TRANSFORMACIONES
GEOMETRICAS
Homología y Afinidad
Ejercicio Nº 41
Dada una par de segmentos homológicos AB y A'B' y el punto doble P, hallar el
homológico del punto C
A
A'
B
P=P'
C
B'
1º Unimos A y B así como A' y B' el punto de corte es un punto del eje.
2º Unimos el punto anterior 1 con el punto dado P = P' y tenemos el eje.
1
A
A'
B
P=P'
eje
C
B'
3º Unimos A' y A así como B' y B y obtenemos el punto O centro de Homología.
4º Unimos el punto C con B o con A en este caso con B y obtenemos el punto 2 del eje,
si unimos el punto 2 con B' y prolongamos corta a la recta OC en el punto C' que es el
punto solicitado
O
1
A
A'
B
P=P'
eje
C
B'
4º Unimos el punto C con O.
O
1
A
A'
B
P=P'
eje
C
B'
5º Unimos el punto C con B o con A en este caso con B y obtenemos el punto 2 del eje,
si unimos el punto 2 con B' y prolongamos corta a la recta OC en el punto C' que es el
punto solicitado
O
1
C'
A
A'
B
2
P=P'
eje
C
B'
Ejercicio Nº 42
De una homología se conocen el centro, O, el eje, e, y la pareja de puntos
homólogos A-A'. Hallar el homólogo del punto B.
O
A
A'
B
eje
1º Tomamos un punto cualquiera C y hallamos el homólogo C' por medio del punto A-A',
Unimos C con O, unimos C con A y prolongamos C-A hasta que corte el eje en el punto
1, unimos 1 con A' y determinamos el punto C' al cortarse con la recta C-O
1
C'
C
O
A
A'
B
eje
2º Unimos B con C y nos da el punto 2 al cortarse con el eje, si unimos el punto C' con el
punto 2 y determinamos el punto B' solicitado.
1
C'
C
O
A
2
B'
A'
B
eje
Ejercicio Nº 43
En una homología se conocen el centro, O, el eje, e y la recta limite RL, hallar
la figura homológíca del triángulo ABC
eje
C
A
B
1º El punto C es un punto doble por estar situado en el eje por lo tanto C=C'.
RL
O
eje
C=C'
A
B
2º Prolongamos el lado A-C hasta que corte a la recta limite RL en el punto
1.Unimos el punto anterior 1 con el centro de homología O.
RL
O
eje
C=C'
A
B
1
3º Por el punto C trazamos una paralela a la recta anterior O1, unimos O con A y el
punto de corte con la recta anterior nos determina el punto A' homologo del A .
RL
O
eje
C=C'
A
B
1
A'
4º Unimos el punto A' con el punto 2 que corta en B' a la recta O-B y tenemos
resuelto el problema
RL
O
eje
C=C'
B'
A
2
B
1
A'
Ejercicio Nº 44
Hallar la figura homológica del paralelogramo ABCD conociendo el centro, O,
el eje, e, y la recta limite RL‘
C
D
B
A
O
RL'
eje
1º El punto A es un punto doble por encontrarse en el eje por lo tanto A=A'.
C
D
B
A=A'
O
RL'
eje
2º Trazamos la recta límite RL sabiendo que la distancia entre el eje, el centro
de homología y las rectas límites RL y RL' es como se acota en la figura.
'
C
D
D
D
'
D
D
B
A =A'
RL'
O
eje
RL
3º Prolongamos el lado CD hasta que corte a la recta limite RL en el punto 1,
unimos el punto 1 con el centro O y por el punto 2 trazamos una paralela a O1
que corta a la recta CO en el punto C' homologo del C.
'
C
D
D
D
D
'
C'
2
D
B
A =A'
RL'
O
1
eje
RL
4º Prolongamos el lado CB hasta que corte al eje en el punto 3 unimos 3 con
C' que corta al lado AB en el punto B' que es el punto que nos falta.
'
C
D
D
D
D
'
C'
2
D
B
B'
A =A'
RL'
O
1
3
eje
RL
5º Unimos D con O y obtenemos el vértice D’ homologo del D
'
C
D
D
D
'
C'
D
D'
2
D
B
B'
A =A'
RL'
O
1
3
eje
RL
6º Unimos los vértices A’, B’, C’ y D’ y tenemos la figura homologa buscada
'
C
D
D
D
'
C'
D
D'
2
D
B
B'
A=A'
RL'
O
1
3
eje
RL
Ejercicio Nº 45
Transformación homológica de un cuadrilátero en un cuadrado
Sea el cuadrilátero ABCD y queremos que su transformada sea un cuadrado.
B
A
C
D
1º Se determina la recta Limite y el Centro de homología. Si Prolongamos los lados
opuestos AB y CD, su punto de intersección 1 es un punto de la RL, si prolongamos BC
y AD obtenemos el punto 2 que es otro punto de RL, Se traza RL.
3
1
B
A
4
C
D
2
2º Prolongamos las diagonales que cortan a RL en los puntos 3 y 4.El centro de
homología debe ser un punto en que se vean los segmentos 1-2 y 3-4 bajo un ángulo
recto trazamos dos lugares geométricos que son dos semicircunferencia de diámetros 12 y 3-4 que se cortan en el punto C, Centro de homología.
RL
3
1
B
C
A
4
C
D
2
3º El eje se coloca a cualquier distancia solamente influye para la longitud del lado del
cuadrado. Unimos el centro de homología con los puntos 1, 2, 3 y 4. Los lados del
cuadrado serán paralelos a la dirección C-1 y C-2 como se ve en la figura. Por el eje se
trazan paralelas a C-1 y a C-2 tal como vemos y ya tenemos el cuadrado, las diagonales
no hace falta trazarlas.
RL
eje
3
1
B
C
A
4
C
D
2
Como se ve no hace falta tampoco unir el centro de homología con los puntos A, B, C y
D para determinar los homólogos pero se hace para que se vea que cumple la
homología
RL
eje
3
D'
C'
1
B
C
A
A'
4
C
B'
D
2
Ejercicio Nº 46
Transformación homológica de la circunferencia en una elipse
Datos centro C, eje e y la recta limite RL, así como la circunferencia de centro O que
corta el eje en los puntos J y K.
C
RL
O
eje
K
J
Por C trazamos una recta cualquiera CN, por el punto N se trazan las tangentes a la
circunferencia t1 y t2, cuyos puntos de tangencia son T1 y T2, centro
C
RL
N
t2
t1
T2
T1
O
eje
1
2
K
J
Prolongamos la recta T1-T2 se obtiene el punto M desde el que se trazan las
otras dos tangentes t3 y t4 cuyos puntos de tangencia son T3 y T4
C
RL
N
M
t2
t1
T3
T2
t3
T1
O
eje
1
2
K
J
T4
t4
3
Si unimos T3 y T4 dan otra cuerda que pasa por N . Las direcciones CN y CM
son las direcciones de los diámetros conjugados de la elipse
C
RL
N
M
t2
t1
T3
T2
O1
t3
T1
O
eje
2
1
4
K
J
t4
R
3
Las direcciones CN y CM son las direcciones de los diámetros conjugados de la elipse
de centro
Las tangentes desde N cortan al eje en 1 y 2 desde estos trazamos paralelas a la
dirección CN y se obtienen las tangentes t'1 y t'2
Las tangentes desde M cortan al eje en 3 y 4 desde estos trazamos paralelas a la
dirección CM y se obtienen las tangentes t'3 y t'4
Hallamos los puntos de tangencia de T1, T2, T3 y T4, puntos T'1, T'2, T'3 y T'4.
C
RL
N
M
t2
t1
T3
T2
O1
t3
T1
O
eje
2
R
1
4
K
J
O '1
T '2
T '3
t4
3
Las tangentes desde N cortan al eje en 1 y 2 desde estos trazamos paralelas a la
dirección CN y se obtienen las tangentes t'1 y t'2
Las tangentes desde M cortan al eje en 3 y 4 desde estos trazamos paralelas a la
dirección CM y se obtienen las tangentes t'3 y t'4
C
RL
N
M
t2
t1
T3
T2
O1
t3
T1
O
eje
2
4
T '4
R
1
K
t' 4
3
J
T '1
T4
3
O '1
T '2
T '3
t' 2
t' 3
t4
Hallamos los homólogos de los puntos de T1, T2, T3 y T4, uniendo estos con el
centro de homología y donde corte a las rectas anteriores determinan los punto
homólogos T'1, T'2, T'3 y T'4.
C
RL
N
M
t2
t1
T3
T2
O1
t3
T1
O
eje
2
4
T '4
R
1
K
t' 4
3
J
T '1
T4
3
O '1
T '2
T '3
t' 2
t4
t' 3
t
t'
Trazamos la elipse
C
RL
N
M
t2
t1
T3
T2
O1
t3
T1
O
eje
2
4
T '4
R
1
K
t' 4
3
J
T '1
T4
3
O '1
T '2
T '3
t' 2
t4
t' 3
t
t'
Ejercicio Nº 47
En una afinidad ortogonal que se conoce el eje y la razón de afinidad K = A‘L /
AL = -3/4 hallar la figura afín del hexágono regular ABCDEF
e
1º Por los vértices excepto el C que por estar en el eje es doble C=C' trazamos perpendiculares
al eje dado. Por ser una afinidad ortogonal la dirección de afinidad es perpendicular al eje
D
C -C '
e
E
B
F
2º Sobre la perpendicular desde B por ejemplo tomamos 3 unidades (cm.) punto s y
trazamos una recta r cualquiera concurrente en B y tomamos 4 unidades (cm.) punto t,
unimos s y t.
r
s
t
D
C -C '
e
E
B
F
3º Llevamos la distancia B-3 sobre la recta r punto 3' por este trazamos la paralela a s-t
que corta a la perpendicular por B en 4 la relación B-3/B-4, esta en la proporción dada
en la razón de afinidad 3/4.
r
t
s
D
C -C '
e
3
3'
4
E
B
F
3º Se lleva la distancia B-4 desde 3 y nos da el punto B' afín del punto B y que esta en la
razón de 3/4.
r
B'
t
s
D
C -C '
e
3
3'
4
E
B
F
4º Unimos A-B y prolongamos hasta el eje el punto de corte con el eje unimos este punto
con B' y determinamos el vértice A'.
r
B'
t
s
D
C -C '
e
3
3'
4
E
B
F
5º Unimos A-D y el punto de corte con el eje lo unimos con A' y determinamos el vértice
D'.
r
B'
t
s
D
C- C'
e
3
3'
D'
E
4
B
F
6º Unimos F-D y el punto de corte con el eje lo unimos lo unimos con D' y
obtenemos el vértice F'.
F'
r
B'
t
s
D
C- C'
e
3
3'
D'
E
4
B
F
7º Hacemos lo mismo con F-E y obtenemos el vértice E'
F'
r
B'
E'
t
s
D
C- C'
e
3
3'
D'
E
4
B
F
Unimos A’, B’, C’, D’, E’ y F’ y obtenemos la figura afin del exágono dado.
F'
r
B'
E'
t
s
D
C- C'
e
3
3'
D'
E
4
B
F
Ejercicio Nº 48
Trazar la figura afín del cuadrilátero ABCD donde se conoce B'
A
D
C
B
E je
B'
1º Como la dirección de afinidad es paralela al eje por A, C y D trazamos
paralelas al eje.
A
D
C
B
E je
B'
2º Unimos A y B y prolongamos hasta el eje unimos el punto de corte con el
eje con B' y obtenemos el vértice A'.
A
D
A'
C
B
E je
B'
3º Unimos a continuación C con B y el punto de corte con el eje lo unimos con
B' y obtenemos el vértice C'.
A
D
A'
C
C'
B
E je
B'
4º Unimos por ultimo D con C y su punto de corte con el eje lo unimos con C' y
obtenemos el vértice que nos falta D'
A
D
A'
C
C'
B
E je
B'
D'
Ejercicio Nº 49
En una homología se da el centro O, la recta limite RL y el eje e. Hallar la
figura homóloga del polígono ABCDEF.
e
B
O
A
C
E
D
F
1º Prolongamos los lados A-B y A-F, hasta que corten a la recta limite RL en N
y M respectivamente. Unimos el centro O con N y M.
e
N
B
O
A
C
E
D
F
M
2º Por el punto A trazamos paralelas a ON y OM unimos el centro O con B y F
que cortan a las paralelas a ON y OM respectivamente en B' y F'
e
B'
N
B
O
A
C
A'
E
D
F
M
F'
3º Como BF que contiene a los vértices C y E es paralela al eje su homóloga
también lo es, por lo que la recta B'-F' es paralela al eje, unimos B'-F' y nos da
el punto C' al cortar a la recta que une O y C, y E’ al cortar la recta O-E.
e
B'
N
B
O
A
C
C'
A'
E
D
E'
F
M
F'
4º Unimos D y C y su punto de corte con el eje lo unimos con C' que corta a la
recta que une O con D en el vértice D'.
e
B'
N
B
O
A
C
C'
A'
E
D
E'
F
D'
M
F'
5º Unimos E’ y D’ y tenemos la figura afín de la dada.
e
B'
N
B
O
A
C
C'
A'
E
D
E'
F
D'
M
F'
Ejercicio Nº 50
Determinar el homólogo del triángulo equilátero dado por el lado AB =30 mm.,
en una homología de centro O, eje e y siendo A' el punto homólogo de A.
Realizar el dibujo a escala 2:1
O
A
B
e
A'
1º Dibujamos los datos dados a escala 2:1
O
A
B
eje
A'
2º Trazamos el Triángulo equilátero de lado dado hacemos centro en A con
radio AB, hacemos centro B con el mismo radio y determinamos el otro vértice
C. (se podría construir el triángulo por el otro lado)
O
A
B
eje
A'
C
3º Unimos el centro O con A, C y B en estas rectas tienen que estar sus
homólogos
O
A
B
eje
A'
C
4º Prolongamos A-B hasta que corte el eje punto 1, unimos el punto 1 con A' y
obtenemos B'.
O
A
B
eje
B'
A'
C
5º Unimos A' o B' con el punto que la recta AC o la BC corta al eje y
obtenemos el punto C'.
O
A
C'
B
eje
B'
A'
C
Ejercicio Nº 51
Dada una afinidad por su eje y dos puntos afines A y A', se pide obtener las
figura afín de la dada.
H
A
E
D
G
F
C
B
eje
A'
1º La dirección de afinidad es la recta A-A'
H
A
d.a
E
D
G
F
C
B
eje
A'
2º Por los vértices restantes B, C, D, E, F, G y H trazamos paralelas a la
dirección de afinidad d.a.
H
A
d.a
E
D
G
F
C
B
eje
A'
3º Prolongamos AB hasta el eje punto 1 unimos este con A' y nos determina el
vértice B'.
H
A
d.a
E
D
G
F
C
B
eje
1
B'
A'
4º Unimos B con G que pasa por C y F hasta que corte el eje por este punto unimos con
B' y obtenemos los vértices C', F' y G'
5º Unimos 2 con C', ·3 con F' y 4 con G' y obtenemos los vértices D', E' y H'.
6º Unimos los vértices y tenemos la figura afín de la dada
H
A
d.a
E
D
G
F
C
B
eje
1
B'
C'
F'
G'
A'
5º Unimos 2 con C', ·3 con F' y 4 con G' y obtenemos los vértices D', E' y H'.
H
A
d.a
E
D
G
F
C
B
eje
1
B'
2
3
4
F'
C'
G'
D'
E'
A'
H'
6º Unimos los vértices y tenemos la figura afín de la dada
H
A
d.a
E
D
G
F
C
B
eje
1
B'
3
4
F'
C'
D'
A'
2
G'
E'
Ejercicio Nº 52
Hallar la figura afín del cuadrado ABCD conociendo el eje y el punto A' afín del
A.
D
A
C
B
eje
A'
1º La dirección de afinidad es la recta A-A'.
D
d .a.
A
C
B
eje
A'
2º Por los vértices del cuadrado B, C, y D, se trazan las rectas paralelas a la dirección
afinidad A-A'.
D
d .a.
A
C
B
eje
A'
3º Se prolonga el lado AB que corta al eje en el punto 1, unimos este punto 1 con el
punto A' y obtenemos el punto B'.
D
d .a.
A
C
B
1
B'
eje
A'
4º Unimos los vértices de las diagonales AC y BD que cortan al eje en los
puntos 2 y 3 unimos estos puntos con A' y con B' y obtenemos los puntos C' y
D', que son los otros dos vértices de la figura afín.
D
d .a.
A
2
C
B
1
C'
3
B'
D'
eje
A'
5º También como vemos podríamos trazar por B' y A' paralelas al eje y obtendríamos los
vértices C' y D' si tenemos presente que al ser A-D y B-C paralelas al eje también lo son
sus afines A'-D' y B'-C'
Se une los vértice y tenemos la figura afín del cuadrado dado.
D
d .a.
A
2
C
B
1
C'
3
B'
D'
eje
A'
Ejercicio Nº 53
Dado el trapezoide ABCD y el punto doble P = P', hallar el eje y el centro de
homología, para que se transforme en un cuadrado el trapezoide ABCD.
D
A
C
P=P'
B
1º Prolongamos los lados del trapezoide que no se corta AB y CD que se
cortan en el punto M, AD y BC que se cortan en el punto N, los puntos M y N
son puntos de la recta limite RL.
N
M
D
A
C
P=P'
B
2º Prolongamos las diagonales que cortan a la RL en los punto F y Q
N
Q
M
RL F
D
A
C
P=P'
B
3º Por P = P' trazamos una paralela a RL que es el eje de homología.
N
Q
M
RL F
D
A
C
eje
P=P'
B
4º Para determinar el centro de homología con la condición de que el trapezoide se
transforme en un cuadrado tenemos que tener un punto que vea a las diagonales y a los
lados que se cortan con un ángulo de 90º, para eso trazamos la mediatriz de MN y
trazamos una semicircunferencia de diámetro MN, hacemos lo mismo con los punto de
corte de las diagonales FQ y donde se corte ambas semicircunferencias resulta el centro
de homología O.
O
N
Q
M
RL F
D
A
C
eje
P=P'
B
5º Unimos O con M y con N que son las direcciones de los lados del cuadrado
O
N
Q
M
8
RL F
D
A
8
C
eje
P=P'
B
6º Prolongamos las rectas MDC y NDA hasta que corten al eje por los puntos de corte
con el eje trazamos paralelas a OM y ON respectivamente, donde se corten ambas
paralelas es el vértice D'.
O
N
Q
M
8
RL F
D
A
8
C
eje
P=P'
B
7º Por los puntos de corte con el eje de las rectas MDC y NDA trazamos paralelas a OM
y ON respectivamente, donde se corten ambas paralelas es el vértice D'.
O
N
Q
M
8
RL F
D
A
8
C
eje
P=P'
B
8º Unimos el centro de homología O con los vértices A, B, C y D y obtenemos los
vértices homólogos A’, D’ y C’
O
N
Q
M
8
RL F
D
A
8
C
eje
P=P'
C'
B
A'
D'
9º Unimos C’ con el punto de corte del lado B-C con el eje y obtenemos el vértice B’, se
podria hacer lo mismo uniendo A’ con el punto de corte del lado A-B.
O
N
Q
M
8
RL F
D
A
8
C
B'
eje
P=P'
C'
B
A'
D'
Ejercicio Nº 54
Dada una afinidad por su eje, dos puntos afines A y A', se pide hallar la figura
afín de la dada. Realizar el dibujo a escala 2:
A
e
A'
1º Reproducimos los datos dados a la escala solicitada 2:1
A
eje
A'
2º Determinamos la dirección de afinidad que es la recta A-A'.
A
d.a
eje
A'
3º Por los vértices B, C y D trazamos paralelas a la dirección de afinidad.
D
A
C
d.a
eje
B
A'
4º Unimos A' con el punto de corte del lado AB con el eje punto 1 y lo
prolongamos hasta que corte a la paralela trazada por B y nos determina el
vértice B'.
D
B'
A
C
d.a
eje
1
B
A'
5º Unimos B' con el punto de corte del lado BC con el eje punto 2 prolongando
obtenemos el punto C'.
D
B'
A
C
d.a
2
eje
1
B
A'
C'
6º prolongamos el lado DC hasta que corte al eje en el punto 3 unimos este
con C' y obtenemos el vértice D'.
D
B'
A
C
d.a
2
3
eje
1
C'
B
A'
D'
Ejercicio Nº 55
Dada la afinidad determinada en la figura determinar los ejes de la
elipse afín de la circunferencia dada y trazar la elips
s
C
r
s'
r'
1º La dirección de afinidad (d.a.) es la recta que une P y P' puntos donde se
cortan r-s y r'-s'.
s
P
C
d .a
r
s'
r'
P'
2º Determinamos el eje de afinidad por los puntos dobles donde se cortan r r' y s-s' puntos 1-1' y 2-2'.
s
P
C
d .a
eje
2-2'
r
1-1'
s'
r'
P'
3º Por C trazamos una paralela al eje de afinidad que corta a r en el punto 3, por este
punto trazamos la recta 3-3' paralela a la dirección de afinidad que corta en 3' a r', y por
3' una paralela al eje, por C otra paralela a la dirección de afinidad que se corta con la
anterior en C' afín del C.
s
P
C
d .a
eje
3
2-2'
r
C'
1-1'
s'
r'
3'
P'
4º Trazamos el diámetro ED perpendicular al AB, por A, B, C y D trazamos
paralelas a la dirección de afinidad que nos determina directamente A' y B‘.
E
s
P
B
C
A
d .a
3
eje
D
2-2'
r
B'
C'
A'
1-1'
s'
r'
3'
P'
4º Prolongamos el diámetro ED hasta que corte al eje de afinidad este punto lo
unimos con C' y determinamos los punto D' y E'.
E
s
P
B
C
A
d .a
3
eje
D
2-2'
r
D'
B'
C'
A'
1-1'
s'
r'
3'
P'
E'
5º Por C' levantamos una perpendicular a A'-B' y llevamos la distancia C'-A',
punto M’
E
s
P
B
C
A
d .a
3
eje
D
2-2'
r
D'
B'
C'
A'
1-1'
s'
r'
3'
E'
M'
P'
6º Unimos el punto M’ con E' y trazamos una circunferencia en el punto medio de E'-M’
que pase por E' y M’ unimos el centro de esta circunferencia con C' y obtenemos los
puntos N' y N.
E
s
P
B
C
A
d.a
3
eje
D
2 -2'
r
D'
B'
C'
A'
1 -1'
s'
r'
3'
E'
M'
P'
7º Unimos el centro de esta circunferencia con C' y obtenemos los puntos N' y N
E
s
P
B
C
A
d.a
3
eje
D
2 -2'
r
D'
B'
C'
A'
N'
1 -1'
s'
r'
E'
3'
P'
N'
M'
8º Trazamos dos circunferencias de centro C' y radios C'-N y C'-N‘.
E
s
P
B
C
A
d.a
3
eje
D
2 -2'
r
D'
B'
C'
A'
N'
1 -1'
s'
r'
E'
3'
P'
N'
M'
9º Por C' trazamos las paralelas a N-E' y N-M que son las direcciones de los
ejes de la elipse y nos determinan los puntos H', I', G', F'.
E
s
P
B
C
A
d .a
3
eje
D
2-2'
r
D'
I'
G'
B'
C'
A'
N'
1-1'
s'
r'
H'
F'
E'
3'
P'
N'
M'
7º Para determinar mas puntos se trazan diámetros cualesquiera y en sus
puntos de corte con las circunferencias de diámetros los ejes de la elipse
paralelas a los ejes tal como vemos en la figura
E
s
P
B
C
A
d .a
3
eje
D
2-2'
r
D'
I'
G'
B'
C'
A'
N'
1-1'
s'
r'
H'
F'
E'
3'
P'
N'
M'
Ejercicio Nº 56
Hallar la figura afín de la circunferencia dada sabiendo que el punto afín del
centro es el punto O'. Realizar el dibujo a escala 2:1
O
e
O'
1º Dibujamos los datos a escala 2:1
O
eje
O'
2º La dirección de afinidad es la recta O-O' que une los centros.
O
d .a
eje
O'
3º Hallamos la mediatriz de O-O', donde esta corta al eje de afinidad punto G trazamos
una circunferencia de diámetro O-O', que corta al eje en los puntos M y N que son
puntos de los ejes.
O
d .a
N
M
G
O'
eje
4º Unimos N y M con O y O' y estas rectas son los ejes perpendiculares de la elipse y de
la circunferencia.
C
A
O
B
d .a
D
N
M
G
O'
eje
5º determinamos los extremos de los ejes de la circunferencia A-B y C-D.
Por A, B, C y D trazamos paralelas a la dirección de afinidad que al cortase los
las rectas M-O' y N-O' nos determinan los extremos de los ajes de la elipse.
C
A
O
B
d .a
D
N
M
eje
G
D'
B'
O'
A'
C'
6º Por ultimo se dibuja la elipse 6º Por ultimo se dibuja la elipse
C
A
O
B
d .a
D
N
M
eje
G
D'
B'
O'
A'
C'
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