SISTEMA DIÉDRICO
Paralelismo
Ejercicio Nº 1.- Hallar las trazas de una recta de perfil, paralela al segundo
bisector y que pase por el punto dado A'-A''.
A ''
L
T
A'
Aplicamos la tercera proyección
1º Trazamos una recta cualquiera PP.
PP
A ''
O
L
A'
T
2º Por A'' trazamos una paralela a LT, por A' trazamos una paralela a LT hasta que corte a la recta PP
punto 1, con centro en O y radio O1 trazamos un arco de circunferencia hasta el punto 2, desde 2 trazamos
una perpendicular que corta a la paralela trazada por A'' en A''' que resulta la 3ª proyección de A.
PP
A '''
A ''
O
L
T
2
A'
1
3º Por O trazamos el plano α3, 2º bisector.
PP
A '''
A ''
O
L
T
2
A'
1

4º Por A''' trazamos una paralela a α3 y obtenemos r''‘.
PP
A '''
A ''
r'''
O
L
T
2
A'
1

5º.- Determinamos Vr1 y Hr1 .
PP
V r1
A '''
A ''
r'''
O
L
H r1
2
A'
1

T
6º.- Desabatimos las trazas Vr1 y Hr1 y la recta r’’’ y tenemos las trazas Vr y Hr de la recta r=r’-r’’ que
pasa por A y es paralela al 2º bisector
PP
r'-r''
Vr
V r1
A '''
A ''
r'''
O
L
H r1
2
A'
1
Hr

T
Ejercicio Nº 2.- Hallar la traza con el segundo bisector de una recta de perfil, paralela
al primer bisector, y que pase por un punto dado A'-A''.
A'
A ''
L
T
Aplicamos la tercera proyección
1º Trazamos una recta cualquiera PP.
PP
A'
A ''
L
O
T
2º Por A'' y A' trazamos paralelas a LT la paralela por A' corta a la recta PP en el punto 1, con
centro en O y radio O1 trazamos un arco de circunferencia hasta el punto 2, desde 2 trazamos una
perpendicular que corta a la paralela trazada por A'' en A''' que resulta la 3ª proyección de A.
PP
A' 1
A '''
A ''
O
L
2
T
3º Por O trazamos el plano α, formando un ángulo de 45º con la recta PP, que es el 2º bisector.
PP
A' 1
A '''
A ''
O
L
T
2
2º bisector
4º Por A''' trazamos una perpendicular a α y obtenemos r''' y nos determina B''' que el punto de
intersección con el 2º bisector.
PP
90°
r'''
B '''
A' 1
A '''
A ''
O
L
T
2
2º bisector
5º Desabatimos B''', trazando una paralela a LT y una perpendicular que corta en el punto 3 a LT con
centro en O y radio O3 trazamos un arco de circunferencia que cortara en 4 a la recta PP coincidiendo
con el punto de corte de la paralela a LT como es lógico pues un punto que pertenece al 2º bisector las
proyecciones vertical y horizontal se encuentran superpuestas. El Punto B'-B'' es la proyección de la
intersección de la recta r'-r'' con el 2º bisector.
PP
r'-r''
90°
r'''
B '''
A' 1
B '-B ''
4
A '''
A ''
O
L
2
T
3
2º bisector
Ejercicio Nº 3.- Por un punto dado A'-A'' trazar un plano paralelo a otro α ,
perpendicular al 2º bisector.
A ''
L
T
A'


Las horizontales y frontales de planos paralelos son paralelas entre si.
1º Trazamos una horizontal de plano h'-h'' por el punto A'-A''.
h''
A ''
L
T
A'
h'


2º Hallamos la traza de la horizontal Vh de la recta h'-h''.
h''
Vh
A ''
L
T
A'
h'


3º Por Vh trazamos una paralela a α1-α2 que son las trazas del plano buscado β1-β2.
h''
Vh
A ''
L
T
A'
h'
   
Ejercicio Nº 4º.- Por un punto dado A'-A'' trazar un plano paralelo al segundo
bisector.
A ''
A'
L
T
Como sabemos las trazas de un plano paralelo al 2º bisector son paralelas a LT.
1º Por A'' y A' una recta cualquiera r'-r'' paralela al segundo bisector que tiene que tener sus
proyecciones paralelas entre si.
A ''
r''
L
A'
T
r'
3º.- Determinamos sus trazas Vr y Hr.
A ''
Vr
r''
L
A'
T
r'
Hr
4º Por las trazas Vr y Hr trazamos α1-α2 paralelas a LT y son las trazas del plano pedido.
A ''
Vr
a
r''
L
A'
T
r'
a
Hr
Ejercicio Nº 5.- Trazar una recta paralela a dos planos α y β, y que pase por un
punto dado A'-A‘’.

A ''
L
T
A'
ß 1 -ß 2

La recta paralela a dos planos es también paralela a la intersección de ambos planos, teniendo presente que
la intersección es una recta que pertenece a los dos planos por tanto es paralela a una recta de cada plano.
1º Hallamos la intersección de los planos α y β recta i'-i''.

i''
i'
A ''
L
T
A'
ß 1 -ß 2

2º Por A'-A'' trazamos la recta r'-r'' paralela a la recta i'-i'' que es la recta pedida.

r''
i''
i'
A ''
L
T
A'
r'

ß 1 -ß 2
3º Hallamos las trazas de la recta r’-r’’ que son Hr y Vr.

Hr
r''
i''
A ''
i'
Vr
L
T
A'
r'

ß 1 -ß 2
Ejercicio Nº 6.- Por un punto dado A'-A'' trazar una recta que sea paralela a un
plano α y que corte a otra recta dada r'-r'‘.
a
r''
A ''
L
T
a
A'
r'
1º Trazamos un plano β paralelo al plano α, mediante la horizontal de plano h'-h'' que pasa por
A'-A''. Determinamos la traza Vh y por esta trazamos β2 paralela a α2 donde se corta con LT
trazamos β1 paralela a α1.
ß2
a
r''
Vh
A ''
L
h''
T
a
A'
r'
ß1
h'
2º Determinamos la intersección de la recta r'-r'' con el plano β mediante el proyectante γ1-γ2
que nos determina la recta i'-i'' intersección de los planos β y γ.
3º.- El punto de corte de r'' y i'' es el punto B'-B'' de intersección de la recta r'-r'' y el plano β.
4º Uniendo el punto A'-A'' con el B'-B'' tenemos la recta pedida que pasa por el punto A'-A'',
corta a la recta r'-r'' y es además paralela al plano α1-α2.
Ejercicio Nº 7.- Trazar una recta que pase por un punto dado A'-A'' que corte a
otra dada r'-r'' y sea paralela a un plano α dado determinado por la línea de
tierra y un punto dado B'-B''.
r''-
A ''
B ''
T
L
 
A'
B'
r'
1º Por el punto A'-A'' traza un plano paralelo al plano α1-α2. Por el punto B'-B'' trazamos una
recta cualquiera que pertenezca al plano α1-α2, como es un plano que pasa por la LT cogemos un
punto de esta C'-C'' y trazamos la recta s'-s'' que pasa por B'-B'' y C'-C''.
r''-
A ''
B ''
s''
L
C '-C ''
T
 
s'
A'
B'
r'
2º Por el punto A'-A'' trazamos la recta t'-t'' paralela a s'-s'' y determinamos las trazas Vt y Ht de
la recta.
t'
r''-
A ''
Ht
Vt
B ''
s''
L
C '-C ''
t''
T
 
s'
A'
B'
r'
3º Por las trazas Vt y Ht trazamos las trazas del plano γ1-γ2 que tienen que ser paralelas a LT
como es lógico al ser el plano α1-α2 un plano paralelo a LT.
4º Hallamos la intersección de la recta r'-r'' con el plano α1-α2 por medio del plano proyectante de r'r'', β'-β'' mediante las trazas Vi y Hi recta i'-i''.
5º Hallamos la intersección de la recta i'-i'' y de la recta r'-r'' punto I'-I''.
6º La recta A’-I’, A’’-I’’ es la recta pedida.
Ejercicio Nº 8.- Trazar una recta paralela al 1º bisector que corte a dos rectas
dadas r'-r'' y s'-s'' y corte también a otra recta dada t'-t'' paralela al 1º bisector.
t''
r''
s''-
L
T
s'
t'
r'-
1º Trazamos un plano α1-α2 paralelo al 1º bisector y que pase por la recta t'-t'. Para lo cual hallamos
la traza de la recta Vt y trazamos las trazas α1-α2 paralelas como es lógico a LT por ser paralelo al
1º bisector.
t''
r''
s''
Vt
L
s'
t'
r'
a
a
2º Determinamos la intersección de la recta r'-r'' con el plano α1-α2 mediante el proyectante β1β2 de la recta r'-r'' . La intersección de α1-α2 y β1-β2 nos determina la recta m'-m'‘.
3º La intersección de la recta s'-s'' con el plano α1-α2 mediante el proyectante γ1-γ2 de la recta
s'-s''. La intersección de α1-α2 y γ1-γ2 nos determina la recta n'-n'‘.
4º La recta m'-m'' que corta a la recta r'-r'' en el punto A'-A''. La recta n'-n'' que corta a la recta
s'-s'' en el punto B'-B'‘.
3º Uniendo el punto A'-A'' con el B'-B'' tenemos la recta pedida que corta en el punto D'-D'' a la
recta t'-t'' y es además paralela 1º bisector.
Ejercicio Nº 9.- Trazar una recta que corte a dos rectas dadas r'-r'' y s'-s'' y sea
paralela a la línea de tierra.
s''
r''
L
T
s'
r'
1º Trazamos el plano α1-α2 que pase por la recta s'-s'' y sea paralelo a LT. Para lo que
determinamos las trazas Vs y Hs y trazamos α1-α2 paralelas a LT.

Vs
s''
r''
L
T

Hs
s'
r'
2º Hallamos la intersección de r'-r'' con el α1-α2 mediante el plano proyectante punto β1-β2 que nos
determina la recta i'-i'' que corta a la recta r'-r'' en el punto A'-A''.
ß2

Vs
Vi
s''
r''
A ''
L
T
A'
i'

Hi
Hs
s'
r' -ß 1
3º Por el punto A'-A'' trazamos la recta t'-t'' paralela a a LT que corta a la recta s'-s'' en el punto
B'-B''.
ß2

Vs
Vi
i''
s''
r''
A ''
B ''
t''
L
T
A'
B'
t'
i'

Hi
Hs
s'
r' -ß 1
Ejercicio Nº 10.-Trazar un plano que pase por dos puntos dados y sea paralelo a la
recta perpendicular al plano horizontal de proyección.
r''
A ''
B ''
L
T
B'
r'
A'
1º Al ser paralelo a la recta vertical r'-r'' será un plano proyectante horizontal.
2º La traza vertical α2 será perpendicular a LT y la traza horizontal α1 tendrá que pasar por las
proyecciones horizontales A' y B' de los puntos dados.
Uniendo el punto A' con el B' tenemos la traza horizontal α1 del plano solicitado
r''
A ''
B ''
L
T
B'
r'
A'
a
3º Donde α1 corta a LT trazamos la perpendicular a LT y obtenemos la otra traza del plano α
paralelo a r'-r'' y que pasa por A'-A'' y B'-B'' α2.
a
r''
A ''
B ''
L
T
B'
r'
A'
a
Ejercicio Nº 11.- Por un punto dado A'-A'' hacer pasar un plano que sea paralelo a
dos rectas dadas r'-r'' y s'-s'' que no se cortan.
r''
s''
A ''
L
T
r'
s'
1º Por el punto dado A'-A'' trazamos las rectas r1'-r1'' y s1'-s1'' paralelas a r'-r'' y s'-s''
respectivamente.
r''
s''
r 1 ''
s 1 ''
A ''
L
T
r'
A'
r1'
s1'
s'
2º Hallamos las trazas de las rectas paralelas trazadas por el punto A'-A'', Vr1 -Hr1 y Vs1.
V r1
r''
s''
r 1 ''
s 1 ''
V s1
A ''
L
T
r'
A'
r1'
H r1
s1'
s'
3º Uniendo las trazas verticales Vr1 y Vs1 obtenemos la traza vertical α2 del plano que queremos obtener,
paralelo a las rectas r'-r'' y s'-s'' y que pasa por el punto A'-A'', la otra traza queda definida por el punto de
corte de α2 con LT y la otra traza Hr1, no hace falta determinar la traza que falta Hs1 porque α2 corta a la LT.
V r1
r''
a
s''
r 1 ''
s 1 ''
V s1
A ''
L
T
r'
A'
r1'
H r1
a
s1'
s'
Ejercicio Nº 12.- Trazar dos planos, tales que su intersección sea paralela a una
recta horizontal dada h'-h'' y que cada uno de ellos pase por una de las dos rectas
dadas r'-r'' y s'-s''.
s''
r''
Vt
L
h ''
T
h'
r'
s'
Los planos pedidos son α y β que pasan por las rectas r'-r'' y s'-s'' y son paralelos a la horizontal h'-h''.
1º Hallamos las trazas de la recta s'-s'' respectivamente Hs y Vs, por Hs trazamos una paralela a h' que
es la traza horizontal β1 de uno de los planos pedidos, la otra traza vertical β2 del plano resulta de unir
Vs con el punto de corte de β1 con LT.
Vs
ß2
r''
Vt
L
h ''
T
Hs
h'
r'
ß1
2º Hallamos las trazas de la recta r'-r'' respectivamente Hr y Vr, por Hr trazamos una paralela a h' que es
la traza horizontal α1 del otro plano pedido, la otra traza vertical α2 del plano resulta de unir Vr con el
punto de corte de α1 con LT.
Vs
ß2

s''
r''
Vt
L
h ''
T
Hr
Vr
Hs
h'
s'
r'

ß1
3º Hallamos la intersección de los dos planos prolongando las trazas α2 y β2 que se cortan en el punto
I’’, resultando la recta i'-i'' paralela a la horizontal h'-h''.
Vs
ß2

s''
i'
r''
Vt
h ''
L
T
Hr
Vr
h'
Hs
s'
r'

i''
I''
ß1
Ejercicio Nº 13.- Determinar las trazas de un plano β que pasando por el punto
P sea paralela al plano α dado.
A ''
L
 
T
P'
A'
P ''
1º Hallamos la 3º proyección del punto A. Trazamos una perpendicular PP a LT, por A'' trazamos
una paralela a LT y por A' trazamos otra paralela a LT hasta que corte a la recta PP en un punto, con
centro en O y radio hasta el punto de corte anterior trazamos un arco de circunferencia hasta el punto
1, desde 1 trazamos una perpendicular que corta a la paralela trazada por A'' en A''' que resulta la 3ª
proyección de A.
PP
A ''
L
A ''
 
O
P'
A'
P ''
1
T
2º Uniendo A’’’ con el punto O tenemos α’’’ tercera proyección del plano α.

A ''
L
A ''
 
O
P'
A'
P ''
1
T
3º Hallamos la 3º proyección del punto P. Por P'' trazamos una paralela a LT y por P' trazamos otra
paralela a LT hasta que corte a la recta PP en un punto, con centro en O y radio hasta el punto de corte
anterior trazamos un arco de circunferencia hasta el punto 2, desde 2 trazamos una perpendicular a LT
que corta a la paralela trazada por P'' en P''' que resulta la 3ª proyección de P.

A ''
L
A ''
 
O
2
1
P'
A'
P ''
P '''
T
4º Por P''' trazamos el plano β3 paralelo a α3.
PP

A ''
L
A ''
 
O
2
1
P'
ß3
A'
P ''
T
P '''
5º Por 4 trazamos β2 traza vertical de β, hacemos centro en el punto O y radio O-3 trazamos un
arco que corta a la recta PP, por el punto de corte trazamos β1 traza vertical de β. Y tenemos el
plano que pasa por P y es paralelo al plano α.
PP

A ''
L
A ''
 
O
2
1
P'
ß3
A'
ß1
ß2
3
P ''
P '''
4
T
Ejercicio Nº 14.- Por un punto P dado trazar un plano paralelo al 2º bisector.
L
T
P ''
P'
1º Trazamos una recta cualquiera PP. Y trazamos el 2º bisector en la 3º proyección.
PP
O
L
T
P ''
P'
2º bisector
2º Hallamos la 3º proyección del punto P.
PP
O
L
P ''
T
P ''
P'
2º bisector
3º Por P''' trazamos el plano α3, paralelo al 2º bisector. Que corta a LT en el punto 2 y a PP en el
punto 1.
PP

1
O
L
P ''
2
T
P ''
P'
2º bisector
4º Por 1 trazamos una paralela a LT y obtenemos α2 y hacemos centro en O y radio O-2 trazamos
un arco y obtenemos el punto 3 por el que pasa α1 paralela a LT.
PP


1
O
L

P ''
3
2
T
P ''
P'
2º bisector
Ejercicio Nº 15.- Los puntos A y B definen una recta r. Se pide representar
por sus trazas el plano α paralelo a la LT que pase por la recta.
B ''
B'
A ''
T
L
A'
Aplicamos la tercera proyección
1º Hallamos la 3º proyección del punto A.
PP
B ''
B'
A ''
A '''
O
L
A'
T
2º Hallamos la 3º proyección del punto B.
B ''
PP
B ''
B'
A ''
A '''
O
L
A'
T
3º Uniendo el punto A’’’ con el B’’’ tenemos r''' tercera proyección de la recta r.
B ''
PP
B ''
r'''
B'
A ''
A '''
O
L
A'
T
4º Por r''' pasa la traza α3 del plano y coincide con la misma por ser paralelo a la LT.
B ''
PP
B ''
r'''
B'

A ''
A '''
O
L
A'
T
5º Hallamos las trazas α1 y α2 del plano solicitado α.
B ''
B'
PP
B ''

r'''

A ''
A '''
O
L
A'

T
Ejercicio Nº 16.- Por la recta r paralela al plano horizontal, hacer pasar un plano
α paralelo a la recta s dada.
s''
r''
L
s'
T
r'
1º Situamos un punto A sobre la recta r. A' sobre r' y A'' sobre r'' y perpendicular desde A' a la LT.
s''
r''
A ''
L
s'
T
A'
r'
2º Por el punto A trazamos una recta s1 paralela a s. Por A'' s1'' paralela a s'' y por A' s1' paralela a s'.
s 1 ''
s''
r''
A ''
s'
s1'
L
T
A'
r'
3º Hallamos las trazas de s1 =Vs1'' - Hs1'.
V s 1 ''
s 1 ''
s''
r''
A ''
s'
s1'
L
T
A'
r'
H s1'
4º Hallamos las trazas de r =Vr'' - Hr'.
V s 1 ''
s 1 ''
s''
r''
A ''
V r''
s'
s1'
L
T
A'
r'
H s1'
5º Unimos Vs1'' y Vr'' y obtenemos la traza vertical α2 del plano α.
V s 1 ''
s 1 ''

s''
r''
A ''
V r''
s'
s1'
L
T
A'
r'
H s1'
6º Unimos Hr' con el punto de corte de α2 con la LT obtenemos la traza horizontal α1 del del
plano α . Vemos que es paralela a r' por ser esta una horizontal del plano.
V s 1 ''
s 1 ''

s''
r''
A ''
V r''
s'
s1'
L
T
A'
r'

H s1'
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5.10.Paralelismo y Perpendicularidad