SISTEMA DIÉDRICO
Abatimientos 2
Ejercicio Nº 12.- Obtener las proyecciones diédricas de un cuadrado ABCD contenido
en el plano α, siendo A'' y C'' las proyecciones verticales de dos vértices opuestos.
1º Hallamos las proyecciones A’ y C’ de los puntos dados por medio de las horizontales del plano dado
que pasan por A’’ y C’’.
2º Abatimos el punto A’ sobre el PH por el procedimiento habitual.
3º Hallamos el punto (C) por afinidad uniendo A’ con C’ hasta que corte al eje α1 el punto de corte lo
unimos con (A) y donde corte a la perpendicular trazada por C’ a α1 resulta el punto (C).
4º Como (A), (C) es la diagonal del cuadrado, construimos un cuadrado trazamos la mediatriz y con
centro en el punto medio se traza una circunferencia de diámetro (A)-(C) y obtenemos los otros dos
vértices (B) y (D).
5º Por medio de la afinidad hallamos las proyecciones horizontales D’ y B’.
6º Unimos los las proyecciones horizontales A’, B’, C’ y D’ y obtenemos la proyección horizontal del
cuadrado.
7º Por medio de las horizontales de plano que pasan por B’ y por D’ hallamos las proyecciones
verticales de estos vértices. Unimos los las proyecciones verticales A’’, B’’, C’’ y D’’ y obtenemos la
proyección vertical del cuadrado.
Ejercicio Nº13.- Dada la traza vertical de un plano α en el que esta situados un
triángulo equilátero de lado igual a 40 mm. Un lado de este triángulo esta situado en
el plano vertical de proyección y otro en el horizontal. Hallar las proyecciones
diédricas del triángulo.
1º Si el triángulo se encuentra en el plano α y un lado sobre el PH y otro sobre el PV por ejemplo el AC
el AB respectivamente, estos tienen que encontrarse en las trazas α2
vemos en la figura.
y α1 respectivamente. Como
2º Llevamos sobre la traza α2 el segmento A’’-B’’ a partir de la intersección de una longitud de 40 mm
pues al encontrarse sobre la traza se encuentra en verdadera magnitud.
3º Abatimos sobre el PV el triángulo, es decir se construye un triangulo equilátero de lado 40 mm.
4º La proyección horizontal A’ y B’, se encuentran sobre la LT al estar A’’ y B’’, en la traza vertical α2.
5º Como C se encuentra sobre la traza horizontal α1 del plano, la proyección vertical C’’ tiene que
encontrarse sobre la LT y tiene que estar sobre la perpendicular a α2 trazada desde (C).
6º Abatimos el punto (C) que como el punto C se encuentra sobre la traza α1, en realidad el lado (A)-(C) es la
traza (α1) abatida, realizamos el procedimiento de abatir una traza en sentido inverso es decir por (C)
trazamos una perpendicular al eje α2 (que ya esta trazada) por C’’ una perpendicular a la LT y con centro en
A’ y radio A’-(C) un arco de circunferencia que corta a la perpendicular en el punto C’ que resulta la
proyección horizontal de C y un punto de la traza α1 .
7º Unimos las puntos A’, B’,C’ y A’’, B’’,C’’ y se obtiene la proyección horizontal y la vertical
del triángulo pedido.
Ejercicio Nº 14.- Determinar la proyección vertical y la verdadera magnitud de un
cuadrilátero situado en un plano α perpendicular al 2º bisector conociendo la
proyección horizontal A',B',C' y D'
1º Hallamos las proyecciones verticales B’’ y D’’ de los vértices, como B’ se encuentra sobre la LT, B’’
estará sobre la traza vertical α2, como D’ se encuentra sobre la traza horizontal α1, D’’ estará sobre la LT.
2º Como el lado C’-B’ es paralelo a α1 el lado C’’-B’’ será paralelo a la LT resulta una horizontal de plano.
3º Por A’ trazamos la frontal de plano que nos determina la proyección vertical A’’.
4º Unimos A’’,B’’,C’’y D’’ y obtenemos la proyección vertical del cuadrilátero.
5º Abatimos el punto A sobre el PV y obtenemos (A).
1-
C ''
A'
B ''
(B )
18
(A )
L
D ''
B'
D'
C'
A ''
18
T
2
6º Por afinidad obtenemos el punto (D), por D’’ trazamos una perpendicular al eje, unimos (A) con el punto
de corte del eje y del segmento A’’-D’’ y el punto de corte con la perpendicular anterior resulta el punto (D).
7º Por afinidad obtenemos el punto (C), por C’’ trazamos una perpendicular al eje, unimos (A) con el punto
de corte del eje y del segmento C’’-A’’ y el punto de corte con la perpendicular anterior resulta el punto (C).
8º Unimos los puntos (A), (B), (C) y (D), y obtenemos la verdadera magnitud del cuadrilátero.
Ejercicio Nº 15.- Hallar las proyecciones y el tercer vértice de un triángulo equilátero
ABC del que se conocen las proyecciones de un lado A'-B' y el plano que los contiene α.
Sabiendo que el vértice C tiene mayor cota que los dados.
1º Por medio de las frontales del plano α que pasan por las proyecciones A’ y B’ hallamos las
proyecciones verticales A’’ y B’’.
2º Hallamos el punto (A), abatiendo sobre el vertical, por A’’ trazamos una paralela y una vertical sobre
la paralela llevamos el alejamiento y con centro en el punto de intersección trazamos un arco que corta a
la perpendicular en el punto (A).
3º Por afinidad determinamos el punto (B), prolongamos A’’-B’’ hasta que corte al eje en el punto 1
unimos este con (A) por B’’ trazamos una perpendicular al eje que corta a la recta anterior en el punto
(B), que es el punto buscado.
4º Construimos el triángulo equilátero de lado (A)-(B), hallando el vértice (C). Que resultara el de mayor
cota.
5º Aplicamos una afinidad ortogonal sobre el eje α2 hallamos el punto B’’. Prolongamos el lado (C)-(B)
hasta que corte al eje en el punto 2, unimos el punto 2 con B’’, por (C) trazamos una perpendicular al
eje que corta a la recta anterior en el punto C’’.
6º Por medio de una horizontal de plano que pasa por la proyección vertical C’’ hallamos la
proyección horizontal C’.
8º Unimos los puntos A’-B’-C’, y A’’-B’’-C’’, obtenemos la proyección horizontal y vertical del triángulo.
Ejercicio Nº 16.- Sabiendo que el triángulo ABC pertenece al plano α, se pide : Hallar
la traza horizontal α1, la proyección vertical y la verdadera magnitud del triángulo así
como la distancia del circuncentro a la traza α1.
1º Hallamos la traza horizontal α1 del plano, por el punto 1’’ trazamos una perpendicular a la LT que la corta
en el punto 1’, con centro en O trazamos una circunferencia de radio O-1’’ que corta en (1) a la traza abatida
(α2) en (1), unimos (1) con 1’ y trazamos la perpendicular desde O a (1)-1’ que resulta la traza horizontal α1.
2º Hallamos las proyecciones verticales de los puntos A’, B’ y C’ mediante las horizontales de plano que
pasan por los puntos A’, B’ y C’ que nos determinan los puntos A’’, B’’ y C’’ que son las proyecciones
verticales de los vértices del triángulo.
3º Unimos los puntos A’’, B’’y C’’ y obtenemos la proyección vertical del triángulo.
4º Abatimos sobre el plano horizontal el punto B’-B’’, por B’ trazamos una paralela y una perpendicular a
la charnela α1 sobre la paralela llevamos la cota del punto, haciendo centro en 2 trazamos un arco de radio
2-3 que corta a la perpendicular en el punto abatido (B).
5º Hallamos los otros puntos abatidos (A) y (C) por afinidad prolongamos A’-B’ hasta que corte al
eje en el punto 4, unimos este con el (B) y donde corte a la perpendicular trazada por A’ obtenemos el
punto (A) de la misma manera se obtiene el punto (C).
6º Unimos las proyecciones abatidas (A), (B), (C) y obtenemos el triángulo en verdadera magnitud.
7º Hallamos el circuncentro (O) del triangulo, por medio de las mediatrices de los lados (A)-(B) y (B)(C), que se cortan en (O) que es el punto buscado.
7º Hallamos las proyecciones horizontal y vertical del circuncentro (O) del triangulo puntos O’ y
O’’ y la distancia a la traza α1 que es la perpendicular desde (O) a la traza α1.
Ejercicio Nº 17.- Determina los puntos de intersección de una circunferencia de centro
C y radio 30 mm con una recta r dada por sus proyecciones. No es necesario dibujar las
proyecciones de la circunferencia.
C ''
r''
L
T
C'
r'
1º Como la circunferencia y la recta tienen que estar en el mismo plano y que un punto y una recta
determinan un plano. Por el punto C trazamos una recta s que corte a la recta dada r en nuestro caso
trazamos una horizontal de plano, por C’’ trazamos la horizontal s’’ que corta a r’’ en el punto 1’’, por
este punto trazamos una perpendicular a la LT que nos determina la proyección horizontal 1’, unimos
C’ con 1’ y tenemos la proyección horizontal s’ de la recta.
r''
s''
C ''
1''
L
T
1'
s''
C'
r'
2º Hallamos las trazas verticales de la recta r’-r’’ y s’-s’’ Vr y Vs respectivamente que nos determina la traza
vertical α2 del plano, prolongamos esta hasta que corte a la LT por el punto de corte trazamos la traza α1
que es paralela a la proyección horizontal s’ de la recta s’-s’’. ( También podríamos hallar la traza horizontal
Hr de la recta r’-r’’)
3º Abatimos sobre el PH el punto C’-C’’ centro de la circunferencia, por C’ trazamos una paralela y una
perpendicular a la traza horizontal α1 del plano (charnela o eje de abatimiento), sobre la paralela llevamos la
cota del punto C (22 mm) y con centro donde la perpendicular corta a la charnela y radio hasta el punto
anterior trazamos una arco que corta a la perpendicular en el punto (C) que resulta el centro abatido.
4º Abatimos la recta r’-r’’ tomamos la traza Vr y repetimos el mismo procedimiento que para el punto C’-C’’
trazamos una paralela y una perpendicular a la traza horizontal α1 del plano (charnela o eje de abatimiento),
sobre la paralela llevamos la cota del punto Vr y con centro donde la perpendicular corta a la charnela y radio
hasta el punto anterior trazamos una arco que corta a la perpendicular en el punto (Vr) que resulta la traza
abatida. Trazamos la circunferencia de radio 30 y unimos (Vr) con el punto de corte de r’ con el eje α1 .
5º Los puntos de corte de la recta y la circunferencia son los puntos (A) y (B).
6º Hallamos A’ y B’, y trazando por (A) y (B) perpendiculares al eje de abatimiento o charnela α1 que
al cortarse con r’ determinan las proyecciones horizontales A’ y B’.
7º Hallamos A’’ y B’’, y trazando por A’ y B’ perpendiculares a la LT que al cortarse con r’’ determinan
las proyecciones verticales A’’ y B’’.
Ejercicio Nº 18.- Hallar las proyecciones horizontal y vertical del Centro de la
circunferencia que pasa por los puntos dados A, B y C.
C ''
A ''
B ''
A'
B'
C'
1º Trazamos dos rectas que se corten y que pasan por los puntos dados. Trazamos la recta r’-r’’ que pasa
por los puntos A’-A’’ y B’-B’’, y la recta s’-s’’ que pasa por los puntos B’-B’’ y C’-C’’ y se cortan en el
punto B’-B’’.
s''
C ''
A ''
r''
B ''
s'
A'
B'
C'
r'
2º Hallamos las trazas de las rectas r’-r’’ y s’-s’’ Vr’’ y Hs’.
C ''
V r''
A ''
r''
B ''
s'
C'
A'
H s'
B'
r'
3º Como la recta r’-r’’ es una horizontal de plano la traza α1 será paralela a la proyección horizontal r’ de la
recta r, por lo tanto por Hs’ trazamos la traza α1 paralela a la proyección horizontal r’, donde corta a la LT
unimos con Vr’’ y obtenemos la traza vertical α2.
4º Abatimos el plano α sobre el PH, por un punto de α2 trazamos una perpendicular a la LT por el punto de
corte se traza una perpendicular a α1, con centro en el punto 1 intersección de las trazas con la LT trazamos
un arco de circunferencia de radio 1-Vr’’ que corta a la perpendicular en el punto 2 unimos este con el punto
de intersección de la traza y la LT y obtenemos la traza a traza (α2) abatida.
5º Abatimos las rectas r’-r’’ y s’-s’’. Por el punto 2 trazamos la recta (r ) paralela a α1 y por A’ y B’
perpendiculares a la traza C, obteniendo los puntos abatidos (A) y (B) unimos Hs’ con (B) y se obtiene la
recta (s) , por C’ trazamos una perpendicular a la traza α1 y se obtiene el punto abatido (C).
6º Hallamos las mediatrices de los segmentos (A)-(B), y (B)-(C) y obtenemos el punto (O) centro
de la circunferencia que pasa por los puntos (A),(B) y (C).
7º Desabatimos el punto (O). Unimos (O) con (A) y hallamos el punto 3 se une este con A’ y
donde se corta con la perpendicular trazada por (O) a α1 se obtiene el punto O’.
8º Por medio de la horizontal de plano que pasan por O’ determinamos la proyección vertical O’’ del
centro de la circunferencia.
Ejercicio Nº 19.- Hallar las proyecciones horizontal y vertical de una circunferencia de
centro O y que pase por un punto P y se encuentre contenida en un plano α perpendicular al
primer bisector.
1º Hallamos la traza vertical α2 del plano que al ser perpendicular al 1º bisector es simétrica de la traza
horizontal respecto a la LT.
2º Por medio de las horizontales de plano que pasan por O’ y P’, hallamos las proyecciones verticales del
centro y del punto O’’ y P’’.
3º Abatimos el punto O’-O’’ centro de la circunferencia. Por O’ trazamos una perpendicular a la traza
horizontal α1 (la paralela ya la tenemos), sobre la paralela llevamos la cota del punto O’-O’’punto 1.
Hacemos centro en el punto 2 y radio 2-1 trazamos un arco que corta a la perpendicular en el punto (O) que
resulta el punto O abatido.
4º Por afinidad determinamos el punto P abatido. Unimos O’ y P’ hasta que corte a la traza horizontal α1,este
punto se une con (O) y al corta a la perpendicular trazada por P’ nos determina el punto abatido (P).
5º Con centro en (O) trazamos la circunferencia que pase por el punto (P).
6º Trazamos dos diámetros de la circunferencia perpendiculares uno paralelo al eje de abatimiento.
7º Desabatimos los puntos (A), (B), (C) y (D) .Por (A), (B) trazamos perpendiculares al eje de abatimiento α1
que nos determinan los puntos A’ y B’,y los puntos (C) y (D) por afinidad y obtenemos los puntos C’ y D’
que son los extremos de los diámetros.
8º Hallamos las proyecciones verticales de los diámetros A’’ y B’’ se encuentran sobre la horizontal que pasa
por O’-O’’. Para determinar el otro diámetro trazamos una horizontal por D’ y hallamos D’’, la proyección
vertical pasa por D’’ y O’’ y sobre ella tiene que estar D’’.
Ejercicio Nº 20.- Hallar las proyecciones horizontal y vertical de una circunferencia situada
en un plano α y que es tangente a los planos de proyección, siendo el punto A el punto de
tangencia con el plano horizontal.
1º Abatimos la traza vertical α2. Por un punto cualquiera 1’-1’’ situado sobre la traza vertical, por 1’ trazamos
una perpendicular a la charnela α1 con centro en O y radio O-1’’ trazamos un arco que corta a la
perpendicular en (1’’) que resulta un punto abatido de la traza.
2º Hallamos la bisectriz del ángulo formado por α1 y (α2), por A’ trazamos una perpendicular a la traza α1
que corta a la bisectriz en el punto (O) que es el centro de la circunferencia tangente a los planos de
proyección (por ser tangente a las trazas) y pasa por el punto A’.
3º Trazamos la circunferencia de centro (O) y que pase por A’.
4º Trazamos dos diámetros perpendiculares entre si el (A)- (B) y el (C)- (D). Que además son
perpendiculares y paralelos al eje de abatimiento pues resulta mas fácil hallar las proyecciones.
5º Desabatimos el eje (C)-(D), prolongando este hasta que corte a la traza abatida (α2) por el punto de corte
una perpendicular a α1 que corta a la LT y por este punto otra paralela a la traza α1.
6º Por los puntos (C), (O) y (D) trazamos perpendiculares al eje de abatimiento α1 y obtenemos las
proyecciones horizontal de los mismos C’, O’ y D’.
7º Unimos (B) con (D) y por afinidad obtenemos el B’ y tenemos los diámetros en proyección horizontal.
8º Por medio de la horizontal de plano C’,D’- C’’,D’’ hallamos las proyecciones verticales de C’, O’’ y D’’.
9º Como A’ se encuentra sobre α1 la otra proyección A’’ tiene que estar sobre la LT, a su vez como el
diámetro tiene que pasar por O’’ unimos A’’ con O’’ y obtenemos la proyección del diámetro por B’
trazamos la perpendicular a la LT y se obtiene la proyección vertical B’’.
10º Tenemos las proyecciones de los diámetros de la circunferencia.
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