Números enteros
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JUGANDO CON LOS NÚMEROS
ENTEROS
–Prof. Ricci Valdivia
01.10.15
Números enteros
2
De los números naturales a los enteros
+7
+20
+5000
Los juegos olímpicos
empezaron en el año 776
antes de Cristo
–7
– 776
0
– 250
– 20
– 5000
Buena temperatura: + 20 ºC
Soy rico: tengo +5000 euros
Mucho frío: – 20 ºC
El submarino
navega a 250 m
bajo el nivel del
mar
Debo dinero: “tengo” -5000 euros
Los números naturales se consideran
enteros positivos.
Por cada entero positivo hay un entero negativo.
Van precedidos por un signo menos (–)
01.10.15
Los números enteros
están formados por:
enteros positivos,
enteros negativos
y el cero
Números enteros
Representación de los números enteros
3
Es útil representar los números enteros en la recta. Se siguen los pasos:
1º. Se traza una recta y se elige un punto para representar el 0.
2º. A la derecha del 0 se representa el +1.
3º. La distancia entre 0 y +1 será la que
exista entre cada dos enteros consecutivos.
Negativos
–5
–4
–3
–2
Positivos
–1
0
+1
+2
+3
+4
+5
4º. A la izquierda del 0 se
4º. A la derecha del 0 se
colocan los enteros negativos.
colocan los enteros positivos.
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+6
Números enteros
Valor absoluto de un número entero
4
Los números +2 y –2 están a la misma distancia del cero:
–5
–4
–3
–2
–1
0
+1
+2
+3
+4
+5
+6
Es evidente que +2 y –2 están asociados al número natural 2. Por eso:
El número natural 2 se llama valor absoluto de + 2 y –2.
Se indica así:
2  2  2
Se llama valor absoluto de un número entero al número natural que sigue al signo.
Se indica escribiéndolo entre barras
Otro ejemplo:
01.10.15
4  4  4
5 Valor absoluto y ordenación de los números enteros
Números enteros
Valor absoluto de un número entero es el número natural que sigue al signo
Se indica escribiéndolo entre barras. Así:
 7  7,
 7
 7
Gráficamente, un número entero es mayor que otro cuando
en la recta numérica está a la derecha.
Ordenación:
Más pequeños
–5
–4
–3
–2
Más grandes
–1
0
+1
+2
+3
+4
+5
+6
Cualquier número entero positivo es mayor que cualquier entero negativo.
El cero es mayor que cualquier negativo y menor que cualquier positivo.
Dados dos números enteros positivos es mayor el que tiene mayor valor absoluto.
Luego
 7   13 , pues
 7   13
Dados dos números enteros negativos es mayor el que tiene menor valor absoluto.
Así,  7   13 , pues
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 7   13
Números enteros
Suma de enteros del mismo signo
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Para sumar dos números enteros del mismo signo:
1.º Se suman sus valores absolutos.
2.º Al resultado se añade el signo que tienen.
(+2) + (+3) = +5
+3
+2
–2
–1
0
(+6) + (+12) = +18
(+4) + (+21) = +25
+1
+2
+3
+4
+5
+6
(–2) + (–3) = –5
(–4) + (–11) = –15
(–17) + (–31) = –48
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–3
–6
–5
–4
–2
–3
–2
–1
0
+1
+2
Números enteros
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Suma de números enteros de distinto signo
Teresa y Miguel hacen cuentas ...
Nos han dado
12 soles
(+12) + (–9) = +3
Les quedan 3 soles
Carola y Pablo también hacen sus cuentas ...
Nos han dado
18 soles
Y hemos gastado
19 soles
(+18) + (–19) = –1
Y hemos gastado
9 soles
¿Les queda o deben dinero?
Deben 1 sol
(Observa que el resultado es negativo,
como el número de mayor valor absoluto).
Para sumar dos números enteros de distinto signo:
1.º Se restan sus valores absolutos, el menor del mayor.
2.º Al resultado se le pone el signo del sumando de mayor valor absoluto.
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Números enteros
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Suma de varios números enteros
Veamos un ejemplo:
(+100) + (–40) + (–70) + (+50) = (+100) + (+50) + (–40) + (–70) =
= (+150) + (–110) = +40
Para sumar varios números enteros:
1.º Se suman separadamente los positivos y los negativos.
2.º Se suman el número positivo y el negativo obtenido.
Otros ejemplos:
(+5) + (–4) + (+11) + (–7) = (+5) + (+11) + (–4) + (–7) = (+16) +(–11) = +5
(+15) + (–8) + (–31) + (+7) = (+15) + (+7) + (–8) + (–31) = (+22) +(–39) = –17
Observa que sumamos por separado los positivos y los negativos.
01.10.15
Números enteros
Opuesto de un número entero
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4 y –4 son dos números enteros simétricos respecto de 0. Tiene el mismo valor
absoluto, pero distinto signo.Se llaman opuestos.
4 = op.(–4)
–4 = op. (+4)
Opuesto del opuesto:
–6
–5
–4
–3
op.(–5) = 5
–2
–1
0
+1
op.(5) = –5
+2
+3
+4
+5
+6
El opuesto del opuesto de un número es igual al mismo número
a
8
b
–2
–7
–5
a+b
6
–12
op. (a)
–8
7
op. (b)
2
5
op. (a+b)
–6
12
op. (a) + op. (b)
–6
12
Observa que el opuesto de la suma es la suma de los opuestos.
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Números enteros
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Resta de números enteros
Para restar dos números enteros se suma al primero el opuesto del segundo.
(+9) – (+5) = 9 – 5 = 4
(+9) – (–5) = 9 + 5 = 14
(–9) – (+5) = –9 – 5 = –14
(–9) – (–5) = –9 + 5 = –4
El signo – tiene dos significados:
1º. Como signo de la operación resta: 9 – 5
2º. Como indicador de número negativo: –3
Algunos ejemplos:
(+8) +(–8) = (–8) + (+8) = 0. (Observa que un número más su opuesto vale 0).
(–7) + (–8) – (–17) + (–10) = –7 – 8 + 17 – 10 = – 25 + 17 = –8
–7 – 12 + 32 – 19 + 49 = –7 – 12 – 19 + 32 + 49 = – 38 + 81 = 43
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Números enteros
El uso del paréntesis
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Vamos a calcular:
9 – (12 + 3)
1º. Haciendo antes las operaciones del paréntesis: 9 – (12 + 3) = 9 – 15 = –6
2º. También se puede hacer así:
9 – (12 + 3) = 9 + op. (12 + 3) = 9 + op. (12) + op. (3) = 9 – 12 – 3 = 9 – 15 = –6
Como ves, sale el mismo resultado.
Calculamos ahora: 12 – (10 – 6)
1º. Operando antes el paréntesis:
Son iguales
12 – (10 – 6) = 12 – 4 = 8
2º. También se puede hacer así:
12 – (10 – 6) = 12 + op. (10 – 6) = 12 + op. (10) + op. (–6) = 12 – 10 + 6 = 8
Cuando un paréntesis tiene delante el signo menos (–) se puede operar de dos maneras:
1º. Haciendo las operaciones del paréntesis.
2º. Suprimiendo el paréntesis cambiando el signo a los números que contiene.
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Números enteros
Operar con paréntesis
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La expresión: 8 + (4 – 14)
se puede calcular de dos maneras:
1º. Haciendo antes las operaciones del paréntesis: 8 + (4 – 14) = 8 – 10 = – 2
2º. Quitando el paréntesis:
8 + (4 – 14) = 8 + 4 – 14 = 12 – 14 = – 2
Un signo + delante de un paréntesis no cambia el signo de ningún número de él.
Análogamente: 15 – (12 – 2)
1º. Operando antes el paréntesis:
2º. Quitando el paréntesis:
se puede calcular de dos maneras:
15 – (12 – 2) = 15 – 10 = 5
15 – (12 – 2) = 15 – 12 + 2 = 3 + 2 = 5
Un signo – delante de un paréntesis cambia el signo de todos los números de dentro.
Otros ejemplos:
(a) 15 + (17 – 38) – (–14 + 17) = 15 – 21 – 3 = – 9 (operando dentro de los paréntesis).
(c) 8 – (–7 + 14 – 19) = 8 + 7 – 14 + 19 = 34 – 14 = 20 (quitando el paréntesis).
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Números enteros
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SUMA Y RESTA DE NÚMEROS ENTEROS:
1) Cuando los números enteros tienen el MISMO SIGNO
SE SUMAN
y el resultado queda con el
MISMO SIGNO que tienen los números que sumé.
EJEMPLO:
1 + 3 + 5 + 8 = 17
POSITIVOS
POSITIVO
-1 - 3 - 5 - 8
NEGATIVOS
=
- 17
NEGATIVO
2) Cuando los números tienen DISTINTO SIGNO
resto al mayor (en valor absoluto) el menor ( en valor absoluto)
y el resultado me da con el signo del mayor (en valor absoluto).
EJEMPLO:
01.10.15
5 + 3 = -2
ME DA NEGATIVO PORQUE EL MAYOR TIENE ESE SIGNO
5 - 3 = 2
ME DA POSITIVO PORQUE EL MAYOR TIENE ESE SIGNO
Números enteros
3)
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OPERACIONES CON PARÉNTESIS
Si delante de un paréntesis, corchete o llave NO HAY NADA
entonces hay un signo positivo que no se escribe.
EJEMPLO:
HAY UN SIGNO POSITIVO
4) Cuando delante de un paréntesis, corchete o llave hay :
a)
un SIGNO NEGATIVO,
se saca el paréntesis, corchete o llave
y SE CAMBIAN todos los signos de los números que están adentro.
EJEMPLO:
b)
SE CAMBIAN LOS SIGNOS
un SIGNO POSITIVO,
se saca el paréntesis, corchete o llave
y se NO SE CAMBIAN los signos de los números que están adentro.
EJEMPLO:
01.10.15
- ( 4 - 3 ) = - 4 + 3
( 4 - 3 ) =
4 - 3
NO SE CAMBIAN LOS SIGNOS
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Algebra. Ecuaciones de primer grado