Enteros, reales
Álgebra Superior
El conjunto de los enteros
El conjunto de los enteros esta constituido por los números
enteros negativos, los enteros positivos y el cero. Generalmente
se representa mediante la letra Z.
Z = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}
La recta numérica sirve para representar gráficamente conjuntos
de números.
-7
-6 -5 -4 -3 -2 -1
0
1 2
3
4
5
6
7
8
El anillo de los enteros
Los enteros forman lo que se conoce como un anillo.
Un anillo es un conjunto dotado de las propiedades que se más
adelante.
En los enteros se definen dos operaciones la suma y la
multiplicación.
Las propiedades de estas operaciones se listan a continuación.
Valor absoluto de un entero
Definimos el valor absoluto como sigue.
El valor absoluto de a se denota por |a| = a si a > 0 y |a| = –a si a <
0. Símbolicamente: a > 0  |a| = a  a < 0  |a| = –a
Es decir, el valor absoluto de un entero es el número que resulta al
eliminar el signo que lo precede.
|4| = 4
|–33| = 33
|+45| = 45
Propiedades
Axioma 1. Propiedad conmutativa de la suma. Si a y b  Z,
entonces
a+b=b+a
Axioma 2. Propiedad asociativa de la suma. Si a, b y c  Z,
entonces
(a + b) + c = a + (b + c)
Axioma 3. Elemento neutro de la suma. Si a  Z, entonces
a+0=0+a=a
Axioma 4. Inverso aditivo. Si a  Z, entonces
a + (–a) = (–a) + a = 0
Propiedades (cont.)
Axioma 5. Propiedad conmutativa de la multiplicación. Si a y b 
Z, entonces
ab = ba
Axioma 6. Propiedad asociativa de la multiplicación. Si a, b y c 
Z, entonces
(ab)c = a(bc)
Axioma 7. Elemento neutro de la multiplicación. Si a  Z,
entonces
a1 = 1 a = a
Axioma 8. Propiedad distributiva de la multiplicación y la suma.
Si a, b y c  Z, entonces
a(b + c) = ac + ab
(a + b)c = ac + bc
Propiedades del anillo de los enteros
Ley de cancelación
Se cumple la siguiente proposición: si a, b y c  Z y a + b = a +
c, entonces b = c.
Demostración. Suponemos a + b = a + c. Sumamos a cada
miembro de la igualdad el inverso aditivo de a.
(–a) + (a + b) = (–a) + (a + c)
Por la propiedad asociativa.
((–a) + a) + b = ((–a) + a) + c
Por el axioma de elemento inverso de la suma.
0+b=0+c
Dado que 0 es el elemento neutro de la suma.
b=c

Propiedades del anillo de los enteros
(cont.)
Si a y b  Z y a + b = a, entonces b = 0.
Para todo entero a0 = 0a = 0.
Se cumple que –(–a) = a.
Se cumple la siguiente regla de signos para el producto de dos
enteros.
(–a)b = –ab
(–a) (–b) = ab
Diferencia de enteros
Definimos la diferencia de dos enteros de la siguiente manera.
Si a y b  Z, a – b es la diferencia de a y b y se calcula como.
a – b = a + (–b)
Se cumple la siguiente ley distributiva.
Si a y b  Z, a(b – c) = ab – ac
Ley de cancelación para la
multiplicación
Si a, b y c  Z, y a  0, entonces ab = ac implica b = c.
Demostración. Ya ab = ac que tenemos que ab – ac = 0, de donde
a(b – c) = 0 y como a  0, entonces b – c = 0, o b = c.

Orden en los enteros
El conjunto de los enteros es un conjunto ordenado. Dados dos
números enteros el mayor de ellos es el que se encuentra más a
la derecha en la recta numérica y el menor es el que está a la
izquierda. Así, 3 > 2, 5 < 7,–3 < –2, 0 > –5.
Definimos el conjunto de los naturales N como el conjunto
formado por los enteros positivos, es decir N = {1, 2, 3, 4, …}.
Con este conjunto podemos precisar el orden en los enteros.
Propiedades de los naturales
Se cumplen las siguientes propiedades.
La suma de dos números naturales es un número natural.
El producto de dos números naturales es un número natural.
Si a es un número entero, solo se cumple una de las
siguientes:
1. a es un número natural.
2. a = 0.
3. –a es número natural.
Operador >
Si a y b  Z, se dice que a es mayor que b si a – b es un número
natural. Es decir, la diferencia de a y b es positiva.
Ejemplo:
5 > 4 ya que 5 – 4 = 1  N
– 3 > – 5 ya que – 3 –(– 5) = – 3 + 5 = 2  N
6 > – 6 ya que 6 –(– 6) = – 6 + 6 = 12  N
Propiedades de >
Se cumple la siguiente propiedad transitiva.
Si a > b y b > c, entonces a > c.
También se cumple que
Si a, b y c  Z, y a > b, entonces a + c > b + c.
Si a > b, entonces –a < – b.
Si a > b y c > 0, entonces ac > bc.
Si a > b y c < 0, entonces ac < bc.
Inducción
Un conjunto es inductivo si, para cada a  A, entonces a + 1
también pertenece a A. El conjunto de los números naturales
que incluye al 0 es un conjunto inductivo.
Los siguientes pasos se siguen para hacer demostraciones
inductivas.
1. Probar que la proposición se cumple para 0.
2. Suponer que la proposición se cumple para n y probar que
esto implica que se cumpla para n + 1.
3. Deducir que la proposición se cumple para todos los
elementos de N.
Ejemplo 1
Sea Hn = 0 si n = 0 y Hn+1 = 1 + 2Hn. Demostrar Hn = 2n – 1
BI: H0 = 20 – 1 = 1 – 1 = 0
HI: se cumple Hn = 2n – 1
Hn+1 = 1 + 2Hn = 1 + 2(2n – 1) = 1 + 2n+1 – 2
Conclusión:
n: Hn = 2n – 1
= 2n+1
–1
Ejemplo 2
Para todo n: 2(n + 2)  (n + 2)2.
BI: 2(0 + 2)  (0 + 2)2 o 4 = 4
HI: 2(n + 2)  (n + 2)2.
2(n + 1 + 2)  (n +1+ 2)2.
2(n + 3)  (n + 3)2.
2(n + 2) + 2  (n + 3)2. = n2 + 6n + 9 = n2 + 4n +4+2n+5
2(n + 2) + 2  (n + 2)2 + 2n+5
Por la hipótesis inductiva eliminamos 2(n + 2)  (n + 2)2.
2  2n+5
Ya que esta se cumple para toda n, se cumple la hipótesis
inductiva.
Ejemplo 3
Para todo n3 + 2n es divisible por 3.
BI: 03 + 2·0 = 0 + 0 = 0 es divisible por 3.
HI: n3 + 2n = 3k
(n+1)3+2(n+1) = n3+3n2+3n+1+2n+2
= n3+2n+3n2+3n+3
= 3k+3(n2+n+1)
Este número es divisible por 3, por lo tanto se cumple la hipótesis
inductiva.
Modificación de la base inductiva
La base inductiva no debe ser siempre con n = 0.
Podemos comenzar en cualquier n0, tomando P(n0) como base
de inducción.
P(n0)
n(P(n n0)  P(n+1))
n P(n  n0)
Ejemplo 4
Para todo 2n < n! para n  4.
BI: 24 < 4! o 16 < 24
HI: 2n < n!
2·2n = 2n+1 < 2·n! < (n+1)·n! = (n+1)!
Ejemplo 5
Para todo 1+23+33+43+…+n3 = (n(n+1)/2)2 .
BI:
1 = (1(1+1)/2)2 = 12 = 1
HI:
1+23+33+43+…+n3 = (n(n+1)/2)2
1+23+33+43+…+n3 + (n+1)3= (n(n+1)/2)2 + (n+1)3
= (n2(n+1)2/4) + (n+1)3
= (n+1)2(n2 + 4(n+1))/4 = (n+1)2 (n+2)2/4 =
= ((n+1) (n+2) / 2) 2
Ejemplo 6
Para todo 32n+1+2n+2es divisible por 7.
BI:
31+21 = 7
HI:
32n+1+2n+2 = 7m
32(n+1)+1+2(n+1+2) = 32n+3+2n+3 = 3232n+1 + 212n+2=
= 9x32n+1 + 2x2n+2
= 7x32n+1 + 2x32n+1 + 2x2n+2
= 7x32n+1 + 2(32n+1 + 2n+2)
= 7x 32n+1 + 2 (7m)
= 7(32n+1 + 2)
Conclusión:
32n+1+2n+2es divisible por 7.
Divisibilidad
Un entero a es divisible por un entero b si existe un entero c tal que:
a = b·c
Se dice que a es un múltiplo de b.
Un número que tiene solo dos divisores, 1 y el mismo, se llaman
número primo.
Los números que no son primos se les llama compuestos.
Se suele expresar de la forma a|b, que se lee a divide a b, o a es
divisor de b.
Propiedades de la divisibilidad
Sean a, b, y c  Z. Tenemos las siguientes propiedades básicas:
a|a (Propiedad Reflexiva).
Si a|b y b|c, entonces a|c (Propiedad Transitiva).
Si a|b, entonces |a|  |b|.
Si a|b y b|a , entonces |a| = |b|.
Si a|b y a  0, entonces b/a|b .
Si a|b y a|c entonces a|(b+c).
Si a|b y c es un entero, entonces a|bc.
Si c|a y c|b , entonces c|ar+bs, para r y s arbitrarios.
Ejemplos:
5|5 es cierto
5| 20, 20/5=4|20
7|49, entonces 7|49*2=98
5| 30 y 30|150, 5|150
3|18 y 3|21, 3|39
6|12 y 6|18, 6|(3*12+2*18)=72
Combinación lineal
Una combinación lineal de dos enteros a, b es una expresión de
la forma
ar + bs
Donde r y s son enteros.
Un entero c divide a los enteros a y b si y solo si c divide a
cualquier combinación lineal de a y b.
Ejemplo: sea a = 12, b = 18 y c = 6, entonces
6 = 12r + 18s donde r = –1 y s = 1
Una condición necesaria para que un número g sea combinación
lineal de a y b es que g sea divisible entre todo divisor común de
a y b.
Ejemplos
Probar que 52 no es combinación lineal de 20 y 15.
Divisores de 20 y 15 es 5
5 | 52 por lo tanto no existe una combinación lineal
Encuentre una combinación lineal de 12 en términos de 98, 102.
102 – 98 = 4, 12 = 3*4, entonces 3*102 – 3*98 = 12
Pruebe que si c = 30n+6, entonces c no es combinación lineal de
1020 y 210.
Divisores de 1020 y 210 son: 2, 3, 5, 10, 15 y 30.
Divisores de 30n+6 son: 2, 3, 6, etc. No tiene como divisor a 5,
por lo tanto no es posible obtener una combinación lineal.
Algoritmo de la división .
Sean a∈ Z y b∈ N. Entonces existen q, r∈ Z con 0< r <|b| tales
que a = bq + r. Además, q y r son únicos.
Demostración. Sea a>0 y b>0. Considere los enteros de la
forma a – bs. Sea r = a – bq >= 0 el menor de estos enteros. De
aquí
a = bq + r
Si rb, ya que r = a – bq, obtenemos r – b = a – bq – b = a – b(q
+ 1), puesto que r  b, resulta que
a – b(q + 1) >= 0
Contradice el echo que r es el menor entero no negativo de la
forma a – bs, ya que a – b(q+1) = r – b < r = a – bq. Por lo cual
queda demostrado que r <b.
Si a > 0 y a < b, a = b·0 + a y a< b, lo cual demuestra el teorema
en este caso.
Supongamos que existen q’ y r’ además de q y r, tales que
a = bq +r
r<b
a = bq’ + r’
r’<b
De las anteriores obtenemos
b(q – q’) = r’ – r
De donde
|b||q – q’| = |r’ – r|
Pero |r’ – r| < b, lo anterior implica que
|b||q – q’| = 0 y |r’ – r| = 0
Como |b|  0, se tiene que
q = q’ y r = r’
Omitiremos los casos de a o b o ambos negativos.

Sea a = 436 y b = 17
436 = 17·25 + 11
q = 25 y r =11
Sea a = –436 y b = – 17
– 436 = – 17·25 – 11
Pero – 11 no sirve como residuo ya que es negativo, por tanto
– 436 = – 17·26 + 6
q = 26 y r = 6 y 0 < r = 6 < |–17| = 17
Sea a = –436 y b = 17
–436 = 17·(–25) – 11 = 17·(–25) + 17 (–1) + 17– 11=
–436 = 17·(–26) + 6
q = –26 y r = 6 y 0 < r = 6 < |–17| = 17
Sea a = 436 y b = – 17
436 = (–17)·(–25) + 11
q = –25 y r =11
Máximo común divisor
Dados dos enteros a y b distintos de 0, decimos que el entero d>1
es un máximo común divisor (denotado por (a, b) o mcd(a,
b)), de a y b si d|a, d|b y para cualquier otro c ∈ Z tal que c|a y
c|b, entonces c|d.
Algunas propiedades del máximo común divisor
mcd(a, b) = mcd(|a|, |b|)
mcd (ka, kb) = |k| mcd(a, b)
Si a|b.c y mcd(a, b) =1, entonces a|c
mcd(a, b) = d ⇔ d|a, d|b y mcd(a/d, b/d)=1
Propiedades
Si a y b son enteros positivos y d = as + bt es su combinación lineal
positiva mínima, entonces todo divisor de d es divisor también de a
y b.
Demostración. Tenemos que a = dq + r con 0  r <|d|, sustituyendo
d = as + bt, se tiene
a = (as + bt)q + r
O
r = a(1 – sq) – btq
r es combinación lineal de a y b
Pero como 0  r < d y d es la combinación positiva mínima de a y b,
resulta que r = 0, es decir, a = dq y por tanto d|a
De igual forma se demuestra que d|b.

Corolario: el mcd(a, b) es la combinación mínima positiva de a y b.
Primos relativos
Dos números a y b son primos entre si (primos relativos) si su
máximo común divisor es 1. Es decir, a y b son primos entre si, si
y solo si,
1 = as + bt
Proposición: Si a|bc y mcd(a, b) =1, entonces a|c.
Demostración.
1 = as + bt, entonces c = asc + btc
Ahora bien, a|a y a|bc, a divide a la combinación lineal a(sc) +
(bt)t = c, por lo tanto a|c.

Mínimo común múltiplo
El Mínimo Común Múltiplo (denotado [a, b] o mcm(a, b)) de dos
números a y b es el entero más pequeño que es divisible por ambos
números a y b.
Ejemplo: a = 6 y b = 10
Los múltiplos de a son {6, 12, 18, 24, 30, 36, …}
Los múltiplos de b son {10, 20, 30, …}
La intersección de estos dos conjuntos es el conjunto {30, 60, 90,
…} el más pequeño de estos valores es el mcm(6, 10) =30
Mcd * mcm
Proposición: Si a y b son enteros positivos, entonces el producto de a y b es igual al
producto de su mcd y mcm. Es decir ab = mcd(a,b)·mcm(a,b) = (a, b)[a, b].
Demostración:
Sea m = mcm(a,b), m|ab y sea d tal que md = ab.
Como m es múltiplo de a y b, m = ar = bs, entonces
md = ard = bsd = ab, por lo que rd = b y sd = a por tanto d|a y d|b. (1)
Por otro lado d’ un divisor de a y b, d’|a d’|b. Sean a’ y b’ tales que a = d’a’ y b =
d’b’
Sea m’ un múltiplo común de a y b dado por m’ = a’b’d’ = ab’ = a’b. m’ es un
múltiplo de m, es decir m’ = mt.
mtd’ = m’d’ = a’b’d’d’ = ab = md, entonces td’ = d o d’|d.(2)
Las condiciones (1) y (2) significan que d es divisor de a y b y que d es dividido por
cualquier divisor de a y b, por lo tanto d es el mcd lo que implica que ab =
mcd(a,b)·mcm(a,b)

El algoritmo de Euclides
Para calcular el mcd de dos enteros a y b (ambos >0,
suponemos a > b) se definen qi y ri recursivamente mediante
las ecuaciones:
a = bq1 + r1 (0<r1<b)
b = r1 q2 + r2 (0<r2<r1)
r1 = r2 q3 + r3 (0<r3<r2)
....
rk-3 = rk-2 qk-1 + rk-1 (0<rk-1<rk-2)
rk-2 = rk-1 qk (rk= 0)
El máximo común divisor es el último residuo diferente de 0.
Ejemplo de algoritmo de Euclides
a = 246, b = 118
a/b = 246/118 = 2 + 10/118, q1 = 2, r1 = 10
b/r1 = 118/10 = 11 + 8/10, q2 = 11, r2 = 8
r1/r2 = 10/8 = 1 + 2/8, q3 = 1, r3 = 2
r2/r3 = 8/2 = 4, q4 = 2, r4 = 0,
mcd(246, 118) = 2
Mcd como combinación lineal
El mcd de a y b se puede expresar como la combinación positiva
mínima lineal de a y b.
Ejemplo:
a = 348 y b = 228
12 = 120 – 108
348 = 1x228 + 120
= 120 – (228 – 120)
228 = 1x120 +108
= 2x120 – 228
120 = 1x108 + 12
= 2x(348 – 228) – 228
108 = 9x12
= 2x348 – 3x228
mcd = 12
mcd(a, b) = 2a – 3b
= 696 – 684 = 12
Actividad
Encuentre el mcd y mcm de las siguientes parejas utilizando el
algoritmo de Euclides:
2604 y 1344
405 y 510
Exprese el mcd como combinación lineal de 120 y 184
Ejemplos
Calcule (84, 30): Utilizando el algoritmo de Euclides tenemos:
84 = 2(30) + 24
30 = 1(24) + 6
24 = 4(6) + 0
Entonces (84, 30) = 6. Además, de las ecuaciones anteriores
obtenemos
6 = 30 – 24 = 30 – (2(30) + 84) = 3(30) + (–1)84
y hemos escrito a 6como la mínima combinación lineal positiva
entre 84 y 30.
Calcule (–35,–48): Utilizando el algoritmo de Euclides tenemos:
–35 = 1(–48) + 13
–48 = –4(13) + 4
13 = 3(4) + 1
4 = 4(1) + 0
Entonces (–35,–48) = 1. Además, de las ecuaciones anteriores
obtenemos
1 = 13 – 3(4) = 13– 3(–48+4(13))= –3(–48)–11(13)
= – 3(–48)–11(–35–1(–48))
= 8(–48)–11(–35)
y hemos escrito a como la mínima combinación lineal positiva
entre –35y –48.
Factorización única
Teorema de factorización única (teorema fundamental de la
aritmética). Todo número entero distinto de 1 se puede expresar de
la forma
a = p1 p2 p3 …ph
(1)
donde p1 p2 p3 …ph son números primos positivos.
Demostración
Demostración. Suponga que existe un conjunto M de números que
no pueden expresarse como en (1). Demostraremos que M = .
Suponga que a es el menor elemento de M, si a es primo, a = p1, lo
cual contradice la suposición de M.
Ahora suponga que a es compuesto y entonces a = bc, con 1< b <
a y 1 < c < a. Como a es el mínimo elemento de M, b y c se
pueden expresar de la forma (1).
b = p1 p2 p3 …pn
y
c = q1 q2 q3 …qr
Entonces a = p1 p2 p3 …pn q1 q2 q3 …qr
Pero esta es una expresión de la forma (1), lo que contradice la
existencia de M.
Demostración (cont.)
Ahora demostraremos que la factorización es única. Suponga que
existen dos factorizaciones para a
a = p1 p2 p3 …pn
a = q1 q2 q3 …qr
Igualando
p1 p2 p3 …pn = q1 q2 q3 …qr
como p1 divide al producto de la izquierda, debe dividir al
producto de la derecha, digamos que divide a q1. Nos queda
p2 p3 …pn = q2 q3 …qr
Análogamente, se puede decir para p2 = q2, p3 = q3, hasta llegar a
tener 1 = qh qh+1 …qr si h < t, lo cual es imposible, similarmente si
t < h, de ahi que h = t, con lo que queda demostrado.

Mcd, mcm y factorización
Se puede demostrar que para dos números a y b con
factorizaciones en primos dadas por
a  p1 1 p 2 2 p 3 3  p n n
m
b p p
s1
1
m
s2
2
m
m
s3
3
p  p
sn
n
el mcd y el mcm se pueden expresar como
mcd ( a , b )  p p p  p
r1
1
r2
2
r3
3
rn
n
mcm ( a , b )  p 11 p 22 p 33  p nn
t
t
t
Donde ri = min{mi, si} y ti = max{mi, si}
t
ejemplo
Factorice en potencias de primos y encuentre mcm y mcd:
194040
546000
Números racionales
Consideremos el producto cartesiano de Z  (Z – {0}) dado por Q
= {(a, b) | a  Z y b  (Z – {0}) }
Definimos la relación ~:
(a, b) ~ (a’, b’) si ab’ = ba’
Ejemplo:
(3, 4) ~ (12, 16) ya que 3·16 = 48 = 4·12
Propiedades
La relación ~ es una relación de equivalencia.
a) ~ es reflexiva ya que (a, b) ~ (a, b) o ab = ba.
b) ~ es simétrica ya que (a, b) ~ (a’, b’)  (a’, b’) ~ (a, b).
ab’ = ba’  a’b = b’a o (a’, b’) ~ (a, b)
c) ~ es transitiva, si (a, b) ~ (a’, b’)  (a’, b’) ~ (a’’, b’’)  (a,
b) ~ (a’’, b’’).
Si ab’ = ba’ (1) y a’b’’ = b’a’’ (2), multiplicando (1) por b’’ y
(2) por b, obtenemos
ab’b’’ = ba’b’’
a’b’’b = b’a’’b.
De estas dos obtenemos ab’b’’ = b’a’’b. Eliminando b’
llegamos a ab’’ = b’’a o (a, b) ~ (a’’, b’’).

Notación fraccionaria
Se utiliza la siguiente notación:
a/b = {(x, y) | (a, b) ~ (x, y)}
Proposición: a/b = a’/b’  ab’ = ba’.
Demostración. Suponga que se cumple a/b = a’/b’ , esto quiere
decir que si (a’, b’)  a’/b’  (a’, b’)  a/b, es decir (a, b) ~ (a’,
b’), lo cual a/b = a’/b’  ab’ = ba’.
Suponga ahora que ab’ = ba’, esto significa que (a, b) ~ (a’, b’).
Sea (x, y)  a/b  (a, b) ~ (x, y) y por tanto por transitividad (a’,
b’) ~ (x, y) a/b  a’/b’ .
Similarmente, suponga (a’, b’) ~ (a, b), sea (x, y)  a’/b’  (a’,
b’) ~ (x, y) y por tanto por transitividad (a, b) ~ (x, y) a’/b’  a/b.
Por lo tanto ab’ = ba’  a/b = a’/b’.

Operaciones con racionales
Lema 1:
(a/b = a’/b’ y c/d = c’/d’ )  (ad+bc)/bd = (a’d’+b’c’)/b’d’.
Demostración.
ab’ = ba’ (1) y cd’ = dc’ (2), multiplicando (1) por dd’ y (2) por bb’
obtenemos
ab’dd’ = ba’dd’
y
cd’bb’ = dc’bb’
Sumando lados izquierdos y derechos.
ab’dd’ + cd’bb’ = ba’dd’ + dc’bb’
(ad + cb)b’d’ = (a’d’ + c’b’)bd
 (ad+bc)/bd = (a’d’+b’c’)/b’d’.

Operaciones con racionales (cont.)
Lema 2:
(a/b = a’/b’ y c/d = c’/d’ )  ac/bd = a’c’/b’d’.
Demostración.
ab’ = ba’ (1) y cd’ = dc’ (2), multiplicando (1) por (2) obtenemos
ab’cd’ = ba’dc’
acb’d’ = bda’c’
 ac/bd = a’c’/b’d’.

Suma y producto de racionales
Definimos la suma de los racionales a/b y c/d como
a

b
c

ad  bc
d
bd
Definimos el producto de los racionales a/b y c/d como
a
b

c
d

ac
bd
Propiedades
1) La suma es conmutativa. a/b + c/d = c/d + a/b
2) La suma es asociativa. (a/b + c/d) + e/f = a/b + (c/d + e/f )
3) 0/1 es el idéntico aditivo
m/n + 0/1 = m/n
4) Todo racional tiene un inverso aditivo, el inverso aditivo de
m/n es –m/n .
5) El producto es conmutativo. (a/b)(c/d ) = (c/d )(a/b)
6) El producto es asociativo.
((a/b)(c/d))(e/f ) = (a/b)((c/d))(e/f ))
Propiedades (cont.)
7) 1/1 es el idéntico multiplicativo
(m/n)(1/1) = m/n
8) Todo racional diferente de 0/1 tiene un inverso multiplicativo,
el inverso multiplicativo de m/n es n/m o (m/n)–1.
9) El producto distribuye a la suma
ac
e  ac
ae
   

bd
f  bd
bf
Actividad
Realizar las siguientes operaciones con racionales:
(3/4) + (2/7)
(8/31)–(7/2)
(21/51)(153/7)
(17/360)(51/64)–1
Encuentre el inverso aditivo de (9/7)((2/5)+(7/8))
Encuentre el inverso multiplicativo de (6/5)((3/7)+(17/14))
Racionales positivos
Definimos el conjunto de los racionales positivos como
Q+ = {a/b | a/b  Q, ab  Z+}
Donde Z+ es el conjunto de los enteros positivos.
Para cada a/b  Q es verdadera una y solo una de las
afirmaciones siguientes:
a) a/b  Q+;
b) a/b = 0/1;
c) –a/b  Q+.
Orden en Q
Definimos el orden en Q de la siguiente manera.
a/b > c/d si a/b +(–c/d)  Q+
Dados a/b y c/d en Q se cumple una y solo una de las
afirmaciones siguientes:
a) a/b > c/d
b) a/b = c/d
c) c/d > a/b
Se cumplen las siguientes proposiciones:
(a/b > c/d)  (c/d > e/f )  (a/b > e/f )
transitividad
(a/b > a’/b’)  (c/d > c’/d’ )  (a/b + c/d > a’/b’ + c’/d’ )
(a/b > a’/b’)  (a/b + c/d > a’/b’ + c/d )
(a/b >a’/b’  0/1)  (c/d >c’/d’  0/1)  (a/b)(c/d)> (a’/b’)(c’/d’)
(a/b >a’/b’)  (c/d > 0/1)  (a/b)(c/d)> (a’/b’)(c/d)
a/b > c/d  –c/d > –a/b
Enteros como racionales
La siguiente función mapea de un entero a un racional.
i: Z  Q
Definida como
i(a) = a/1
Esta función es inyectiva, es decir, dados a y b enteros si i(a) =
i(b), entonces a = b ya que a/1 = b/1.
Podemos escribir a por a/1.
Se cumple:
i(a) + i(b) = i(a + b)
i(a) · i(b) = i(ab)
El subconjunto D de Q
El subconjunto D (racionales decimales) de Q está formado por
los racionales de la forma:
a/10n
Se utiliza la notación de punto decimal para representar a estos
racionales.
Ejemplo:
231/1000 = 0.231
3/100 = 0.03
27822/1000 = 27.822
Las sumas y productos de elementos de D pertenecen a D.
Definimos:
D+ = D  Q+
D– = D  Q–
Los elementos de D+ son de la forma
A.a1a2…an,
Donde A es un entero no negativo y ai  {0, 1, 2, …, 9}
Los elementos de D– son de la forma
–A.a1a2…an,
Donde A es un entero no negativo y ai  {0, 1, 2, …, 9}
Se cumple lo siguiente:
Orden en D
i) 0 > x x  D-.
ii) x > y siempre que x  D+ y y  Diii) x > 0 x  D+.
iv) Dados los elementos cualquiera de D+,
x = A.a1a2…an,
y = B.b1b2…bn,
x > y en cualquiera de los dos casos siguientes:
a) A > B
b) Si A = B existe un entero mn tal que ai =bi para i < n y am > bm
Orden en D (cont.)
v) Dados x  D+ y y  D+,
–x > – y si y > x
Regla de los signos:
Se cumple la regla de los signos.
(–A.a1a2…an)B.b1b2…bn = –(A.a1a2…anB.b1b2…bn)
A.a1a2…an (– B.b1b2…bn) = –(A.a1a2…anB.b1b2…bn)
(–A.a1a2…an) (– B.b1b2…bn) = A.a1a2…anB.b1b2…bn
Regla de los signos
Se cumple la regla de los signos:
(–A.a1a2…an)B.b1b2…bn = –(A.a1a2…anB.b1b2…bn)
A.a1a2…an (– B.b1b2…bn) = –(A.a1a2…anB.b1b2…bn)
(–A.a1a2…an) (– B.b1b2…bn) = A.a1a2…anB.b1b2…bn
Actividad
Establezca cual de los dos racionales es el mayor y cual el
menor.
23/34 y 65/96
7/4 y 25/32
Establezca cual de los dos elementos de D es el mayor y cual el
menor.
-17.4527628 y -17.4527728
46.87600277 y 46.87600367
Ordene de mayor a menor los siguientes números racionales
3/4, 5/6, 4/7, 6/13, 7/9, 15/19, 4/5
Números reales
El conjunto de los reales positivos denotados como R+, está
formado por números de la forma
A.a1a2a3…,
Donde los puntos suspensivos indican que hay una infinidad de
aes.
El conjunto de los reales negativos R– son de la forma
–A.a1a2a3…,
Si agregamos el 0.0000… tendremos el conjunto de los reales
como
R = R+  R–  {0.000…}
Excluimos números en los que ai = 9, para i>n.
Subconjuntos de R
Se cumple lo siguiente:
ZDQR
Z+ = D+  Z
Z– = D–  Z
D+ = R+  D
D–
Q+
=
R–
=
R+
Q D
Z
D
Q
Q– = R–  Q
R
Se cumple lo siguiente:
Orden en R
i) 0 > x x  R-.
ii) x > y siempre que x  R+ y y  Riii) x > 0 x  R+.
iv) Dados los elementos cualquiera de D+,
x = A.a1a2…,
y = B.b1b2…,
x > y en cualquiera de los dos casos siguientes:
a) A > B
b) Si A = B existe un entero mn tal que ai =bi para i < n y am > bm
Orden en R (cont.)
v) Dados x  R+ y y  R+,
–x > – y si y > x
Ejemplo:
0 > -0.00001
0.0002… > -3.4674…
4.556… > 0.0
3.1415926535…> 3.1415925678…
-4.567585…> -4.567698…
4.567585…< 4.567698…
Reales y Racionales
Proposición. Entre cada a y b  R hay un elemento de D.
Ejemplo
a = 3.4584734…
b = 4.3479437…
sea
c = 3.5, entonces a < c < b.
a = 3.76458846…
b = 3.76458900…
c = 3.7645885,
sea
c = 3. 7645885, entonces a < c < b.
Reales y Racionales
Proposición. Para cada a  R y cada entero positivo n existe a D
tal que a < a < a + 10–n.
Ejemplo. a  D
a = 2.36478364…
Tomamos a = 2.36 y n = 2, entonces
2.36 < 2.36478364… < 2.36 + 10–2 = 2.37
aD
a = 2.364783,
Tomamos n = 6, a = 2.364783 – 10–6 = 2.364782
2.364782 < 2.364783 < 2.364782 + 10–6 = 2.364784
Cotas y fronteras
Sea S  R. Decimos que a  R es una cota superior (inferior) de
S si a  x (a  x) para todo x S.
S  R. Decimos que S está acotado superiormente (inferiormente)
si existe a  R que es una cota superior (inferior) de S.
Sea S  R. Decimos que a es una frontera superior (inferior) de S
si:
1) a es cota superior (inferior) de S.
2) Si x es cualquier otra cota superior (inferior) de S, entonces x >
a (x < a ).
S conjunto de reales en círculos azules, conjunto de cotas superiores de S en
círculos rojos, frontera de S rombo rojo
Supremo
El supremo (ínfimo) de S (o frontera superior (inferior)), si existe,
es el mínimo (máximo) elemento de las cotas que es mayor
(menor) o igual a cada elemento de S.
En otras palabras, es la mínima (máxima) de las cotas superiores
(inferiores) de S.
El supremo de un conjunto S comúnmente se denota sup S (inf S).
Ejemplos:
sup {1, 2, 3} = 3
inf {1, 2, 3} = 1
sup ({x  R | 0 < x < 1} = 1 inf {x  R | 0 < x < 1} = 0
sup {x  R | x2 < 2} = √2
inf {x  R | x2 < 2} no existe
sup(-, ) no existe
inf (-, 5) no existe
Máximo y mínimo
El máximo (mínimo) de un intervalo S de números reales es el
elemento que es frontera superior (inferior) y que pertenece a S.
Ejemplo:
(1;3] : el máximo es 3, el mínimo no existe.
[5; 8] : el máximo es 8, el mínimo es 5.
[-1;  ) : el no existe, el mínimo es -1.
Teoremas
Enunciaremos el siguientes teoremas sin demostración.
Teorema 1. Todo conjunto no vacío de R acotado superiormente
(inferiormente) tiene frontera superior (inferior).
Teorema 2. Todo conjunto no vacío de R acotado superiormente
(inferiormente) tiene una sola frontera superior (inferior).
Suma de reales
Dados a  R, b  R, sean
A = {x | x  D, x  a}
B = {x | x  D, x  b}
C = {x + y | x  A, y  B}
Definimos
a + b = sup C.
Ejemplo: sea a = 2.373873… y b = 6.637863…, existen a y b
tales que a < a y b < b. Por ejemplo a = 2.373874, y b = 6.637864
Entonces
a+b<a+b
O sea que a + b = 2.373874+6.637864 = 9.011738
Producto de reales
Dados a  R, b  R, sean
A = {x | x  D, x  a}
B = {x | x  D, x  b}
C = {xy | x  A, y  B}
Definimos
ab = sup C.
Ejemplo: sea a = 2.373873… y b = 6.637863…, existen a y b
tales que a < a y b < b. Por ejemplo a = 2.373874, y b = 6.637864
Entonces
ab < ab
O sea que ab = 2.3738746.637864 = 15.757452765136
Propiedades
1) La suma en R es conmutativa. a + b = b + a
2) La suma en R es asociativa. (a + b) + c = a + (b + c )
3) 0 es el idéntico aditivo en R
a+0=a
4) Todo real tiene un inverso aditivo, el inverso aditivo de a es
–a.
5) El producto en R es conmutativo. ab = ba
6) El producto en R es asociativo.
a(bc) = (ab)c
Propiedades (cont.)
7) 1 es el idéntico multiplicativo en R
a1 = a
8) Todo real diferente de 0 tiene un inverso multiplicativo, el
inverso multiplicativo de a o a–1.
9) El producto distribuye a la suma
a(b +c) = ab + ac
Propiedades de orden en R
Se cumplen las siguientes proposiciones en los reales:
(a > b)  (b > c)  (a > c) transitividad
(a > b)  (c > d)  a + c > b + d
a > b  a+ c > b+ c
(a > b  0)  (c > d  0)  (ac)> (bd)
(a > b)  (c > 0)  (ac)> (bc)
a > b  –b > –a
Racionales y reales
La siguiente función mapea de un racional a un real.
j: Q  R
Definida como
j(a/b) = ab–1
Esta función es inyectiva, es decir, dados a/b y c/d racionales
j(a/b) = j(c/d)  ab–1 = cd–1  ad = bc  a/b = c/d
Se dice que Q es denso en R, es decir, entre dos reales hay un
racional.
Representación decimal de racionales
Para obtener la representación de un racional dividimos
numerador entre denominador. El número obtenido es siempre
un decimal periódico.
Ejemplo
0.42857142
7 3
30
20
60
40
50
10
30
20
3 = 0.428571
7
8 = 0.2.6
3
5561 = 1.1234
4950
Actividad
Encontrar el supremo y el infimo si existen en cada caso.
{1, 1/2, 1/3, 1/4,1/5, …}
{x  R | x3 < 2}
(5, 7]
[-6, )
Encuentre la representación de los siguientes racionales como
decimales periódicos
45/7
23/43
Raíces de reales
Para cada a  R+ y cada n  Z existe un número único b  R+ tal
que bn = a. Este real b se denota por
n
α
b = sup {x | x  R, xn < a}
Ejemplo
1.24573093… =
5
3
Ya que:
1.245730935 = 2.99999988422< 3
Reglas de los exponentes
Para cada a  R – {0} y n  Z definimos
an = aaa···a n factores
a–n = (an)–1.
a0 = 1
am·an = am+n
(am)n = amn
Ejemplos:
34 = 3·3·3·3 = 81
4–3 = (43)–1 = (64)–1 = 0.015625
52·53 = 25*125 =55 = 3125
(72)3 = (49)3 = 49·49·49 = 117649 = 76
Reglas de los exponentes (cont.)
Para cada a,b  R – {0} y n, m  Z definimos
αn β 
n
m n
α 
 α
m
n

αβ
n
mn
α
n
α
m
Ejemplos:
2
3 2 27 
4 2
α 
 8
3
2

81  9
2
8
256  2
3
8 
2
3
64  4
Reglas de los exponentes (cont.)
Para cada a,b  R+ y m/n, r/s  Q y n, s  Z+ definimos
am/nbm/n = (ab)m/n
am/nar/s = am/n+r/s
am/nr/s = am/n·r/s
Ejemplos:
52/362/3 = 2.924017738 · 3.301927249 = 302/3 = 9.654893846
83/483/2 = 4.75682846 · 22.627417 = 83/4+3/2 = 89/4 = 107.6347412
(64/5)3/2 = (4.192962713)3/2 = 8.585814487
66/5 = 8.585814487
Valor absoluto de un real
Definimos el valor absoluto como sigue.
El valor absoluto de a se denota por | a | = a si a > 0 y |a| = –a si
a < 0. Símbolicamente: a> 0  |a| = a  a< 0  |a| = –a
Es decir, el valor absoluto de un entero es el número que resulta al
eliminar el signo que lo precede.
Se tienen las siguientes propiedades:
a) | a |  0, | a | = 0 solo si a = 0.
b) | ab | = | a | | b |
c) | a  b |  | a | + | b |
Como consecuencia | a – b |  || a | – | b ||
Ejemplos
|(-5)(2)| = |-5||2| = 5·2 = 10
| 4 + 7| = |4| +|7| = 11
| (–6) + (–4)| = |–10| = 10
| (–6) + (4)| = |–2| = 2 < | (–6)| + |(4)| = 6+4 =10
| (6) + (–4)| = |2| = 2 < | (6)| + |(–4)| = 6+4 =10
| 6 – 4| = | 2 | = 2 = | |6| – |4|| = |6 – 4|
| 6 – (– 4)| = | 10 | = 10 > | |6| – | – 4|| = |6 – 4| = 2
| (– 6) –4| = | 2 | = 2 = | | – 6| – | 4|| = |6 – 4| = 2
Actividad
Efectúe las operaciones con exponentes:
(3a3)3
(–4a2y)2
(24/2–3)–1
(3x2)3/(2x4)2
5
10
32 x y

20
(8a3x– 6)–1/3
(2x5)3(3xy2) (x2y)2
3
3
x y
6k

2
(81a–16b12)–1/4
Calcule los siguientes valores absolutos
|5 + (- 8)|
| (-8)(-2) + (-9) |
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` a`b`