Integrales dobles
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Repaso de la situación en una variable
Sea f, función continua y no negativa sobre [a,b] que se divide en
n subintervalos de igual longitud x. Si xj es el extremo izquierdo
del j-esimo subintervalo entonces, la integral de f en [a,b] se define:
b
n
lim  f(x j )Δ x   f(x )dx  F(b) - F(a)
n 
j 1
a
xj
xj+1
a
b
Gráficamente representa el área bajo la gráfica de f en [a,b]
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La integral doble
Sea f, continua en una región R del plano xy . Usando líneas
paralelas a los ejes para aproximar R por medio de n rectángulos
de área A. Sea (xj,yj) un pto del j-esimo rectángulo, entonces la
integral doble de f sobre R es:

R
n
f(x , y)dA  lim  f(x j , y j )ΔA
n   j 1
( xJ, xj+1)
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Interpretación gráfica
La integral doble de una función no negativa en dos variables
se interpreta como el volumen bajo la superficie z = f(x,y) y
sobre la región R del plano xy.
z = f(x,y)
Región R
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Cálculo de integrales dobles
La integral doble de f sobre la región R, está dada por el valor
común de las dos integrales iteradas.
d
 f(x , y)dA   
c
b
a
b
f(x , y)dx dy 

a
d
c
f(x , y)dydx
R
Donde a, b, c y d son los límites de integración de la región R.
Para resolver la integral doble, se mantiene fija una variable y
se integra con respecto a la otra variable.
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Propiedades
a)
 K.f(x,
y)dA

R
b)
K
 f(x, y)dA
R
 f(x, y)  g(x, y)dA
R

 f(x, y)dA   g(x, y)dA
R
R
c) Si f(x, y)  0,  (x, y)  R ,
 f(x, y)dA
 0
R
d) Si R  R 1  R 2 , donde R 1 y R 2 no se sobreponen
 f(x , y)dA
R

 f(x , y)dA   f(x , y)dA
R1
R2
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Límites de integración
Secciones transversales verticales: La región R está limitada por
las gráficas de g1 y g2 en el intervalo [a, b]. Si R es descrita por
R: a  x  b , g1(x)  y  g2(x)
y = g2(x)
R
a
y = g1(x)
b
b
 f(x , y)dA   
a
R
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g 2 (x)
g 1 (x)
f(x , y)dydx
Límites de integración
Secciones transversales horizontales: La región R está limitada por
las gráficas de h1 y h2 en el intervalo [c, d]. Si R es descrita por
R: c  y  d , h1(y)  x  h2(y)
d
x = h1(x)
x = h2(x)
R
c
d
 f(x , y)dA   
c
R
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h 2 (y)
h 1 (y)
f(x , y)dx dy
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Multiplicadores de Lagrange