Funciones
Calculo 1
Definición de conjunto
Un conjunto es una colección de objetos que cumplen con alguna propiedad.
Los conjunto pueden especificarse de varias formas:
a. Enumerando sus elementos entre llaves: {1, 2 ,3}, {2, 4, 6 ,8 ,10, …}
b. Mediante una frase que especifique que elementos contiene: el conjunto de los
números pares.
Se acostumbra utilizar la siguiente notación:
{x | p(x) }
Donde ”|” se lee “tal que” y p(x) es una proposición acerca de la variable x.
{x | x es un número par}
{x | x es un entero mayor que 0 y menor que 4} = {1, 2, 3}
Un conjunto A es subconjunto de otro B sui todos los elementos de A también perteneces
a B. Se denota por A  B
El conjunto vacío  es aquel que no contiene elementos.
Conjuntos numéricos
Número enteros: N = {…, -4. -3, -2, -1, 0 ,1, 2, 3, 4, …}
Números racionales: Q = { x | x = p/q donde p y q  N y q ≠ 0}
Números irracionales: T = { x | x no puede expresarse como p/q donde p y q  N y q ≠
0}
Números Reales: es la unión del conjunto de los racionales y los irracionales.
subconjunto
Un conjunto A es subconjunto de otro conjunto B si todos los elementos de A
también son elementos de B.
AB

aAbB
El conjunto vacío es subconjunto de todos los conjuntos.
Cuantificadores
Los cuantificadores se utilizan para indicar cuantos elementos de un conjunto
cumplen con una propiedad.
Cuantificador universal: x para todo x.
Cuantificador existencial: x existe x.
x  A P(x)  {x  A | P(x) } = A
 x  A P(x)  {x  A | P(x) }  
A  B = { x | x  A  x  B}
Coordenadas
Las posiciones de todos los puntos del plano pueden medirse con respecto a
dos rectas reales perpendiculares del plano que se intersecan en el punto 0.
y
Coordenada x
4
Parte positiva del eje y
P(a, b)
3
Coordenada y
2
1
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
-1
Parte negativa del eje x
Origen
-2
Parte negativa del eje y
Parte positiva del eje x
-3
-4
El par ordenado (a, b) es un par
coordenado.
Puntos en el plano
El plano coordenado se divide en 4 cuadrantes dependiendo del signo de
las componentes x e y.
y
4
segundo cuadrante (–, +)
A(2, 3)
3
primer cuadrante (+, +)
2
D(-3, 1)
1
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
x
-1
tercer cuadrante (–, –)
C(-2, -3)
B(4, -1.5)
-2
-3
-4
cuarto cuadrante (+, –)
Incrementos
Cuando un objeto se mueve de un punto a otro del plano, los cambios netos
en sus coordenadas se llaman incrementos.
Los incrementos se denotan mediante la letra griega D (delta)
y
Para dos P(x1, y1) y Q(x2, y2)
Los incrementos se calcula por:
4
A(-3, 3)
Dx = 6
3
Dx = x2 – x1
Dy = y2 – y1
2
Dy = –2
1
B(3, 1)
Ejemplo:
-4
Al ir de A a B los incrementos
son:
Dx = 3 – (–3) = 6
Dy = 1 – 3 = –2
-3
-2
-1
0
-1
-2
-3
-4
1
2
3
4
x
Punto medio entre dos puntos
El punto medio entre dos puntos P(x1, y1) y Q(x1, y1) puede calcularse como
 x  x 2 y1  y 2 
M 1
,

2
2


Prueba
La proyección de P y Q
son A y B.
La proyección C de M es el
punto medio de AB
y
P(x1, y1)
M
Q(x2, y2)
Las coordenadas de C
son:
 x  x2 
M 1
,0 
2


Similarmente proyectando sobre el eje y.
B
C
A
x
Distancia entre dos puntos
La distancia entre dos puntos P(x1, y1) y Q(x2, y2) se calcula por el
teorema de Pitágoras
d 
 D x 2   D y 2

 x 2  x1  2   y 2 
y1 
2
y
Prueba
|PR| = | x2 – x1 |
|RQ| = | y2 – y1 |
Q(x2, y2)
Por el teorema de Pitágoras
|PQ|2 = | x2 – x1 |2 + | y2 – y1 |2
= (x2 – x1)2 + (y2 – y1)2
PQ 
 x 2  x1  2   y 2 
y1 
x
2
P(x1, y1)
R(x2, y1)
Ejemplo
d 
 D x 2   D y 2

 x 2  x1  2   y 2 
y1 
2
y
La distancia entre A y B es:
4
A(-3, 3)


3
3    3 2  1  3 2
d 
6   2 
2
2
-4
-3
Dx = 6
-2
-1
2
Dy = –2
1
B(3, 1)
0
1
2
3
4
x
-1
40
 6 . 32
-2
-3
-4
d 
 D x 2   D y 2
Tarea #3
Dibuje los siguientes puntos en el plano coordenado: P(–4, 5), Q(3, –4),
R(3, 6), S(–3, –3)
Encuentre y dibuje el punto medio entre el punto P y los puntos Q, R y S.
Encuentre los incrementos en x y y al ir del punto P a los puntos Q, R y S.
Encuentre la distancia entre P y los puntos Q, R y S.
Gráficas
La gráfica de una ecuación o desigualdad con las variables x, y es el
conjunto de los puntos P(x, y) cuyas coordenadas satisfacen la ecuación o
desigualdad.
y
Ejemplo:
Un círculo es la gráfica de la
ecuación x2 + y2 = a2
x2 + y2 = a2
o
x  y 
2
2
a a
2
0
a
x
Gráfico de desigualdad
Un círculo relleno es la gráfica de
la ecuación x2 + y2  a2
y
o
x2 + y2  a2
x  y 
2
2
a a
2
0
a
x
Gráfico de una parábola
Un parábola es la gráfica de la
ecuación y = x2
x
y
–3
9
–2
4
–1
1
0
0
1
1
2
4
3
9
Gráfico de raíz cuadrada
Grafica de la ecuación:
y
x 1
x
y
–1
0
0
1
1
2 = 1.412
2
3 = 1.732
3
2
4
5 = 2.361
5
6 = 2.449
Gráfico de valor absoluto
Gráfico de la ecuación y = | x |
| x | = x si x  0 y
| x | = –x si x < 0
y
x
y
3
–3
3
2
–2
2
–1
1
0
0
1
-4
1
1
2
2
3
3
-3
-2
-1
1
2
3
4x
La recta
La recta se caracteriza por su pendiente. Si la pendiente es positiva la recta
apunta hacia arriba a la derecha y si es negativa apunta hacia abajo a la
derecha.
La pendiente de una recta horizontal es cero y la pendiente de una recta
vertical es infinita.
y
El ángulo de inclinación
se mide respecto al eje x.
Pendiente positiva
x
Pendiente negativa
Definición de pendiente
Dados dos puntos P1(x1, y1) y P2(x2, y2), definimos el avance como
Dx = x2 – x1
P2’
y el ascenso como
Dy = y2 – y1
La pendiente se define como
m 
ascenso
avance

Dy
Dx

y 2  y1
x 2  x1
 tan 
Los triángulos P1QP2 y P1’Q’P2’ son
semejantes, asi que
Dy'
Dx'

Dy
Dx
P2(x2, y2)

Dy’
P1(x1, y1)
Dx
m
Dy ascenso
P1’
Q(x2, y1)
avance
Dx’
Q’
Rectas paralelas y perpendiculares
Dos rectas L1 y L2 con pendientes m1 y m2 son paralelas si y solo si
tienen la misma pendiente, o sea, m1 = m2.
Dos rectas L1 y L2 con pendientes m1 y m2 son perpendiculares si y
solo si m1 = –1/m2.
Demostración
Si L1 y L2 son ’s  a2 – a2 = 90°
cos(a2 – a1 )= 90° = 0
cos(a2 – a1 )= cosa2cos a1+sena2sen a1 = 0
dividiendo entre cosa2cos a1
1 + tana2 tan a1 = 1 + m1 m2 = 0
m2  
1
m1
a2 – a1
a2
a1
Tarea #4
1. Calcule el ángulo que hacen con el eje x las siguientes rectas si su
pendiente es
a) m = 2.5
b) m = 1.3
c) m = -0.5
d ) m = -1.25
2. Diga si las siguientes rectas definidas por cada par de puntos son
paralelas o perpendiculares o ninguna.
A(3, 1) y B(-2, 5)
C(-4, 2) y D(4, 12)
3. Mostrar por medio de la pendiente que los siguientes puntos son
colineales:
a) (1, -1), (-2, 5), (3, -5)
b) (2, 0), (4, 1), (-6, -4)
c) (-1, 1), (2, 3), (-4, -1)
d) (-6, 3), (4, -1), (3, -3/5)
Ecuación de la recta
Una recta vertical que pasa por el punto (a, 0) tiene por ecuación
x=a
Una recta vertical que pasa por el punto (0, b) tiene por ecuación
y=b
y
x=a
b
y=b
O
a
x
Ecuación dada la pendiente
Si conocemos la pendiente de una recta que pasa por el punto P(x1, y1),
podemos encontrar su ecuación.
Sea P(x, y) cualquier punto sobre la recta, entonces
y  y1
x  x1
o
m
y
y – y1 = m(x – x1)
P(x1, y1)
m
y = y1 + m(x – x1)
O
x
Ejemplo
Encontrar la ecuación de la recta
que pasa por (3, 4) y tiene una
pendiente de m = 3/5
y
m = 3/5
6
y = y1 + m(x – x1)
5
y = 4 + 3/5(x – 3)
4
(3, 4)
3
y = 3/5 x + 11/5
2
y = 0.6 x + 2.2
2.2
1
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
-1
-2
-3
-4
-5
-6
1
2
3
4
5
6
x
Ejemplo
Encontrar la ecuación de la recta
que pasa por (-1, 5) y (3, 7)
y
(3, 7)
La pendiente es
m = 0.5
m = (7 – 5)/(3 – (– 1)) = 2/4 =0.5
(-1, 5)
Con (-1, 5)
6
5
4
y = y1 + m(x – x1)
3
y = 5 + 0.5(x – (– 1))
2
5.5
1
y = 0.5 x + 5.5
Con (3, 7)
y = y2 + m(x – x2)
y = 7 + 0.5(x – 3)
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
-1
-2
-3
-4
-5
-6
y = 0.5 x + 5.5
1
2
3
4
5
6
x
Ordenada al origen
La coordenada y donde una recta no vertical corta el eje y se llama
“ordenada al origen” , y se designa por b.
Sustituyendo en la ecuación de la recta el punto (0, b) se obtiene
y = b + m(x – 0)
y=mx+b
Esta es la ecuación pendiente-ordenada al origen.
Ecuación general de la recta
La ecuación general de la recta tiene la forma:
Ax + By = C
Esta ecuación puede representar cualquier recta
Ec. general
Valores de A, B, C
Forma de pendiente-ordenada
–5x + 8y = 6 A= –5, B = 8, C = 6 y = 0.625 x + 0.75
y=–x+3
x+y=3
A= 1, B = 1, C = 3
x = –2
A= 1, B = 0, C = –2 no es posible
y=5
A= 0, B = 1, C = 5
no es posible
Gráfico de una recta
Para dibujar una recta que no sea vertical u horizontal se procede como se
muestra en el ejemplo:
y
ordenada al origen = 5/3
4x + 6y = 10
3
Calcular la ordenada al origen y
la abscisa al origen.
2
1
x = 10/4 = 2.5
-3
y = 10/6 = 5/3
Trazar la recta entre estos dos puntos
-2
-1
0
1
2
3
-1
-2
abscisa al origen = 2.5
-3
x
Tarea #5
Encuentre la ecuación de la recta dados
a) el punto (2, –3) y la pendiente m = 1/2
b) la pendiente 1/2 y la ordenada al origen b = –3
c) pasa por (5, –1) y es paralela a la recta 2x + 5y = 5
d) pasa por (4, 10) y es perpendicular a la recta 6x – 3y = 5
Dibuje la recta encontrando primero la ordenada y la abscisa al origen para la
recta
1.5x – y = – 3
Funciones
Una función de un conjunto D a un conjunto I es una regla que asigna un único
elemento f(x) de I a cada elemento de D.
f
D
I
El conjunto D = D(f) (“D de f”) es el dominio de la función f e I es el conjunto
imagen.
Las funciones se expresan mediante una fórmula:
y = expresión
O
f(x) = expresión
Ejemplo de funciones
El volumen de una esfera depende del radio de esta.
V=4pr3/3
O
V(r) = 4 p r 3 / 3
Ejemplo:
V(2) = 4 p 2 3 / 3 = 33.5 m3
Área y perímetro de un triángulo equilátero como función de la longitud de un
lado x.
Área = A = base x altura /2 =
A x
x 
2
x
2
1
4 2

3
4
x
2
perímetro = P = 3x
Dominio e imagen
El dominio de una función puede ser el conjunto de los números reales o
puede estar restringido
Función
Dominio
Imagen
y = x2
(–, )
[0, )
[–1, 1]
[0, 1]
y 
1 x
2
y = 1/x
(–, 0) (0, ) (–, 0) (0, )
y = x2/(x – 1)
(–, 1) (1, ) (–, )
Gráficas de funciones
La gráfica de una función es la gráfica de la ecuación y = f(x).
Ninguna recta vertical puede intersecar a la gráfica de una función más de
una vez.
y x
y x
2
3
30
9
8
20
7
10
6
5
0
4
3
-10
2
-20
1
0
-3
-2
-1
0
1
2
3
-30
-3
-2
-1
0
1
2
3
Gráficas de funciones (cont.)
y x
y x
2/3
1/ 2
1.8
2.5
1.6
1.4
2
1.2
1.5
1
0.8
1
0.6
0.4
0.5
0.2
0
-3
0
-2
-1
0
1
2
3
y = 2x
0
0.5
y=x
y = x/2
1
1.5
2
2.5
3
Operaciones con funciones
Operaciones aritméticas
Suma:
(f + g)(x) = f (x) + g(x)
Resta:
(f - g)(x) = f (x) - g(x)
Multiplicación:
(f g)(x) = f (x) g(x)
División:
(f / g)(x) = f (x) / g(x)
Multiplicación:
(c f)(x) = c f (x)
por constante
Ejemplo de operaciones
Función
fórmula
dominio
f
f(x) = x2
(–, )
g
g(x) = 1 + x
[-1, )
3f
3f(x) = 3x2
(–, )
f–g
(f – g)(x) = x2 – 1 + x
[-1, )
f g
(fg)(x) = x21 + x
[-1, )
f /g
(f / g)(x) = x2 / 1 + x
(-1, )
g /f
(g / f)(x) = 1 + x / x2
[-1, 0)  (0, )
Gráficos de operaciones
f g
f–g
f/g
Composición de funciones
Definición
Si f y g son funciones, la composición f ° g (“f círculo g”) es la función
definida mediante
(f ° g) (x) = f(g(x))
El dominio de f ° g consiste de todos los números y del dominio de g para
los cuales g(x) está en el dominio de f .
f°g
f (g(x))
g
f
Ejemplos de composición
f x  
f
f
g x   1  x
x
g x  
1 x
 g  f  x   g  f  x   f  x   1 
x 1
 f
 g  x   f  g  x  
 x   f  f  x  
f x  
 g  g  x   g  g  x   g  x   1 
x  x
1/ 4
x 11  x  2
Tarea #6
1 hallar el dominio y la imagen de las siguientes funciones
f x  
4x
f x  
2
1
1
x
2 Cuales gráficas representan funciones
b
a
c
3 Exprese la longitud del lado de un cuadrado como una función de la longitud de la
diagonal. Luego, exprese el área como una función de la longitud de la diagonal
4. Dadas las siguientes funciones calcule: (f +g), (f g), (f / g), (f ° g), (g° f)
f x  
4x
2
g x   x  1
2
Funciones pares e impares
una función y = f(x) es par si f(-x) = f(x) para toda x del dominio de f.
una función y = f(x) es impar si f(-x) = -f(x) para toda x del dominio de f.
Funciones pares
y x
2
y  x
Funciones impares
y x
y x
3
Funciones a trozos
En una función definida a trozos la función tiene diferentes fórmulas para
diferentes intervalos del dominio,
x,
x0
|x|=
- x,
x<0
y=-x
y =1
f(x) =
- x,
x<0
x2,
0  x 1
1,
x>1
1
y = x2
1
Función máximo entero
Se define como el mayor entero menor o igual que x o función piso entero
(floor).
Se denota por:
y  x 
3
y=x
2
y  x 
1
1
-1
2
3
Función mínimo entero
Se define como el menor entero mayor o igual que x o función techo entero
(floor).
Se denota por:
y  x 
3
y=x
2
y  x 
1
1
-1
2
3
Traslación de gráficos
Para trasladar una gráfica de una función y = f(x) hacia arriba, sumamos una
constante al lado derecho de la fórmula y = f(x).
12
10
y = x2 + 2
y = x2 + 1
8
6
4
y = x2
2
y = x2 – 1
0
-2
-3
-2
-1
0
1
2
3
Traslación de gráficos (cont.)
Para trasladar una gráfica de una función y = f(x) hacia la izquierda, sumamos una
constante positiva a la variable x.
16
14
12
10
y = (x + 1)2
8
6
y=
x2
y = (x – 1)2
4
2
0
-3
-2
-1
0
1
2
3
Ecuación del círculo
La ecuación del círculo de radio a y centro en el punto (h, k) es
(x – h)2 + (x – k)2 = a2
P(x, y)
a
(h, k)
Ejemplo
La ecuación del circulo con centro en (4, 6) y radio 3.5 es
(x – 4)2 + (y – 6)2 = 3.52 = 12.25
Encontrar el centro y el radio del círculo
x2 + y2 + 4x – 6y – 3 = 0
Agrupando los términos con x y con y y completando el cuadrado
x2 + 4x + y2 – 6y – 3 = 0
x2 + 4x + 4 + y2 – 6y + 9 – 4 – 9 – 3 = 0
(x + 2)2 + (y2 – 3)2 = 16
Centro en (–2, 3) y radio = 4
Gráficas de parábolas
La ecuación general de una parábola que pasa por el origen es
y = ax2
18
y = 2x2
16
14
12
10
y=
x2
8
y = x2/2
6
4
2
y = x2/10
0
-3
-2
-1
0
1
2
3
Parábola en el eje x
x = y2
3
x = y2/2
2
x = 2y2
1
0
-1
x = y2/10
-2
-3
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
Traslación de parábolas
Para trasladar horizontalmente la parábola y = ax2, reescribimos la ecuación como
y = a(x – h)2
Para trasladar verticalmente la parábola y = ax2, reescribimos la ecuación como
y = a(x – h)2 + k
Esto coloca el vértice en (h, k) y el eje es la recta x = h.
14
12
Con a = 1, h = 0.5, y k = 1.5
10
y = (x – 0.5)2 + 1.5
8
y = x2 – x + 0.25 +1.5
6
y = x2 – x + 1.75
4
vértice
eje
(0.5,1.5)
2
0
-3
-2
-1
0
1
2
3
Parábola general
La gráfica de y = ax2 + bx + c, a  0, es una parábola. Se abre hacia arriba si
a > 0, y hacia abajo si a < 0. el eje es la recta
x = –b/2a
El vértice de la parábola es el punto donde la parábola y su eje se intersecan.
Su coordenada x es –b/2a, su coordenada y se encuentra sustituyendo x = –
b/2a en la ecuación de la parábola.
Trazado de una parábola
(-1, 4.5)
Trazarla parábola
(0, 4.)
(-2, 4)
y = –0.5x2 – x + 4
4
1. a = – 0.5, b = –1, c = 4
3
2. a < 0, se extiende hacia abajo
2
3. encontrar el vértice x = –b/2a = –1
1
y
y = –0.5(–1)2 – (–1) + 4 = 4.5
vértice en (–1, 4.5)
-4
-3
-2
-1
0
-1
4. intersecciones con el eje x (y = 0)
resolver –0.5x2 – x + 4 = 0
x = 2 y x = –4
-2
-3
1
2
3
x
Funciones Trigonométricas
Medición en radianes
La medida en radianes q de un ángulo ABC se define como la longitud del arco
circular AB en un círculo de radio unitario.
Para cualquier otro círculo un radian es la razón de la longitud del arco al radio del
círculo.
B
q
q
1
A
C
Un ángulo de 360 tiene 2p radianes, un radian serán 360/2p = 57.3°
Definición de las funciones
trigonométricas
sen q 
opuesto
hipotenusa
cos q 
hipotenusa
hipotenusa
cateto opuesto
tan q 
opuesto
adyacente
q
cateto adyacente
adyacente
cot q 
adyacente
opuesto
sec q 
hipotenusa
adyacente
csc q 
hipotenusa
opuesto
Gráficas
y = sen x
y = cos x
y = tan x
y = cot x
Gráficas (cont.)
y =sec x
y =csc x
Periodicidad
Una función es periódica si existe un número positivo p tal que f(x + p) = f(x). El valor
mínimo posible de p es el periodo de f(x).
Periodo p:
tan(x + p) = tan(x)
cot(x + p) = cot(x)
Periodo 2p:
sen(x + 2p) = sen(x)
cos(x + 2p) = cos(x)
sec(x + 2p) = sec(x)
csc(x + 2p) = csc(x)
Funciones trig. pares e impares
Pares:
cos(–x) = cos(x)
sec(–x) = sec(x)
Impares:
sen(–x) = –sen(x)
tan(–x) = –tan(x)
cot(–x) = –cot(x)
csc(–x) = –csc(x)
identidades
sen2q + cos2q = 1
1 + tan2q = sec2q
1 + cot2q = csc2q
cos(A + B) = cos A cos B – sen A sen B
cos 2q = cos2q – sen2q
sen(A + B) = sen A cos B + cos A sen B
sen 2q = 2 senq cosq
B(a cos q, a sen q)
cos q 
2
1  cos 2 q
2
sen q 
2
1  cos 2 q
2
Ley de cosenos
c2 = a2 + b2 – ab cosq
c
a
q
b
A(b, 0)
Tarea #8
En un círculo de radio 10, ¿que longitud tiene el arco que subtiende un ángulo central
de a) 4p/5 radianes b) 110°?
Se da el valor del sen x, cos x o tan x. Encuentra los dos restantes
sen x =3/5 x en [p /2, p]
cos x = 1/3 x en [ - p /2, 0]
tan x = 1/2 x en [p , 3p/2]
-6
-5
-4
-3
-2
-1
-6
-5
-4
-3
-2
0
-1
1
2
3
4
5
6
1
y
2
1.5x – y = – 3
3
4
5
6
Dibuje la recta encontrando primero la ordenada y la abscisa al
origen para la recta
d) pasa por (4, 10) y es perpendicular a la recta 6x – 3y = 5
c) pasa por (5, –1) y es paralela a la recta 2x + 5y = 5
b) la pendiente 1/2 y la ordenada al origen b = –3
a) el punto (2, –3) y la pendiente m = 1/2
Encuentre la ecuación de la recta dados
Tarea #5
x
-6
-5
-4
-3
-2
-1
-6
-5
-4
-3
-2
0
-1
1
2
3
4
5
6
1
y
2
1.5x – y = – 3
3
4
5
6
Dibuje la recta encontrando primero la ordenada y la abscisa al
origen para la recta
d) pasa por (4, 10) y es perpendicular a la recta 6x – 3y = 5
c) pasa por (5, –1) y es paralela a la recta 2x + 5y = 5
b) la pendiente 1/2 y la ordenada al origen b = –3
a) x2 + y2 = 49
Traslade las ecuaciones como se indica
Tarea #7
x
y
6
5
4
3
2
1
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
-1
-2
-3
-4
-5
-6
11
2
3
4
5
6
x