SUCESIONES
Una sucesión de números reales es una aplicación del
conjunto de los números naturales en el conjunto de los
números reales:
s: N
R
de manera que a cada número natural le corresponde un
real.
La expresión que permite expresar un término en función del
lugar que ocupa recibe el nombre de término general de la
sucesión.
Una progresión geométrica es una sucesión de números
reales en la que cada uno de sus términos, excepto el
primero, se obtiene multiplicando al anterior una cantidad
constante llamada razón (r).
• Término general:
an = a1 · rn–1
• Suma de los n primeros términos:
Sn =
Una progresión aritmética es una sucesión de números
reales en la que cada uno de sus términos, excepto el
primero, se obtiene sumando al anterior una cantidad
constante que se denomina diferencia (d).
n
a1 . (r - 1)
r-1
• Suma de los infinitos términos:
O Si
r ≥ 1, S∞ = +∞
O Si
r ≤ -1, S∞ no existe
O Si
-1 < r < 1, S∞ =
• Término general:
an = a1 + (n – 1) · d
• Producto de los n primeros términos:
• Suma de los n primeros términos:
Pn =
Sn =
a1
1-r
n
(a1 . a n)
a1 + a n .
n
2
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LÍMITE DE UNA SUCESIÓN
El valor al que se acerca indefinidamente los términos de
una sucesión se llama límite.
Una sucesión tiene límite +∞ cuando, para cualquier número real y positivo
k, siempre existe un valor n0 de n, a partir del cual los términos de la
sucesión son mayores que k:
lim an = L
n
∞
n
Una sucesión an, tiene límite L si, cuando n tiende a infinito,
la diferencia entre an y L es cada vez menor. Es decir,
cuando n ∞, |an - L|
0.
lim an = +∞
∞
Una sucesión tiene límite -∞ cuando, para cualquier número real y negativo
k, siempre existe un valor n0 de n, a partir del cual los términos de la
sucesión son menores que k:
Sucesión convergente: tiene un límite finito.
n
lim an = -∞
∞
Sucesión divergente: tiene límite +∞ o -∞.
Sucesión nula o infinitésimo: su límite es cero.
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OPERACIONES CON SUCESIONES
Adición de sucesiones
Cociente de sucesiones
x
lim xn
lim n =
y
lim yn
n
n
∞
lim (xn + yn) = lim xn + lim yn
∞
n
n
∞
n
∞
n
∞
siempre que yn no sea una sucesión nula.
Producto de sucesiones
lim (xn · yn) = lim xn · lim yn
n
∞
n
∞
n
∞
Potencia de sucesiones
lim (xn)yn = (lim xn)lim
n
∞
n
yn
∞
Las sucesiones xn e yn pueden ser convergentes o divergentes.
Podemos obtener las indeterminaciones ∞0, 00 y 1∞.
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CÁLCULO DEL LÍMITE DE SUCESIONES
Sucesiones que tienen término general como un polinomio en n
siempre son divergentes.
Sucesiones con radicales del tipo x = k a ,donde an es un
n
n
polinomio en n, siempre son divergentes.
Su límite será +∞ o -∞ en función del signo del coeficiente del
término de mayor grado.
Su límite será +∞ o -∞ en función del signo del coeficiente del
término de mayor grado. Si k es par, el coeficiente del término de
mayor grado no puede ser negativo.
Sucesiones que tienen término general como un cociente de
polinomios son:
En una sucesión cuyo término general es la suma o diferencia de
dos raíces, puede dar lugar a la indeterminación (+∞) + (-∞) , que
se resuelve comparando los grados de los términos de mayor
grado y los índices de las raíces:
• divergentes: si el grado del numerador es mayor que
el del denominador.
o límite +∞ si los signos de los términos de
mayor grado del numerador y del denominador
coincide.
o límite -∞ si los términos de mayor grado del
numerador y del denominador tienen signos
distintos.
• convergentes:
o límite cero si el grado de numerador es menor
que el del denominador.
o limite L si el grado del numerador es igual al
del denominador.
• si son iguales y tienen el mismo índice, el signo del
infinito se determina por sus coeficientes.
• si, además, tienen el mismo coeficiente, se multiplica
por el conjugado de la suma de raíces:
lim
an + bn = lim( an + bn ) .
an -
bn
an -
bn
tér mino de mayor grado
L = coeficiente del Ž
coeficiente del téŽrmino de mayor grado
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EL NÚMERO e
e = lim (1 +
n
Sucesiones cuyo término general es:
Sucesiones cuyo término general es:

(1 +
∞
1 n
)
n
1 n+ a
)
n

(1 +
1 n+a
)
=
n
n
∞
1 n
1 a
= lim (1 + ) . lim (1 + ) = e  1 = e
n
n
n
∞
n
∞
1 kn
)
n
lim (1 +
lim (1 +


1
n
(1 +
)
n+a
∞
n
1 n
1 n +a - a
) = lim (1 +
)
n
+
a
n
+
a
n
∞
n
∞
1 n+a
(1 +
)
n+a
e
= lim
= =e
1
1
a
n
∞
(1 +
)
n+a
lim (1 +
(1 +
1 kn
k
) =e
n
1 n
)
kn
n
lim (1 +
∞
1
= ek =
k
1 n
1 kn 1
) = lim (1 +
) k
kn
n+a
n
∞
e
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PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES CON LÍMITES DE FUNCIONES
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CONTINUIDAD
Clasificación de discontinuidades
Una función f(x) es continua en a si:
• Existe f(a)
• Existe lim f(x) = f(a)
n
• Discontinuidad evitable se produce cuando:
O Existe f(a) y lim f(x), pero f(a) ≠ lim f(x)
n
a
O
n
a
a
No existe f(a) y sí lim f(x)
n
a
• Discontinuidad de salto finito se produce cuando no existe lim f(x) porque los dos
n
a
límites laterales son finitos, pero desiguales.
Si no cumple alguna de las condiciones, f(x)
es discontinua en a.
Propiedades de las funciones continuas
• Si f(x) y g(x) son continuas en a entonces:
O
O
O
• Discontinuidad asintótica o de salto infinito se produce cuando uno o los dos
límites laterales son infinito. En este caso, f(a) puede existir o no
(f + g)(x) es continua en a
(f · g)(x) es continua en a
( f )(x) es continua en a, si g(a) ≠ 0
g
• Si f(x) es continua en a y g(x) es continua en f(a)
entonces la composición (g ◦ f)(x) es continua en a.
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