SISTEMA DIÉDRICO
El Plano
Ejercicio Nº 77
Determinar si los puntos A'-A'' y B'-B'' pertenecen a un plano α dado
Datos el plano a y los puntos A'-A'' y B'-B''.
2
A ''
T
L
A'
B'
a1
B ''
1º Trazamos la frontal del plano r'-r'' por el punto A'-A'', por la proyección horizontal A' trazamos la
paralela a la LT, r' por la traza Hr trazamos la perpendicular a LT donde corta a esta, la paralela r'' a
α2 y vemos como era previsible que no pasa por A'' pues el punto que tiene sus proyecciones sobre
las trazas homónimas del plano no pertenece al mismo, excepto que el plano sea de perfil.
2
r''
A ''
T
L
Hr
r'
A'
B'
a1
B ''
2º Trazamos la frontal del plano s'-s'' por el punto B'-B'', por la proyección horizontal B'
trazamos la paralela a la LT, s' por Hs trazamos la perpendicular a LT donde corta a
esta, la paralela s'' a α2 si esta pasa por B'' como ocurre el punto pertenece al plano.
2
r''
A ''
s''
T
L
Hr
r'
A'
B'
Hs
s'
a1
B ''
Ejercicio Nº 78
Dada la proyección horizontal A' de un punto situado en un plano α1- α 2,
determinar la otra proyección A''.
Datos el plano α y la proyección A'

T
L

A'
1º Trazamos por A' la proyección r' de la recta r.

T
L
r'

A'
3º Determinamos las trazas Hr y Vr de la recta r y trazamos la otra proyección
de r (r'').

Vr
r''
T
L
r'

Hr
A'
4º Por A' trazamos una perpendicular a LT y donde corte a la proyección
vertical de r (r'') estará situada la otra proyección de A (A'').

Vr
r''
T
L
r'

Hr
A'
A ''
5º También se podría solucionar hallando la tercera proyección del plano.
Trazamos una recta vertical cualquiera PV.

PV
Vr
r''
T
L
r'

Hr
A'
A ''
6º Hacemos centro en la intersección con LT trazamos un arco de
circunferencia de radio donde α1 corta a dicha recta, llevamos esta sobre LT.

PV
Vr
r''
T
L
r'

Hr
A'
A ''
7º Trazamos α3.

PV
Vr
r''

T
L
r'

Hr
A'
A ''
8º Llevamos A' sobre PV y seguidamente trazamos el arco de circunferencia
hasta LT.

PV
Vr
r''

T
L
r'

Hr
A'
A ''
9º Trazamos la perpendicular a LT hasta α3 y determinamos A''' y
seguidamente A''.

PV
Vr
r''

T
L
r'

Hr
A'
A ''
A '''
Ejercicio Nº 79
Dado un plano por dos rectas r'-r'' y s'-s'' que se cortan, trazar por un punto
A'-A'' de r'-r'' una horizontal del plano sin utilizar las trazas de este.
Datos las recta r= r'-r''y s= s'-s'' y el punto A'-A''
A ''
r''
s''
T
L
A'
r'
s'
1º Trazamos la horizontal t'' por A'' que corta a s'' en el punto B''.
A ''
r''
s''
T
L
A'
r'
s'
2º Por B'' trazamos la perpendicular a LT que corta en B' a s'.
A ''
r''
s''
T
L
B'
A'
r'
s'
3º Unimos A' y B' y tenemos la otra proyección t' de la horizontal que
queríamos trazar t'-t''.
A ''
s''
r''
T
L
B'
t'
A'
r'
s'
Ejercicio Nº 80
Hallar las trazas de un plano, determinado por dos rectas r'-r'' y s'-s'' paralelas
a la línea de tierra
Datos las rectas r'-r'' y s'-s''.
r''
s''
T
L
r'
s'
1º Situamos dos puntos, uno sobre la recta r'-r'' punto A'-A'' y otro sobre la
recta s'-s'' punto B'-B''.
r''
A ''
B ''
s''
T
L
r'
A'
s'
B'
2º Unimos las proyecciones homónimas de estos puntos A' con B' y A'' con B''
y obtenemos la recta t'-t'' que corta a las rectas dadas r'-r'' y s'-s''.
r''
A ''
t''
B ''
s''
T
L
r'
A'
s'
t'
B'
3º Hallamos las trazas de la recta t'-t'', Vt y Ht . Por estas tienen que pasar las
trazas del plano que determinan las rectas r'-r'' y s'-s''.
Vt
r''
A ''
t''
B ''
s''
T
L
r'
A'
s'
t'
B'
Ht
4º Como r'-r'' y s'-s'' son paralelas a LT el plano solución tiene que ser también paralelo
a LT. Por Vt y Ht trazamos α2 y α1 que son las trazas del plano buscado.
También se podría determinar las trazas del plano hallando la tercera proyección

Vt
r''
A ''
t''
B ''
s''
T
L
r'
A'
t'
B'
s'

Ht
Ejercicio Nº 81
Trazar un plano perpendicular al vertical de proyección, que pase por la recta
r'-r'' dada.
Datos las recta r= r'-r''
r''
L
r'
T
1º El plano resultante al ser perpendicular al Plano vertical de proyección tiene
que tener su traza horizontal α1 perpendicular a LT.
2º Hallamos las trazas de la recta Vr y Hr
Vr
Hr
r''
L
r'
T
3º Por la traza horizontal Hr trazamos una perpendicular a LT y esta es la
traza horizontal α1 , del plano buscado.
Vr
Hr
r''
r'
T
L

3º La otra traza tiene que coincidir con r'' al ser un plano proyectante vertical, y todos los
elementos del plano se proyectan sobre la traza vertical α2 . También vemos que si
unimos la traza vertical Vr con el punto de corte de la traza horizontal α1, con la LT,
obtenemos la misma solución.
Vr
Hr
r''
r'

T
L

Ejercicio Nº 82
Hallar las trazas de un plano, conociendo sus intersecciones r'-r'' y s'-s'' con
los bisectores .
Datos: las rectas r'-r'' y s'-s''.
r''
s'-s''
T
L
r'
1º La intersección de un plano cualquiera α con los planos bisectores son rectas de este
plano α, en este caso r=r'-r'' y s=s'-s'' basta por lo tanto, trazar otra recta cualquiera que
corte a las dos dadas r=r'-r'' y s=s'-s'' y hallar sus trazas, pues tenemos que tener
presente que las trazas de r y s coinciden todas en el punto I'-I'' y por lo tanto no
podemos trazar el plano solicitado.
r''
s'-s''
T
L
I'-I''
r'
2º Situamos un punto B'-B'' sobre r'-r'', en nuestro caso vamos a trazar una
recta frontal, pero podría ser otra recta cualquiera, por B' trazamos t', paralela
a LT que nos determina el punto A'-A'' sobre la recta s'-s''.
r''
B ''
s'-s''
T
L
I'-I''
t'
r'
B'
A '-A ''
3º Unimos las proyecciones A'' y con B'' y obtenemos la proyección vertical t''
de la recta frontal buscada.
t''
r''
B ''
s'-s''
T
L
I'-I''
t'
r'
B'
A '-A ''
4º Hallamos la traza de la recta t'-t'', Ht. Unimos Ht con la intersección I'-I'' y
obtenemos la traza horizontal α1 del plano buscado.
t''
r''
B ''
s'-s''
T
L
I'-I''
t'
r'
B'

Ht
A '-A ''
5º Al ser t'-t'' una frontal del plano buscado la traza vertical α2 tiene que ser
paralela a t'' y pasar por I'-I'', por lo tanto por el punto I'-I'' trazamos una
paralela a t'' y obtenemos la traza vertical α2del plano buscado.

t''
r''
B ''
s'-s''
T
L
I'-I''
t'
r'
B'

Ht
A '-A ''
Ejercicio Nº 83
Determinar las trazas de un plano, determinado por dos rectas r=r'-r'' y s=s's'', cuyas trazas se encuentran fuera de los limites del dibujo.
r''
I''
s''
L
T
r'
s'
I'
1º Un plano queda determinado por dos rectas que se cortan, dos rectas paralelas, un
punto y una recta y tres puntos no alineados. En nuestro caso se cortan en el punto I'-I''.
2º Trazamos una recta cualquiera t'-t'' que corte a las rectas dadas, desde un punto A'A'' de s'-s'' y otro B'-B'' de r'-r'', los unimos y tenemos la recta t'-t'' que corta a las
anteriores en los punto A y B.
r''
B ''
I''
s''
A ''
t''
L
T
r'
s'
t'
B'
A'
I'
3º Hallamos las trazas de esta recta t'-t'', Vt-Ht, por las cuales tienen que
pasar las trazas α1-α2, del plano solicitado.
r''
B ''
I''
s''
A ''
t''
L
T
r'
s'
t'
Ht
B'
A'
I'
4º Se repite el procedimiento con otra recta cualquiera v'-v'' que corte a las
rectas dadas en los puntos C'-C'' y D'-D'' y hallamos las trazas Vv- Hv.
Vv
D ''
r''
B ''
I''
s''
A ''
v ''
C ''
t''
v'
L
T
r'
s'
t'
Ht
B'
A'
D'
I'
C'
5º Unimos las trazas homónimas Vt y Vv y obtenemos la traza α2, si unimos las otras
dos Ht y Hv obtenemos la otra traza buscada α1.
6º Lo que hemos hecho es utilizar dos rectas cualquiera t'-t'' y v'-v'' que pertenecen al
plano solicitado por lo cual sus trazas se encuentran sobre las trazas homónimas del
plano (todas las trazas del plano cumplen esta condición)

Vv
D ''
r''
B ''
I''
s''
A ''
v ''
C ''
t''
v'
L
T
r'
s'
t'
Ht
B'
D'
A'
I'
C'

Ejercicio Nº 84
Hallar las trazas de un plano, conociendo su línea de máxima pendiente m'-m''
si las trazas no se encuentran en los límites del dibujo.
Datos: la recta m'-m''.
L
T
m'
1º Por un punto cualquiera A'-A'' de la recta m'-m'', trazamos una horizontal del plano
buscado h'-h'', la proyección horizontal h' tiene que ser perpendicular a m' pues la traza
horizontal del plano que buscamos α tiene que ser perpendicular a m'. Hallamos la traza
vertical Vh.
Vh
h''
A ''
T
L
h'
m'
90°
A'
2º Por un punto cualquiera B'-B'' de h'-h'' trazamos una recta r'-r'' paralela a
m'-m'' y hallamos sus trazas Vr y Hr, por las que tienen que pasar las trazas
vertical y horizontal de plano α
Vr
Vh
B ''
h''
A ''
r''
T
L
B'
h'
m'
r'
90°
Hr
A'
3º Unimos Vh y Vr y tenemos la traza α2 del plano buscado, si unimos el punto
de corte de α2 y la LT con la traza Hr obtenemos la traza horizontal α1 del
plano que tendrá que ser perpendicular a m' y paralela a h'.
Vr
Vh
B ''

h''
A ''
r''
T
L
B'

h'
m'
r'
90°
90°
Hr
A'
Ejercicio Nº 85
Hallar las trazas de un plano, que pase por la recta r=r'-r'' y corte al plano de
perfil a1-a2 según la recta A'-B'-A''B''.

A ''
r''
B ''
L
T
r'
A'
B'
1º Hallamos las trazas de la recta r'-r'' por las que tiene que pasar el plano que
queremos obtener.

Vr
A ''
r''
B ''
L
T
r'
A'
Hr
B'
2º Por el punto B'-B'' trazamos una horizontal de plano s'-s'' que corte a la recta r'-r''.
Por B'' trazamos s'' paralela a LT que corta en C'' a r'', obtenemos C' sobre r'. Unimos B'
con C' y tenemos la proyección horizontal s'.

Vr
A ''
r''
B ''
C ''
s''
L
T
r'
C'
A'
Hr
B'
s'
3º Obtenemos la traza Vs de la recta s'-s''. Unimos Vs con Vr y obtenemos la
traza vertical β2 del plano.

Vr
A ''

r''
B ''
Vs
C ''
s''
L
T
r'
C'
A'
Hr
B'
s'
4º Unimos el punto de corte de β2 y LT con la traza Hr y obtenemos la traza
horizontal β1 del plano.

Vr
A ''

r''
B ''
Vs
C ''
s''
L
T
r'
C'
A'
Hr

B'
s'
5 º La traza horizontal β1 tiene que ser paralela a s'.
6º Para que tenga solución el problema es necesario que las rectas se corten, para
comprobarlo trazamos por A'-A'' otra horizontal de plano y comprobamos si esta corta a
la recta r'-r''.

Vr
A ''

r''
B ''
Vs
C ''
s''
L
T
r'
C'
A'
Hr

B'
s'
Ejercicio Nº 86
Hallar las trazas de un plano, conociendo sus trazas verticales α2 y β2 que son
paralelas a la línea de tierra, conociendo las proyecciones A'-A'' de un punto
de la intersección de ambos.
Datos: las trazas α2 y β2 y el punto A'-A''.


A ''
T
L
A'
1º Por el punto A'-A'' trazamos la recta r'-r'', y la recta h'-h'', las proyecciones
verticales de estas rectas están confundidas pero pueden ser otras rectas
cualesquiera, que cortan al las trazas de los planos dados α2 y β2.


A ''
r'' h ''
T
L
A'
2º Por los puntos de intersección Vr y Vh trazamos perpendiculares a LT.
 Vr

Vh
A ''
r'' h ''
T
L
A'
3º Unimos los puntos de corte con la LT con la proyección horizontal A' y
tenemos las proyecciones horizontales de las rectas determinamos las trazas
horizontales Hr y Hh y tenemos las trazas de la recta.
 Vr

Vh
A ''
r'' h ''
T
L
A'
r'
Hr
h'
Hh
4º Por Hr y Hh trazamos paralelas a la LT y obtenemos α1 y β1 que tienen que
ser paralelas a LT al ser también paralelas α2 y β2.
 Vr

Vh
A ''
r'' h ''
T
L
A'

r'
Hr
h'

Hh
5º Otra forma de solución seria hallar la tercera proyección.


A ''
T
L
A'
6º Otra forma de solución seria hallar la tercera proyección. Trazamos una
recta PP perpendicular a LT, determinamos la tercera proyección de A=A'''.


A ''
A '''
O
L
A'
1
T
7º Unimos los puntos de corte de α2 y β2 con A''' y obtenemos la tercera
proyección de la trazas α3 y β3.



A ''
A '''

O
L
A'
1
T
8º por el punto de corte de α3 y β3 con LT trazamos un arco de circunferencia
y hallamos α1 y β1.



A ''
A '''

O
L
A'


1
T
2
3
Ejercicio Nº 87
Hallar las partes vistas y ocultas del triángulo ABC determinado por tres puntos
A, B y C situados en el 1º, 3º, y 2º diedro respectivamente.
En la figura podemos ver el ejercicio en el espacio

A ''
r
C
r'' V r
A

C ''
s
Ht
C'
r'
A'
s'
t'
B'
t
B
Hs
s''
t''
B ''

Datos los puntos A’-A’’, B’-B’’ y C’-C’’.
A ''
C ' C ''
B'
L
T
B ''
A'
1º Unimos los puntos y obtenemos las rectas r’-r’’, s’-s’’ y t’-t’’.
A ''
r''
s''
B'
C ' C ''
t'
t''
L
T
r'
s'
B ''
A'
1º La parte vista de la recta r=r'-r'' es el segmento A-Vr limitado por la traza vertical Vr
que es vista por encontrarse en el 1º diedro. Lo mismo en la recta s=s'-s'' la parte vista
es el segmento A- Hs que se encuentra también en el 1º diedro. El lado t=t'-t'' se
encuentra en el 2º y 3º diedro por lo tanto no es visto ningún tramo.
A ''
r''
Vr
s''
B'
C ' C ''
t'
Ht
L
t''
T
Hs
r'
s'
B ''
A'
2º Por otro lado el plano que determina el triangulo es el plano α1-α2 la traza
horizontal queda determinada por Hs y Ht y la traza vertical por Vr y el punto
de corte de α1 con LT.

A ''
r''
Vr
s''
B'
C ' C ''
t'
Ht
L
t''
T
Hs
r'
s'

B ''
A'
3º Las trazas α1 y α2 junto con LT nos determina las partes vistas y ocultas del
triángulo.

A ''
r''
Vr
s''
B'
C ' C ''
t'
Ht
L
t''
T
Hs
r'
s'

B ''
A'
Ejercicio Nº 88
Dado un punto A'-A'' del extremo de un segmento de longitud l=20mm. situado
en un plano α, hallar la proyección del otro extremo conociendo la longitud
d=15mm. de su proyección horizontal.

A ''
L
T
A'

1º Si l es la longitud del segmento y d la de su proyección horizontal, podemos
conocer la diferencia de cota, construyendo un triángulo rectángulo de
hipotenusa l y cateto d, siendo el otro cateto h la diferencia de cota.

h
l
d
A ''
L
T
A'

2º Trazamos los planos horizontales β2 y γ2 a una distancia h de la proyección
vertical A'', en el que tienen que estar los extremos de los segmentos.


h
l
h
d
h
A ''
?2
L
T
A'

3º Como además deben estar sobre el plano α tienen que estar situados sobre
la intersección de estos planos, es decir tienen que estar sobre las horizontales
del plano s'-s'' y r'-r''.


s''
h
l
h
d
h
A ''
?2
r''
L
T
A'
s'
r'

4º Con centro en A' trazamos una circunferencia de radio d que cortara a las
horizontales de plano s'-s'' y r'-r'' en los punto B', C', D' y E' que son las proyecciones
horizontales de los extremos del segmento buscado.


s''
h
l
h
d
h
A ''
?2
r''
L
T
D'
C'
B'
A'
s'

d
E'
r'
5º Determinamos las proyecciones verticales B'', C'', D'' y E'' y tenemos cuatro
soluciones que cumplen las condiciones.

D ''
C ''
s''

h
l
h
d
h
A ''
B ''
E ''
r''
L
?2
T
D'
C'
B'
A'
s'

d
E'
r'
Ejercicio Nº 89
Hallar las trazas de una recta de perfil, dada por dos punto A'-A'' y B'-B'', sin
utilizar los abatimientos.
Datos: los puntos A'-A'' y B'-B''.
h'
h ''
B ''
A ''
T
L
B'
A'
1º Basta trazar un plano cualquiera que pase por la recta dada y determinar sus trazas.
2º Utilizaremos unas frontales u horizontales de plano, en nuestro caso dos frontales
cualesquiera de plano que pasen por los puntos dados y que sean paralelas entre si.
h'
h ''
B ''
r''
A ''
s''
T
L
r'
B'
s'
A'
3º Determinamos las trazas Hr y Hs.
h'
h ''
B ''
r''
A ''
s''
T
L
r'
B'
Hr
s'
A'
Hs
4º Unimos las trazas Hr y Hs y trazamos la traza del plano α1 donde corta a LT
trazamos la traza vertical α2 paralela a, r'' y s''.
h'
h ''

B ''
r''
A ''
s''
T
L
r'
B'
Hr
s'
A'
Hs

5º Donde las trazas α1y α2 cortan a h'-h'' son las trazas de la recta Vh y Hh.
Vh
h'
h ''

B ''
r''
A ''
s''
T
L
r'
B'
Hr
s'
A'
Hs

Hh
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