Cálculo diferencial e integral de una variable
Introducción
a las E.D.O.
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Cálculo diferencial e integral de una variable
Modelos matemáticos que conducen
a la resolución de EDO.
Conocido (en general de forma
experimental) las leyes que rigen el
fenómeno, se desea formular un modelo
matemático que lo describa. La descripción
matemática de estos fenómenos le
llamaremos modelo matemático.
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Cálculo diferencial e integral de una variable
La acción de obtener un modelo se llama
modelar y este proceso debe comenzar
con:
Identificación de las variables que
intervienen en el problema.
Formular un conjunto razonable de
hipótesis acerca del problema.
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Cálculo diferencial e integral de una variable
Cultura Mochica
Todos los organismos vivos absorben
carbono radiactivo, forma inestable de
carbono que tiene una vida media de unos
5.730 años. Durante su vida, un organismo
renueva de forma continua su provisión de
radiocarbono al respirar y al comer. Tras
su muerte, el organismo se convierte en un
fósil y el carbono 14 decae sin ser
reemplazado. Para medir la cantidad de
carbono 14 restante en un fósil, los
científicos incineran un fragmento
pequeño para convertirlo en gas de dióxido
de carbono. Se utilizan contadores de
radiación para detectar los electrones
emitidos por el decaimiento de carbono 14
en nitrógeno. La cantidad de carbono 14 se
compara con la de carbono 12, forma
estable del carbono, para determinar la
cantidad de radiocarbono que se ha
desintegrado y así datar el fósil.
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Cálculo diferencial e integral de una variable
Desintegración radiactiva
Si x es la cantidad de sustancia no
desintegrada en el instante t de tiempo
entonces la velocidad de
desintegración es proporcional a la
cantidad de sustancia que se
desintegra.
La E. D. O que rige este fenómeno
dX
físico es dt  kX donde k < 0 es la
constante de desintegración que varia
de una sustancia a otra.
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Cálculo diferencial e integral de una variable
Crecimiento de una población
Experimentalmente puede comprobarse que:
La rapidez con que una población P crece,
en un instante t cualquiera, es
proporcional a la población presente en
dicho instante.
Inmediatamente podemos escribir dP  kP
donde k > 0 es una constante de dt
proporcionalidad
La disciplina que estudia la población se conoce como demografía y analiza el
tamaño, composición y distribución de la población, sus patrones de cambio a lo
largo de los años en función de nacimientos, defunciones y migración, y los
determinantes y consecuencias de estos cambios. El estudio de la población
proporciona una información de interés para las tareas de planificación
(especialmente administrativas) en sectores como sanidad, educación, vivienda,
seguridad social, empleo y conservación del medio ambiente. Estos estudios
también proporcionan los datos necesarios para formular políticas gubernamentales
de población, para modificar tendencias demográficas y conseguir objetivos
económicos y sociales.
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Cálculo diferencial e integral de una variable
Ejemplo 1
Un cultivo tiene una cantidad inicial P0 de
bacterias. Cuando t = 1 h, la cantidad
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medida de bacterias es 2 P0. Si la rapidez
de crecimiento es proporcional a la
cantidad de bacterias presentes P(t) en el
momento t, calcule el tiempo necesario
para triplicar la cantidad inicial.
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Cálculo diferencial e integral de una variable
Ejemplo 2
Un reactor de reproducción convierte el uranio 238,
relativamente estable, en plutonio 239, un isótopo radiactivo. Al
cabo de 15 años, se tiene que se ha desintegrado 0.043% de la
cantidad inicial, A0 , de una muestra de plutonio. Calcule la vida
media de ese isótopo, si la rapidez de desintegración es
proporcional a la cantidad restante.
Ejemplo 3
Se analizó un hueso fosificado y se encontró que contenía la
milésima parte de la cantidad original de C-14. Determine la
edad del fósil.
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Cálculo diferencial e integral de una variable
Trayectorias ortogonales.
y  x 1
2
( y  1) 
2
x
2
2

3
2
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Cálculo diferencial e integral de una variable
Definición
Dada una familia uniparametrica de curvas del
plano F(x,y,C) = 0 se dice que la familia
G(x,y,C)
= 0 es una familia de trayectorias ortogonales de la
otra si todas las curvas de una se cortan
ortogonalmente con todas las curvas de la otra.
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Cálculo diferencial e integral de una variable
Ejemplo 4
Hallar las trayectorias ortogonales de la familia
a) y  Ce  x
b)
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y Cx
2
Muestre que las familias de curvas son ortogonales.
2
2
x  4 y  k ; y  Cx
4
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