SISTEMA DIÉDRICO
Distancias
Ejercicio Nº 1.- Hallar la distancia del punto P=P'-P'' dado al plano α=α1-α2, en
verdadera magnitud y que esta sea minima.
P ''
a2
T
L
a1
P'
1º Hallamos la 3º proyección α3 del plano α.
PP
P ''
a2
T
L
a3
a1
P'
2º Hallamos la 3º proyección P’’’ del punto P= P'-P''.
PP
P ''
P '''
a2
T
L
a3
a1
P'
3º Trazamos por P’’' una perpendicular al plano α3 y obtenemos el punto I’’’. La distancia P’’’I’’’ es la pedida.
PP
P ''
P '''
a2
I'''
T
L
a3
a1
P'
4º Hallamos las proyecciones I’ y I’’ de la intersección. La distancia del punto al plano es la minima por
ser la perpendicular del punto al plano.
PP
P ''
P '''
a2
I''
I'''
T
L
I'
a3
a1
P'
Ejercicio Nº 2.- Hallar la distancia del punto P dado a una recta de perfil r dada por sus
trazas.
r'-r''
P ''
Vr
P'
L
T
Hr
1º Hallamos la 3º proyección r’’’ de la recta r.
PP
r'-r''
P ''
Vr
P'
r'''
L
T
Hr
2º Hallamos la 3º proyección P’’’ del punto P
PP
r'-r''
P ''
P '''
Vr
P'
r'''
L
T
Hr
3º Por P’’’ trazamos un plano auxiliar α3 perpendicular a la recta r’’’, hallamos la intersección del
plano α3 y la recta R’’’ punto I’’’.
PP
r'-r''
P ''
a3
P '''
I'''
Vr
P'
r'''
L
T
Hr
4º Hallamos las proyecciones vertical I’’ y horizontal I’ del punto I.
PP
r'-r''
I''
P ''
a3
P '''
I'''
Vr
P'
r'''
L
I'
T
Hr
5º Hallamos la distancia en verdadera magnitud. Unimos I’ y P’ (por ejemplo) por P’ trazamos una
perpendicular a P’-I’ y llevamos la distancia h=I’’-P’’ es decir la cota de P menos la de I. La distancia
en verdadera magnitud es d.
PP
r'-r''
h
I''
h
P ''
a3
P '''
I'''
Vr
P'
r'''
d
L
I'
T
Hr
Ejercicio Nº 3.- Hallar la distancia de un punto dado A'-A'' de la LT a la recta r'-r''
r''
T
L
A '-A ''
r'
1º Trazamos por el punto A’-A’’ el plano α1-α2 perpendicular a la recta r’-r’.
a2
r''
T
L
A '-A ''
r'
a1
2º Hallamos la intersección de r’-r’’ con el plano α1-α2, mediante el plano proyectante δ1-δ2 de r’-r’’.
3º La intersección del plano α1-α2 con el plano proyectante δ1-δ2 es la recta i’-i’’.
4º La intersección de la recta r’-r’’ con la recta i’-i’’ es el punto B’-B’’.
5º La distancia entre el punto A’-A’’ y la recta r’-r’’ es el segmento A’B’-A’’B’’ y en verdadera
magnitud el segmento d.
Ejercicio Nº 4.- Hallar la distancia entre dos rectas r y s paralelas.
r''
s''
T
L
s'
r'
1º Situamos un punto P=P’-P’’ sobre la recta r’-r’’.
P ''
s''
T
L
P'
s'
r'
2º Por el punto P=P’-P’’ trazamos una frontal perpendicular a la recta r’-r’’ y por lo tanto también
a la recta s’-s’’, hallamos la traza horizontal Hf de la frontal f’-f’’.
f''
P ''
s''
T
L
Hf
P'
s'
r'
f'
3º Trazamos el plano α= α1-α2 perpendicular a las rectas r’-r’’ y s’-s’’ y que pasa por el punto P’P’. Es decir por Hf trazamos α1 perpendicular a s’ y r’ por el punto de corte de α1 con la LT
trazamos α2 perpendicular a r’’y s’’.
2
r''
f''
P ''
s''
T
L
Hf
P'
s'
r'
a1
f'
4º Hallamos la intersección de la recta s’-s’’ con el plano α= α1-α2 mediante el plano proyectante
δ de la recta s’-s’’.
5º Por el punto de corte de α1 y δ1 trazamos una perpendicular a LT unimos el punto de corte con la LT
con el punto de corte de α2 y δ2 y nos determina el punto I’’ de corte con s’’, hallamos I’ y
tenemos el punto de intersección de s’-s’’ con el plano α1-α2.
6º La distancia entre las rectas dadas r’-r’’ y s’-s’’ es la distancia d entre los puntos P’-P’’ y I’-I’’.
Unimos I’ y P’ por P’ trazamos una perpendicular y sobre esta llevamos la distancia h que es la
diferencia de cotas P’’ menos I’’.
Ejercicio Nº 5.- Hallar la distancia entre dos planos paralelos α y β perpendiculares
al 2º bisector.
ß 1 -ß 2
a 1 -a 2
L
T
1º Hallamos un punto cualquiera P’-P’’ del plano α1- α2, mediante la recta horizontal r’-r’’.
ß 1 -ß 2
a 1 -a 2
r'
P'
r''
P ''
L
T
2º Por el punto P’-P’’ trazamos una recta s’-s’’ perpendicular a los planos α=α1-α2 y β=β1-β2. La recta
s’-s’’ es una recta perteneciente al 2º bisector.
3º.-Trazamos el plano δ1-δ2 proyectante vertical de la recta s’-s’’ para hallar la intersección de s’-s’’
con el plano β=β1-β2.
4º Hallamos la intersección I’-I’’ de la recta s’-s’’ con el plano β=β1-β2 por medio del
proyectante vertical δ1-δ2 de s’-s’’.
5º La distancia entre los planos dados α=α1-α2 y β=β1-β2 es la distancia d entre los puntos P’-P’’ y
I’-I’’. Unimos I’ y P’ por P’ trazamos una perpendicular y sobre esta llevamos la distancia h que
es la diferencia de cotas I’’ menos P’’.
Ejercicio Nº 6.- Hallar la distancia entre dos planos paralelos dados α y β.
a2
ß2
L
T
ß1
a1
1º Trazamos una recta perpendicular cualquiera r’-r’’ a los planos dados.
a2
ß2
r''
L
T
ß1
r'
a1
2º Hallamos la intersección de la recta r’-r’’ con los planos α=α1-α2 y β=β1-β2 mediante el plano
proyectante δ1- δ2.
3º La intersección de r’-r’’ y el plano α=α1-α2 es el punto I’-I’’.
4º La intersección de r’-r’’ y el plano β=β1-β2 es el punto P’-P’’.
5º La distancia entre los planos dados α=α1-α2 y β=β1-β2 es la distancia d entre los puntos P’-P’’ y I’-I’’.
Unimos I’ y P’ por P’ trazamos una perpendicular y sobre esta llevamos la distancia h que es la
diferencia de cotas I’’ menos P’’.
Ejercicio Nº 7.- Hallar la verdadera longitud del segmento de la recta r comprendido
entre los planos α y β.
1º Hallamos la intersección de la recta r=r’-r’’ con los planos α y β mediante el plano
proyectante de r δ1- δ2.
2º La intersección de δ1- δ2 y β1- β2 resulta el punto A’-A’’ al ser los planos proyectantes
verticales los dos.
3º La intersección de δ1- δ2 y α1- α 2 resulta la recta s’-s’’ pues δ1 y α1 se cortan en Hs, y δ2 y α 2 se
cortan en Vs que determinan la recta intersección s’-s’’.
4º El punto de corte de la recta r’-r’’ y la recta s’-s’’ es el punto B’-B’’que es la intersección de la
recta r’-r’’ y el plano α1-α 2.
5º La distancia en verdadera magnitud del segmento de recta r’-r’’ comprendido entre los dos
planos α y β es la distancia que existe entre los puntos A y B.
Ejercicio Nº 8.- Hallar la distancia del punto P=P'-P'' al plano α =A-B-C.
B ''
A'
P ''
C' T
L
P'
A ''
B'
C ''
1º Hallamos las rectas r=r’-r’’ y s=s’-s’’que determinan los puntos A’-A’’, B’-B’’ y C’-C’’.
r''
r'
s''
B ''
A'
P ''
s'
C' T
L
P'
A ''
B'
C ''
2º Hallamos las trazas Hr-Vr y Hs-Vs de las rectas r=r’-r’’ y s=s’-s’.
r''
r'
s''
B ''
A'
P ''
Hr
Vr
s'
C' T
L
Hs
P'
A ''
B'
C ''
Vs
3º Hallamos las trazas α1 y α2 del plano.
a2
r''
r'
s''
B ''
A'
P ''
Hr
Vr
s'
C' T
L
Hs
P'
A ''
B'
C ''
Vs
a1
4º Por el punto P’-P’’ trazamos la recta t=t’-t’’ perpendicular al plano α1-α2 .
2
r''
r'
s''
B ''
A'
P ''
Hr
Vr
t''
s'
C' T
L
Hs
t'
P'
A ''
B'
Vs
C ''
a1
5º Hallamos la intersección de la recta t’-t’’ perpendicular al plano α1-α2 mediante el plano proyectante
de t’-t’’, δ1- δ2. La intersección del plano α1-α2 y del δ1- δ2, nos determina la recta v’-v’’.
6º Hallamos la intersección de la recta t’-t’’ y el plano α1-α2, que es el punto de corte de la recta
t’-t’’ y la recta v’-v’’, punto I’-I’’.
7º La distancia entre el punto P’-P’’ y el plano α1-α2, es la que existe entre los puntos P’-P’’ y el I’-I’’.
Ejercicio Nº 9.- Hallar la distancia de un punto dado P( 80; 15;15) a la recta del
segundo bisector r que pasa por los puntos A(40; 0; 0) y B(0; 30; -30).
P ''
L
A '-A ''
T
P'
B '-B ''
1º Trazamos la recta r’-r’’ que pasa por los puntos A’-A’’ y B’-B’’.
r'-r''
P ''
L
A '-A ''
T
P'
B '-B ''
2º Por el punto P’-P’’ trazamos la recta s’-s’’ frontal y perpendicular a la recta r’-r’’, y hallamos
la traza horizontal Hs.
s''
r'-r''
P ''
L
A '-A ''
T
s'
B '-B ''
P'
Hs
3º Por la traza Hs trazamos el plano α1- α2 perpendicular a la recta r’-r’’.
s''
r'-r''
P ''
L
A '-A ''
T
s'
P'
Hs
a 1- a 2
B '-B ''
4º Hallamos la intersección de la recta r’-r’’ con el plano α1- α2 mediante el proyectante de r’-r’’ δ1-δ2.
5º La intersección de la recta r’-r’’ con el plano α1- α2 es el punto I’-I’’.
6º La distancia (la minima) entre el punto P’-P’’ y la recta r’-r’’, es la que existe entre los puntos
P’-P’’ y el I’-I’’.
Ejercicio Nº 10.- Hallar la distancia en verdadera magnitud, entre dos rectas r'-r''
y s'-s'' dadas cuyas proyecciones horizontales son paralelas.
r''
s''
L
T
r'
s'
1º Trazamos los planos proyectantes horizontales de las rectas planos α1-α2 y β1- β2, y vemos que son
paralelos entre si, por lo tanto la distancia entre las rectas es igual a la distancia entre los planos.
a2
ß2
r''
s''
L
T
s'
r'
ß1
a1
2º Por un punto A’-A’’ de la recta r’-r’’, trazamos la perpendicular t’-t’’ a los planos.
ß2
a2
A ''
t''
r''
s''
L
T
t'
s'
A'
r'
ß1
a1
3º La recta t’ corta a s’ en el punto B’ hallamos B’’ sobre t’’ y por B’’ trazamos la recta r1’- r1’’
paralela a r’-r’’.
a2
ß2
r''
A ''
B ''
t''
s''
r 1 ''
L
T
t'
B'
s'-r 1 '
A'
r'
ß1
a1
D'
4º La recta r1’- r1’’ corta a s’-s’’ en el punto C’-C’’.
a2
ß2
r''
A ''
B ''
t''
s''
C ''
r 1 ''
L
T
t'
B'
s'-r 1 '
A'
r'
ß1
C'
a1
D'
5º Por C’-C’’ trazamos la recta v’-v’’ perpendicular común a los planos α1-α2 y β1-β2 que corta a la recta r’r’’ en el punto D’-D’’. Como la recta v’-v’’es una horizontal el segmento viene dado en verdadera magnitud po
su proyección horizontal. Con esto se comprueba que la distancia entre las rectas es la distancia entre los planos
y viene dada en verdadera magnitud por la distancia entre las trazas horizontales α1 y β1.
a2
ß2
r''
A ''
t''
B ''
D ''
s''
C ''
v''
r 1 ''
L
T
t'
B'
s'-r 1 '
A'
r'
v'
ß1
C'
d
D'
a1
Descargar

Ejercicios sobre Distancias