1,6990
3,9120
b*log10(x)
6,7959
15,6481
Exponenciación6.250.000 6.250.000
Usando fx(HE) 6.250.000 6.250.000
Log10(x) =
R: Elija cualquier juego de numerales para x, b, diferentes a los usados y
resuelva.
3.19
Potencia mediante logaritmos como función.
19
Gráfico de las funciones:
w  f 4 Log10 xi  y
z  f (6  Log10 xi ) ;
y comprobación del uso de las potencias con logaritmos.
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
w; b=4
2,796
4,000
4,704
5,204
5,592
5,908
6,176
6,408
6,613
6,796
6,961
7,113
z; b=6
4,194
6,000
7,057
7,806
8,388
8,863
9,264
9,612
9,919
10,194
10,442
10,669
10^w
625
10.000
50.625
160.000
390.625
810.000
1.500.625
2.560.000
4.100.625
6.250.000
9.150.625
12.960.000
La potencia en los logaritmos
x^4
625
10.000
50.625
160.000
390.625
810.000
1.500.625
2.560.000
4.100.625
6.250.000
9.150.625
12.960.000
12
w; Rango de la función.
x
10
z  f (6  Log10 xi )
8
6
w  f 4 Log10 xi 
4
2
0
0
10
20
30
40
50
60
x; dom inio de la función
Responda: Desarrolle la función para usando el logaritmo natural.
70
Propiedades Logarítmicas: Propiedad de identidad y
propiedad de cambio de base.
La propiedad de identidad esta definida por:
loga x  loga y; entonces, x  y
En esta propiedad de identidad debe entenderse que los
logaritmos de los números x e y son iguales, si la base a que hay
que elevar con el logaritmo da un número idéntico:
La propiedad del cambio de base:
Si x, y, z son números positivos, además x e y son diferentes de
1, entonces:
log x z 
log y z
log y z
Algunas soluciones de ecuaciones logarítmicas:
Pregunta: Escriba log 1.000 = 3 en forma exponencial.
Respuesta: 1.000 = 103
3  Log10 1.00010  1.000  a
3
y
Considérese:
log(Número)
Exponente y =
Base a =
Y = Log(N; a )
log x
Pregunta: Resuelva
log x 2 
1
2
4
1
puesto que x y  z
4
x
1
4
 2; elevando a la potencia 4
4
4
1
1 1
  x 4    x 2 2  

 

 
2
x1   2 2   x1  2 2  x  4


1
1
1
2   4 4  2  LOG(raiz(2);4) 
4
4
1
 Log 4
Exponente
1000
3
10
3
1.000
Proceso
Número z =
Exponente y =
Haciendo x = 4
Log(raiz(2); 4)
1,4142
1/4
4
1/4
21
3.22
Algunas soluciones de ecuaciones logarítmicas: Cambio de base
Resuelva para x usando una base a:
Log a 2x  6  Log a 24  3x
 Log a 2x  3x  24  6  y
 Log a 5x  30  y
 30 
 Log a  x   y
 5
 Log a 6  y
Para una base de a  5
loga 2x  6  loga 24  3x
Considérese:
Número x =
Base a =
A= 2*x - 6
B = 24 - 3x
log(A; a) - LOG(B; a)
y = log(6; 4)
A = B = a^y = x
 Log 5 6  1,1133  LOG(6;5) 51,1133  6
Resuelva para x usando una base a:
6
5
6
6
0
1,1133
6
log a 2x  8  log a x  2  1
Considere una base a cualquiera, dígase 5. Por
definición Log z  y por tanto, implica: 51  z
a
51 
2x  8
2
 5x  2  2x  8  5x  2x  8  10  x 
x2
3
Sustituyendo:
22
2

 2 
Log 5  2     Log 5    2 
3

 3 
 1,1787  0,1787  1
R: Efectúe el mismo desarrollo con una base 2 ≤ a ≤ 10 excluyendo el 5
3.23
Soluciones a ecuaciones logarítmicas: Potencia
inversa.
Usando logax = y, resuelva:
log a 5  
1
3
Por definición: a y  x a 13  5
Resolviendo para x potenciando ambos
lados por –3:
 a

 13
3
  5  a  1  1

53 125
3
1  1 
 log 1 5   ; y 

3  125 
125
 13
5
Comprobación.
Número z =
Divisor =
Exponente y =
Solución la base a =
Comprobación
LOG(5; 1/125)
5
3
- 1/3
1/125
5
- 1/3
Recuerde que afectando a ambos lado de una igualdad por el
mismo valor no se altera el resultado
R: Efectúe el mismo desarrollo con una base 2 ≤ a ≤ 10 excluyendo el 5
23
Graficas de funciones exponenciales.
Construya en la HE valores de dominio y
rango y grafique las funciones:
-4,0
-3,5
-3,0
-2,5
-2,0
-1,5
-1,0
-0,5
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
Y1= k^x
Rango
Y2= (1/k)^x
16,00
11,31
8,00
5,66
4,00
2,83
2,00
1,41
1,00
0,71
0,50
0,35
0,25
0,18
0,13
0,09
0,06
0,06
0,09
0,13
0,18
0,25
0,35
0,50
0,71
1,00
1,41
2,00
2,83
4,00
5,66
8,00
11,31
16,00
f (k x )  y;
 1  x 
f     y
 k  
Exponcial de una constantey su inversa
18,00
16,00
f (k x )  y;
14,00
y; Rango de la función.
Dominio
x
24
12,00
10,00
8,00
6,00
 1  x 
f     y
 k  
4,00
2,00
0,00
-6,0
-4,0
-2,0
0,0
2,0
4,0
6,0
x; Dom inio de la función
Se dice que la potencia de una constante crece y la ponencia inversa decrece
exponencialmente a mediada que x se incrementa o decrementa.
Responda: decrece; incrementa o decrementa ; crece
Graficas de funciones exponenciales. Ej: 3,22
Grafique la función lineal:
-1,5
-1,0
-0,8
-0,6
-0,4
-0,2
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
3
2
-1,5
0,5
donde k, y b son constantes
Función de crecimiento exponenecial
Rango
y
1,7
3,0
3,7
4,7
5,8
7,2
9,0
11,2
14,0
17,4
21,7
27,0
33,6
41,9
52,2
65,0
81,0
f ( x)  k c x 
90,0
80,0
y; Rango de la función
Constante k
Constante b =
Valor inicial de x
Incremento de x
Dominio
x
y  k b x
25
70,0
60,0
50,0
40,0
30,0
20,0
10,0
0,0
-2
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
2
2,5
x; Dominio de la función
Ejercicio: Elabore un gráfico modificando los parámetros de la ecuación
incluyendo valor inicial e incrementos.
3.26 Grafica de función exponencial para ubicar asíntotas.
Grafique las funciones:

y1  f k bx c   d
2,5
2
2
2
-1,5
0,2
Constante k
Constante b =
Constante c = 1
Constante d =
Valor inicial de x
Incremento de x
Dominio

y y2  f k bxc   d  .
Función exponencial para ver las asíntotas
5,0
Rangos
x
y1
-1,5
-1,3
-1,1
-0,9
-0,7
-0,5
-0,3
-0,1
0,1
0,3
0,5
0,7
0,9
1,1
1,3
1,5
-1,9898
-1,9852
-1,9787
-1,9693
-1,9556
-1,9360
-1,9077
-1,8668
-1,8078
-1,7227
-1,6000
-1,4229
-1,1674
-0,7989
-0,2671
0,5000
26
y2
2,0102
2,0148
2,0213
2,0307
2,0444
2,0640
2,0923
2,1332
2,1922
2,2773
2,4000
2,5771
2,8326
3,2011
3,7329
4,5000

y2  f k bxc   d

4,0
3,0
2,0
Asíntotas
1,0
0,0
-2,0
-1,5
-1,0
-0,5 -1,0 0,0
-2,0
-3,0
0,5
1,0

1,5
y1  f k bxc   d
2,0

Las asíntotas de la función ocurren en -2 para y1 y en +2 para y2.
Ejercicio: Elabore un gráfico modificando los parámetros de la ecuación incluyendo
vlor inicial e incrementos; -2; +2.
3.27 Función logarítmica: Asíntotas.
27
Desarrolle y grafique las funciones: y1  Log2 x  2 y y2  Log2 x  2 .
Constante k =
Base a =
Incremento de x
Dominio
x
-1,90
-0,90
0,10
1,10
2,10
3,10
4,10
5,10
6,10
7,10
8,10
9,10
10,10
11,10
12,10
Parámetros
2
2
1
Rangos
y1
-3,3219
0,1375
1,0704
1,6323
2,0356
2,3505
2,6088
2,8278
3,0179
3,1859
3,3363
3,4725
3,5969
3,7115
3,8176
-2
2
Funcion logarítmica con asíntotas en -2 y 2
y1  Log2 xi  2
Asíntota en x  2
5
y2
-3,3219
0,1375
1,0704
1,6323
2,0356
2,3505
2,6088
2,8278
3,0179
3,1859
3,3363
y1, y2; Rango de las funciones
Base de gráfico
4
3
2
1
0
-4
-2
-1
-2
-3
0
2
4
6
8
10
y2  Log2 xi  2
Asíntota en x  2
12
14
-4
x; Dominio de la función
La asíntota ocurre cuado el dominio se aproxima a la indefinición, esto es a 0.
Mientras el rango, tiende ha hacerse paralelo al eje x a medida que los valores
del dominio aumentan.
Ejercicio: Elabore el gráfico usando el logaritmo neperiano o natural.
3.28
Función logarítmica: Función lineal con dos parámetros.
28
Desarrolle y grafique las funciones: y1  Log10 x  2  2 y y2  Log 10 x  2  2 .
Constante k =
Constante c =
Base a =
Incremento de x
Dominio
x
-1,99
8,01
18,01
28,01
38,01
48,01
58,01
68,01
78,01
88,01
98,01
108,01
118,01
128,01
138,01
Parámetros
-2
2
10
10
Rangos
y1
2,7789
3,2044
3,4151
3,5564
3,6629
3,7483
3,8196
3,8809
3,9345
3,9823
4,0253
4,0645
4,1004
4,1336
2
-2
10
Función logarítmica con dos parámetros
5
4
y2
3
-4,0000
-0,9996
-0,6988
-0,5227
-0,3978
-0,3009
-0,2218
-0,1548
-0,0969
-0,0457
0,0000
0,0414
0,0792
0,1140
0,1462
2
y1, y2; Rangos
Base de gráfico
1
-50,00
0
-10,00
-2
-3
-4
y1  Log10 x  2  2
Asíntota en x  2
50,00
100,00
150,00
y1  Log10 x  2  2
Asíntota en x   2
-5
x; Dom inio de la función
La asíntota depende de la función, en y1 la función se indefine cuando x = 2 ya
que se hace cero y los logaritmos no están definidos para el cero. Así, en y2 se
indefine cuando x llega a −2.
Ejercicio: Elabore el gráfico usando el logaritmo neperiano o natural.
Resumen de las operaciones exponenciales
Multiplicación:
xa xb  xab
División:
xa
ab

x
xb
Propiedad distributiva con multiplicación:
xy a  x a y a
Propiedad distributiva con división:
 x
xa
   a
y
 y
a
Potencia de una potencia:
x 
 xab
Potencia Inversa:
x a 
1
xa
a b
1
a
x a x
Potencia Racional:
Las funciones exponenciales se hacen asintóticas al eje y.
Responda: eje x; eje y.
29
Resumen de las operaciones logarítmicas
Forma logarítmica: a = base; b = Número; y = exponente.
En donde y es la cantidad a la que hay que elevar a para
obtener x.
30
loga x  y
Multiplicación:
loga xy  loga x  loga y.
División:
 x
log    log a x  log a y
y
a 
Potencia:
loga xb  b  log a x
Propiedad de identidad:
si loga x  loga y entonces x  y
Propiedad de cambio de base: si x, y y z son
números positivos, y si x e y diferentes de 1,
entonces
log x z 
Las funciones logarítmicas se hacen asintóticas al eje x.
Responda: eje x; eje y.
log y z
log y z
Resumen
El capítulo 3 del curso denominado Precálculo dedicado a
exponentes y logaritmos contiene el material didáctico
necesario para que el estudiante cuente con una base
mínima sólida para comprender cursos de cálculo u
álgebra avanzados y de la estadística que usualmente se
imparte a carreras que no son del área de la matemática.
Consta de tres herramientas computacionales cuyos fines son
complementarios: El editor de textos que contiene el
material del curso con respuestas en bastardilla de color
azul; el Libro Electrónico que contiene las operaciones
ejemplificadas y el ejercicio mínimo para el estudiante; y
este proyector de diapositivas cuyo objeto es que sea
elaborado como complemento del estudiante con ejercicios
particularizados.
Manuel Pontigo Alvarado, Enero 2007.
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