SISTEMA DIÉDRICO
La recta
Ejercicio Nº 63
Dada la proyección de un punto contenido en una recta de perfil dad hallar la
otra proyección.
En la fig. en el espacio se ve como se soluciona el problema, por A' trazamos una perpendicular al
PH que corta a la recta r en el punto A, por este trazamos una paralela al PH y su intersección con el
PV es el punto A'' que es la solución buscada.
r' -r''
V''r
Vr
A''
A'''
r
Hr
A'
V'r
L
H''r
A'
H'r
T
1º Hallamos la tercera proyección de la recta r, trazamos una recta cualquiera PP
perpendicular a la LT.
r' -r''
P'-P''
V''r
Vr
A''
A'''
r
Hr
A'
V'r
L
H''r
A'
H'r
T
1º Hallamos la tercera proyección de la recta r, por V''r y H'r trazamos paralelas a la LT
que cortan a la recta PP en V y en el punto 1, haciendo centro en el punto O trazamos
un arco de circunferencia de radio O-1 que corta a la LT en el punto H. Unimos V y H y
obtenemos la recta r en tercera proyección
r' -r''
P'-P''
V''r
V
Vr
r'''
A''
A'''
r
Hr
A'
H
V'r
L
H''r
A'
H'r
1
T
2º Trazamos por A' una paralela a la LT que corta en 2 a la recta PP, hacemos centro en
O y con radio O-2 trazamos un arco de circunferencia que corta a la LT en 3 por este
trazamos la perpendicular al PH y obtenemos la tercera proyección de A punto A'''
r' -r''
P'-P''
V''r
V
Vr
r'''
A''
A'''
A'''
r
Hr
A'
V'r
L
3
H''r
2
A'
H'r
1
H
T
3º Por A''' trazamos una paralela a la LT obtenemos la proyección vertical de A punto A''
r' -r''
P'-P''
V''r
V
Vr
r'''
A''
A'''
A'''
A''
r
Hr
A'
V'r
L
3
H''r
2
A'
H'r
1
H
T
Ejercicio Nº 64
Dada una recta de perfil por dos de sus puntos A = A'-A'' y B = B' -B'' . Obtener sus
trazas.
En la fig. en el espacio vemos como se soluciona el problema. Tenemos dos puntos A y B
dados por sus proyecciones A' -A'' y B' -B'', unimos los puntos A y B y prolongamos la recta r
hasta que corte al PV y al PH en Vr y Hr respectivamente que son las trazas de la recta
1º Datos las proyecciones de los punto A = A'-A'' y B = B'-B''.
r' -r''
PV
Vr
B''
B''
B
A''
r
T
PH
A
A''
T
L
Hr
B'
A'
B'
L
A'
2º Trazamos una recta cualquiera PV que nos divide el espacio en cuatro
diedros para hallar la tercera proyección.
r' -r''
PV
PV
Vr
B''
B''
B
A''
r
T
PH
A
A''
T
L
Hr
B'
A'
B'
L
A'
3º Hallamos la 3º proyección del punto A. Por A' y A'' trazamos paralelas a la LT. Donde
la paralela por A' corta PV punto 2 trazamos un arco de circunferencia que corta a la LT
en el punto 4 por este trazamos una perpendicular a la LT que corta a la paralela por A''
en el punto A''' que es la 3º proyección de A.
r' -r''
PV
PV
Vr
B''
B''
B
A'''
A''
r
T
PH
A
A''
L
PH
Hr
B'
T
4
A'
B'
L
A'
2
4º Hallamos la 3º proyección del punto B. Por B' y B'' trazamos paralelas a la LT. Donde
la paralela por B' corta PV punto 1 trazamos un arco de circunferencia que corta a la LT
en el punto 3 por este trazamos una perpendicular a la LT que corta a la paralela por B''
en el punto B''' que es la 3º proyección de B.
r' -r''
PV
PV
Vr
B''
B'''
B''
B
A'''
A''
r
T
PH
A
A''
L
3
PH
Hr
B'
T
4
A'
B'
1
L
A'
2
5º Unimos A''' y B''' y prolongamos hasta que corte en Vr y Hr al vertical y al
horizontal de proyección que son las trazas de la recta
r' -r''
PV
Vr
PV
Vr
B''
B'''
B''
r'''
B
A'''
A''
r
T
PH
A
A''
L
3
PH
Hr
B'
Hr T
4
A'
B'
1
L
A'
2
6º Desabatimos Vr y Hr y obtenemos las trazas de la recta V''r y H'r.
r' -r''
Vr
B''
PV
Vr
V''r
PV
B'''
B''
r'''
B
A'''
A''
r
T
PH
A
A''
L
3
PH
Hr
B'
Hr T
4
A'
B'
1
L
A'
H'r
2
Ejercicio Nº 65
Comprobar si se cortan dos rectas dadas una cualquiera oblicua y otra de
perfil.
Datos las rectas r = r' -r'' y s = s' -s'
V''r
s''
V'r
L
H''r
s'
H'r
T
1º Las rectas aparentemente se cortan en el punto I = I' -I'', pero vamos a
comprobarlo.
V''r
I''
s''
V'r
L
H''r
s'
I'
H'r
T
2º Hallamos la tercera proyección de r = r' -r''. Trazamos una recta cualquiera
PP perpendicular a la LT
V''r
I''
s''
V'r
L
H''r
s'
I'
H'r
T
3º Hallamos la tercera proyección de r = r' -r''. Abatiendo las trazas V''r y H'r. Por V''r y
H'r trazamos paralelas a la LT que cortan a la recta PP en V y en el punto 1, haciendo
centro en el punto O trazamos un arco de circunferencia de radio O-1 que corta a la LT
en el punto H. Unimos V y H y obtenemos la recta r en tercera proyección
V''r
V
I''
s''
H
V'r
L
H''r
s'
I'
H'r
1
T
4º Hallamos la tercera proyección de I = I' -I'' Trazamos por I'' un paralela a la LT y por I'
otra paralela a la LT que corta en 2 a la recta PP, hacemos centro en O y con radio O-2
trazamos un arco de circunferencia que corta a la LT en 3 por este trazamos la
perpendicular al PH y obtenemos la tercera proyección de I punto I'''.
V''r
V
I'''
I''
r'''
s''
V'r
L
3
H''r
2
s'
I'
H'r
1
H
T
5º Para que las rectas se cortasen el punto I''' tendría que estar sobre r''' como
vemos que no pertenece las rectas se cruzan pero no se cortan
V''r
V
I'''
I''
r'''
s''
V'r
L
3
H''r
2
s'
I'
H'r
1
H
T
Ejercicio Nº 66
Dada una recta por dos de sus puntos A = A'-A'' y B = B' -B'' . Obtener un punto de dicha
recta de cota positiva, 30 mm.
Datos las proyecciones de la recta dada por los puntos; A = A'-A'' y B = B'-B''.
B''
r''
A''
T
L
B'
r'
A'
1º Trazamos una recta cualquiera s paralela a la LT a una distancia de 30 mm
por encima de la LT.
B''
s
30
r''
A''
T
L
B'
r'
A'
2º Donde la recta s corta a la proyección vertical de r (r'') es el punto buscado
de cota 30.
B''
C''
s
30
r''
A''
T
L
B'
r'
A'
3º Por C'' trazamos una perpendicular a la LT que corta a la proyección
horizontal de r (r') y hallamos la proyección horizontal del punto buscado C'.
B''
C''
s
30
r''
A''
T
L
B'
r'
A'
C'
Ejercicio Nº 67
Por un punto A' - A'' trazar una horizontal que corte a la recta B'C' - B''C''
Datos la rectas s = B'C' - B''C'' y el punto A = A' - A''
C''
A''
B''
T
L
C'
A'
B'
1º Por A'' trazamos la paralela r'' a la LT que corta en I’’a la recta s''.
C''
A''
I''
r''
B''
T
L
C'
A'
B'
2º Si la recta r tiene que cortar a la recta s además de ser una horizontal, el punto de corte
de las proyecciones homónimas debe de estar sobre la misma perpendicular a la LT.
3º Por I'' trazamos la perpendicular a la LT que corta a B'- C' en el punto I' que es el punto
de corte de las rectas buscadas.
C''
I''
A''
r''
B''
T
L
C'
A'
I'
B'
4º Unimos I' con A' y tenemos la recta r = r'- r'' paralela al plano horizontal
buscada.
C''
I''
A''
r''
B''
T
L
C'
A'
I'
B'
r'
Ejercicio Nº 68
Dado un punto A = A'-A'' trazar por el mismo una recta paralela al primer
bisector.
Datos las proyecciones del punto; A = A'-A''
A''
T
L
A'
1º Trazamos una recta cualquiera r''cualquiera por A''.
r''
A''
T
L
A'
2º La recta que pertenece al 1º bisector tienen las proyecciones simétricas
respecto a la LT.
Trazamos por lo tanto la recta r2'' simétrica de la r''
r''
A''
=
T
=
L
A'
r2''
3º La recta que es paralela al 1º bisector tiene que tener una proyección paralela a la
simétrica de la otra proyección.
Por A' trazamos la recta r2'' paralela a la simétrica de la recta r'' y esa es una de las
infinitas soluciones dado que por un punto se pueden trazar infinitas rectas.
r''
A''
=
T
=
L
A'
r2''
r'
Ejercicio Nº 69
Por un punto A' - A'' trazar una paralela al segundo bisector que corte a una
vertical r = r' - r'' dada.
Datos la recta r = r' - r'' y el punto A = A' - A''
r''
A''
T
L
A'
r'
1º Las rectas paralelas al segundo bisector tienen que tener sus proyecciones paralelas
2º Si la recta que buscamos tiene que cortar a la recta dada r = r' - r'', tiene que pasar
por r' la proyección horizontal y como también tiene que pasar por A' la proyección
horizontal t' queda determinada por A' y r'.
r''
A''
T
L
A'
t'
r'
3º Por A'' trazamos la paralela a t' y tenemos la recta t = t'-t'' buscada.
r''
A''
t''
T
L
A'
t'
r'
Ejercicio Nº 70
Trazar una recta r= r'- r'' que corte a una vertical s= s'-s'' y a una frontal t= t'-t''
dadas, y sea paralela a otra recta dada v =v'-v''.
Datos las rectas s, t y v
s''
t''
v''
T
L
v'
t'
s'
1º Si la recta que buscamos tiene que cortar a la recta vertical s la proyección horizontal
r' tiene que pasar por s', si a la vez tiene que ser paralela a la recta v la proyección
horizontal de r (r') tiene que ser paralela a s', por lo cual por s' trazamos la recta r'
paralela a s'.
s''
t''
v''
T
L
v'
t'
s'
r'
2º Si a su vez la recta solución r tiene que cortar también a la recta v= v'-v'', el punto de
corte de r' y t' punto A' resulta el punto de corte de ambas rectas, por A' trazamos una
perpendicular a la LT y determinamos el punto A'', por el que tiene que pasar la otra
proyección de r (r'').
s''
t''
v''
T
L
v'
t'
A'
s'
r'
A''
3º Por A'' trazamos la recta r'' paralela a la proyección vertical de v (v'') que
nos da la otra proyección de r
s''
t''
v''
T
L
v'
t'
A'
s'
r'
A''
r''
4º El punto B=B'-B'' es el punto de corte de la recta r con la recta s.
s''
t''
v''
T
L
v'
t'
A'
s'
B'
r'
A''
B''
r''
Ejercicio Nº 71
Trazar una recta r'-r'' que corte a una frontal s'-s'' y a otra recta v'-v'' de punta
respecto al vertical, sabiendo que r'-r'' es paralela al segundo bisector y su
proyección vertical r'' pasa por la proyección vertical de un punto A'-A'' dado.
Datos la recta el punto A = A' - A'' las rectas s =s'-s'' y v =v'-v''
s''
v''
A''
T
L
s'
A'
v'
1º Si la recta que buscamos tiene que cortar a la recta de punta v =v'-v'' la proyección
vertical tiene que pasar por v'' y como nos dice que pasa por la proyección vertical del
punto A'-A'' la proyección vertical r'' de la recta r tiene que ser la recta que pasa por A'' y
v''.
s''
v''
r''
A''
T
L
s'
A'
v'
2º Como también tiene que cortar a la frontal s'-s'', por donde la recta r'' corta
la s'' punto B'' trazamos la perpendicular a la LT y obtenemos el punto B'-B''
punto de corte de la recta buscada con s'-s''.
s''
B''
v''
r''
A''
T
L
s'
B'
A'
v'
3º Como nos piden que la recta solución sea paralela al 2º bisector, las dos
proyecciones de la recta r' y r'' tienen que ser paralelas. Por B' trazamos la
paralela a r'' y tenemos la recta r = r'-r'' buscada.
s''
B''
v''
r''
A''
T
L
s'
r'
B'
A'
v'
Ejercicio Nº 72
Por un punto dado A'-A'', trazar una recta cuyas trazas equidisten de la LT.
Datos el punto A = (A'-A'‘)
A''
T
L
A'
1º Si las trazas son equidistantes las proyecciones de la recta y las líneas de referencia
de las trazas forman un paralelogramo pues sus lados opuestos son iguales dos a dos y
paralelos.
2º Como r' y r'' tienen que ser paralelas, es decir la recta r =r'-r'' tiene que ser paralela al
2º bisector.
3º Por A'-A'' trazamos dos rectas r' y r'' paralelas entre si de dirección arbitraria. El
problema tiene por lo tanto infinitas soluciones
r''
A''
T
L
r'
A'
4º De la misma manera se deduce que las rectas paralelas al 1º bisector tienen
sus trazas equidistantes a la LT.
r''
A''
T
L
r'
A'
Ejercicio Nº 73
Por un punto A =A'-A''dado, trazar una recta r =r'-r'', que corte a una vertical s
=s'-s'' dada y que sus trazas equidisten de la LT.
Datos el punto A = A' - A'' y la recta s =s'-s''
A''
T
L
A'
s'
1º Si la recta que buscamos tiene que cortar a la recta de punta s =s'-s'' la proyección
horizontal tiene que pasar por s' y como nos dice que pasa por el punto A'-A'' la
proyección horizontal r' de la recta r tiene que ser la recta que pasa por A' y s'.
A''
T
L
A'
r'
s'
2º Como sus trazas tienen que equidistar de la LT tiene que ser una recta
paralela al 2º bisector por lo tanto por A'' trazamos una recta r'' paralela a r'
A''
r''
T
L
A'
r'
s'
3º Determinamos las trazas de la recta que son Vr y Hr que como vemos equidistan de la
LT. Por lo tanto la recta r’-r’’ cumple la condición de que sus trazas equidistan de la LT
s''
Vr
A''
r''
B''
T
L
A'
r'
B'
s'
Hr
4º También vemos que otra solución es la recta t =t'-t'' paralela al 1º bisector.
Para hallarla la proyección horizontal t' coincide con r', seguidamente trazamos
la simétrica de t' respecto a la LT, t1.
Vr
A''
t1
r''
B''
T
L
A'
r'-t'
B'
s'
Hr
5º Trazamos la paralela por A'' a la simétrica y obtenemos la proyección vertical t'' que
corta en C'-C'' a la recta vertical s =s'-s''. Las son Vt y Ht.
s''
Vr
C''
t''
A''
t1
Ht
Vt
r''
B''
T
L
A'
r'-t'
B'-C'
s'
Hr
Ejercicio Nº 74
Dada la horizontal r'-r'' hallar la simétrica de ella respecto al primer bisector.
Vr
r''
T
L
r'
1º Basta trazar las simétricas de r' y r'' respecto a la LT y obtenemos la frontal s'-s'' que
es la solución pedida
La intersección A'-A'' de las rectas es un punto del 1º bisector.
s''
Vr
r''
A''
T
L
s'
Hs
A'
r'
Ejercicio Nº 75
Dada una recta r =r'-r'' trazar una frontal f =f'-f'' que pase por la traza de r con
el 1º bisector y corte a una recta s =s'-s''cuyas proyecciones coinciden con r'.
Datos la recta r =r'-r'' y s =s'-s''
r''
Vr
T
L
r' - s'-s''
1º Hallamos la traza I'-I'' de la recta r'-r'' con el 1º bisector mediante la recta r1''
simétrica de r'' respecto a la LT, la intersección de r1'' con r' nos determina I'.
r''
Vr
T
L
r' - s'-s''
Vr1
r1''
I'
2º Hallamos I'' sobre r''.
I''
r''
Vr
L
r' - s'-s''
Vr1
r1''
I'
3º Determinamos la frontal f'-f'' pedida, trazamos por I' la proyección f' paralela
a la LT que corta a s' en C' refiriendo este punto a la proyección vertical s''
obtenemos C'' que como es lógico esta confundido con C'.
I''
r''
Vr
T
L
r' - s'-s''
Vr1
r1''
f'-C'-C''-I'
4º La proyección vertical f'' se obtiene al unir I’’ con C'' que es perpendicular a la LT.
Por lo que resulta ser una recta vertical (perpendicular al PH), como era de esperar pues
el plano determinado por las rectas r y s dadas es un plano proyectante horizontal, y sus
frontales son rectas de punta.
I''
r''
Vr
T
L
r' - s'-s''
Vr1
r1''
f'-C'-C''-I'
Ejercicio Nº 76
Tenemos una recta r'-r'' que corta a la LT en I'-I'' y un punto M'-M'' del semiplano
horizontal visible, de alejamiento 20, cuya proyección vertical coincide con I''. Por un
punto A'-A'' de r' de cota 40, se traza una normal al vertical y sobre ella se toma la
distancia AN =50, medida hacia el vertical. Trazar una horizontal que corte a r'-r'' y
pase por la traza de la recta MN con el 2º bisector. Datos la recta r =r'-r''
r''
T
L
r'
1º Situamos el punto M'-M'', sobre I'-I'' situamos M'' tomamos M'M''=20 y
obtenemos el punto M'-M''
r''
M''-I'-I''
20
L
M'
r'
T
2º Hallamos el punto A'' trazando una paralela a la LT a una separación de 40
mm. seguidamente trazamos una perpendicular a LT y obtenemos A'
A''
40
r''
M''-I'-I''
20
L
M'
r'
A'
T
3º La normal AN al plano vertical es una recta horizontal perpendicular al PV recta p'-p''
que se proyecta en verdadera magnitud sobre el PH. Tomamos sobre ella A'-N'=50mm.
y determinamos la proyección horizontal N' y la vertical N'' se encuentra sobre A''.
A''-N''-p''
40
r''
M''-I'-I''
L
20
N'
M'
50
p'
r'
A'
T
4º Determinada la recta M'N'-M''N'' se halla la intersección con el segundo bisector que
es el punto B'-B'' donde se cortan las proyecciones de la dicha recta, pues tiene el punto
B'-B'' igual cota que alejamiento y están confundidos.
A''-N''-p''
40
r''
M''-I'-I''
T
L
20
N'
M'
B'-B''
50
p'
r'
A'
5º Como la horizontal pedida tiene que pasar por B'-B'', trazamos por B'' la
paralela h'' a la LT que corta a r'' en C'' (coincidente con B'')
A''-N''-p''
40
r''
M''-I'-I''
T
L
20
N'
M'
h''-C''-B'-B''
50
p'
r'
A'
6º Obtenemos C'. La solución es la recta h'-h'' que determinan los puntos B'B'' y C'-C'' que resulta una recta de punta.
A''-N''-p''
C'
r''
40
h'
M''-I'-I''
T
L
20
N'
M'
h''-C''-B'-B''
50
p'
r'
A'
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