EJERCICIOS DE GEOMETRÍA
MÉTRICA
Construcciones Elementales
Ejercicio Nº 1
En cada uno de los puntos A, B, C hay un faro. Determinar la posición de un barco P teniendo
en cuenta que las visuales desde dicho barco hacia los puntos A y B forman 45º y hacia B y C
60º
C
A
B
Unimos los puntos A-B y B-C y construimos los ángulos de 45º y 60º respectivamente
C
A
60°
45°
B
Trazamos por A y por B una perpendicular a los ángulos construidos, seguidamente trazamos
las mediatrices de A-B y B-C que se cortan con las perpendiculares anteriores en los centros
O1 y O2
C
O1
O2
A
60°
90°
90°
45°
B
Trazamos las circunferencias de centros O1 y O2 que pasen por A, B y por C, D
respectivamente que se cortan en el punto P que es el punto buscado.
En realidad es una aplicación del arco capaz
P
C
O1
O2
A
60°
90°
90°
45°
B
Ejercicio Nº 2
Construir un triángulo ABC conocidos dos lados a = 50 b = 25 m/m y el ángulo en A = 60º
opuesto al lado a
Trazamos el lado a = 50m/m
C
a
B
Trazamos la mediatriz del lado a :CB, en un extremo el C construimos un ángulo dado del
vértice opuesto de 60º
C
a
60°
B
Trazamos una perpendicular al ángulo de 60º antes trazado, que corta a la mediatriz del lado
CB en el punto O1, centro del arco capaz del segmento CB
O1
C
a
90°
60°
B
Con centro en el extremo C y radio b = 25 m/m, hallamos el punto A .
Aplicación del arco capaz el ángulo A tiene 60º
A
O1
b
c
C
a
90°
60°
B
Ejercicio Nº 3
Trazar la circunferencia inscrita en un triángulo rectángulo del que se conocen la
hipotenusa a = 86 m/m. y uno de los ángulos adyacentes B = 32º
Trazamos la hipotenusa BC = 86 m/m determinamos el punto medio y trazamos la
semicircunferencia que pasa por B y C (no hace falta trazar el arco capaz por ser el ángulo
de 90º, la perpendicular es el mismo lado BC
a
B
C
Construimos el ángulo de 32º en el vértice B que corta a la semicircunferencia en el punto A
que es el otro vértice del triangulo buscado
A
32°
B
a
C
Unimos el punto A con el vértice C y tenemos construido el triangulo rectángulo de ángulo
recto en el vértice A
A
32°
B
a
C
Trazamos las bisectrices de los ángulos B y C que se cortan en el punto O centro de la
circunferencia inscrita buscada
A
c
b
O
32°
B
a
C
Trazamos las perpendiculares a los lados que nos dan los puntos T de tangencia de la
circunferencia inscrita, que trazamos de centro en O y radio OT
A
T
T
c
b
O
32°
B
a
T
C
Ejercicio Nº 4
Dibujar un triángulo isósceles del que se conocen el lado desigual a = 45 m/m. y el
ángulo desigual A = 50º
Trazamos el lado a = 45 m/m
a
B
C
Construimos la mediatriz del lado BC y el ángulo de 50º en el extremo B después trazamos el
ángulo de 90º que corta a la mediatriz en el punto O, centro del arco capaz
O
a
B
90°
C
50°
Trazamos el arco de centro O y radio OB = OC que corta a la mediatriz en el punto A que es
el otro vértice del triángulo
A
O
a
B
90°
C
50°
Unimos el vértice A con los B y C y tenemos el triángulo buscado
A
O
a
B
90°
C
50°
Ejercicio Nº 5
Construcción de un triángulo conociendo un lado y sus ángulos adyacentes
Trazamos el lado AB dado
A
B
A
B
A
c
B
Se transportan los ángulos A y B dados sobre el segmento anterior
Se prolongan los lados de los ángulos, se cortan en el punto C y se completa el triángulo
A
B
B
A
C
b
A
c
a
B
Ejercicio Nº 6
Construir un triángulo ABC conocidos dos lados a = 50 b = 25 m/m y el ángulo
comprendido B = 60º
Se lleva el segmento BC dado
B
B
C
a
A
c
B
B
a
C
Se transporta el ángulo B dado sobre el segmento anterior
B
a
C
Traza un arco con centro en de radio 25mm. que corta en el punto A al lado del
ángulo
A
5
R2
B
a
C
Se completa el triángulo
A
b
5
R2
c
B
a
C
Ejercicio Nº 7
Construir un triángulo rectángulo en A ,conociendo la Hipotenusa y la diferencia de
los catetos b-c.
Se lleva el segmento b-c dado
B
a
C
b- c
b- c
Se construye un ángulo de 45º sobre el segmento anterior
45°
b- c
C
Se traza un arco con centro en C de radio la hipotenusa a que corta en el punto B al lado del
ángulo
R50
B
45°
b- c
C
Desde B se traza un perpendicular la lado b-c donde corta a la prolongación es el vértice A
y tenemos el triángulo que se nos pide
R50
B
45°
A
b- c
C
Ejercicio Nº 8
Construcción de un triángulo rectángulo en A, si se conoce un cateto c y la suma
de la hipotenusa y el otro cateto a + b
Se lleva el segmento a + b dado
a+b
c
a+b
Se construye un triángulo rectángulo de cateto mayor (a + b) y cateto menor c
B
c
A
a+b
Traza la mediatriz de la hipotenusa del triángulo anterior que corta al cateto (a + b) en el
punto C que es el vértice del triángulo que se busca
B
c
A
C
a+b
Unimos B con C y tenemos el triángulo rectángulo
B
c
A
a
b
C
a+b
Ejercicio Nº 9
Construcción de un cuadrado conociendo la suma de la diagonal mas el lado
Construimos un cuadrado cualquiera ABDE
D+L
E
A
D
B
Trazamos la diagonal de este cuadrado y la prolongamos, haciendo centro en D y radio DB
obtenemos el punto N que es la suma de la diagonal mas el lado de este cuadrado, unimos N
yB
D
'+
L'
N
E
A
D
B
Llevamos sobre esta diagonal la dada D + L , obteniendo el punto M por trazamos una
paralela a la recta NB y tenemos el punto C que es el lado del cuadrado buscado
N
D
'+
L'
M
+L
D
D
E
B
A
C
Por C trazamos el lado del cuadrado y tenemos el cuadrado que nos piden
N
D
'+
L'
M
+L
D
D
E
B
A
L
C
Ejercicio Nº 10
Construir un rectángulo áureo
Se construye un cuadrado de lado igual al menor del rectángulo que queremos construir.
D
C
A
B
Se determina la mitad del lado AB punto 1 se traza una circunferencia de centro en
1 y radio 1C hasta B'
C
D
1
A
B
B'
AB' es el lado del rectángulo buscado
D
C
C'
B
B'
1
A
Ejercicio Nº 11
División de la circunferencia en nueve partes iguales
Se trazan dos diámetros perpendiculares AB y CD
A
D
C
B
Con centro en A trazamos el arco O2 y con centro en B trazamos el arco O1
A
2
D
C
O
1
B
3º Con centro en A trazamos el arco 1-3 y con centro en B el arco 2-3
A
2
D
C
1
B
3
Desde 3 se traza el arco de radio 3-A que corta al diámetro CD en al punto P, el segmento CP
es la novena parte de la circunferencia
A
2
C
L9
P
D
O
1
B
3
Se lleva el segmento CP sobre la circunferencia y obtenemos la división de la circunferencia
en nueve partes o el eneágono
A
2
C
L9
P
D
O
1
B
3
Ejercicio Nº 12
Construcción de un heptágono regular dado el lado l = 20
Trazamos la mediatriz del lado dado AB
A
B
Se construye un ángulo de 30º grados, levantamos una perpendicular al lado por B
1
30°
A
B
Con centro en A trazamos el arco 1-O siendo O el centro de la circunferencia circunscrita al
polígono
O
1
30°
A
B
Llevamos el lado AB sobre la circunferencia y tenemos la solución al problema
O
1
30°
A
B
Ejercicio Nº 13
Construcción de un octógono regular conociendo el lado l = 20
Trazamos la mediatriz del lado dado
A
B
2º Construimos un cuadrado auxiliar de lado dado l = 20
D
C
A
B
Se trazan las diagonales AC y BD que se cortan en el punto P se traza la circunferencia
circunscrita al cuadrado que corta a la mediatriz al lado en el punto O, que es el centro de la
circunferencia circunscrita del octógono .
O
D
C
P
A
B
Se traza la circunferencia de centro O y radio OA y llevamos el lado del octógono sobre ella
O
D
C
P
A
B
Ejercicio Nº 14
Construir el eneágono regular a partir del lado dado l = 20
Construimos un triángulo equilátero de lado igual al lado dado, trazamos la altura
M
A
B
Trazamos la bisectriz del ángulo A que corta a la altura en el punto N.
b
M
N
A
B
Se traza la circunferencia de centro M y radio MN que corta a las prolongaciones de los lados
del triángulo en P y Q, unimos P y Q y donde esta recta corte a la prolongación de la altura
punto O tenemos el centro de la circunferencia circunscrita al eneágono.
Q
P
O
b
M
N
A
B
Trazamos la circunferencia de centro O y radio OA = OB
Q
P
O
b
M
N
A
B
Llevamos el lado sobre la circunferencia y trazamos el polígono.
Q
P
O
b
M
N
A
B
Ejercicio Nº 15
Construcción del decágono regular a partir del lado l = 20
Construimos el pentágono regular dado el lado l =20. trazamos por B la perpendicular, la
mediatriz del lado AB, hacemos centro en B y con radio BA trazamos un arco que corta a la
perpendicular por B en 1, con centro en el punto medio del lado AB se traza el arco 1-2, la
distancia A-2 es el valor de la diagonal del pentágono, con centro en A y Radio A2 obtenemos
el vértice superior del pentágono, hallamos los otros vértices
1
2
A
B
El vértice superior O es el centro de la circunferencia circunscrita del decágono
O
1
2
B
Llevamos la medida del lado AB =20 m/m y construimos el decágono
O
1
2
A
B
Ejercicio Nº 16
Rectificación de la semicircunferencia
Se lleva el lado del cuadrado y del triángulo inscritos en la circunferencia y la suma es el valor
de la semicircunferencia
nr
L4
L3
Ejercicio Nº 16
Rectificación de la semicircunferencia
Se construye un ángulo de 30º grados, llevamos tres veces el radio de la circunferencia punto
B
Unimos el punto anterior B con el C y esa es la longitud de la semicircunferencia
C
nr
30°
A
3r
B
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Ejercicio Nº 1