Mat. Juan Jiménez Krassel
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¿Qué es el conocimiento matemático?
◦ Se mueve entre dos posiciones, por un lado, su naturaleza
histórica y por otra, los objetos matemáticos actuales.
◦ Pudiera pensarse que el conocimiento matemático actual se
ocupa de estructuras y sus propiedades, lo que implica
poner el acento principal en cuestiones lógicas.
◦ Dichas estructuras pueden apreciarse por su belleza y
abstracción, como ocurre con otros productos de la
creatividad humana, pero también por el servicio que
brindan a las demás ciencias, por sus posibilidades de
aplicación.
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¿Cómo se adquiere dicho conocimiento?
◦ Directa. Mediante la intuición, un conocimiento
creativo y subjetivo: Razonamiento empírico.
◦ Reflexiva. Mediante la lógica, un conocimiento
analítico y reflexivo: Razonamiento deductivo.
Razonamiento empírico
◦ El razonamiento empírico puede describirse como la
formulación de las conclusiones que se basan en la
experiencia y en la observación.
◦ El
razonamiento
empírico
contiene
a
menudo
manipulaciones
pesadas
con
casos
especiales,
observación de coincidencias y el empleo frecuente de la
analogía, la experiencia a una buena suposición, la
experimentación considerable y los destellos de
intuición.*
*Estudio de las Geometrías: Howard Eves
Razonamiento deductivo
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Platón filósofo griego en su obra La
República describe la contraposición entre
la realidad y el conocimiento e incluye
pasajes en los que establece que la
matemática (y todo razonamiento lógico)
necesita apoyarse en presupuestos
previos y en lo que llama el conocimiento
discursivo descendente, de lo que se
presupone a lo que se deduce.
Naturaleza empírica
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El cálculo inicia por
determinar el área de la
base: 4×4 = 16.
Se encuentra el área de la
tapa: 2×2 = 4.
Después se computa el
producto del lado de la
base por el lado de la
tapa: 4×2 = 8. Estos
números se suman y se
obtiene 28.
Ahora se toma un tercio
de la altura, es decir, 2.
Finalmente se toman el
producto de un tercio de
la altura y 28 y el escriba
anota: Miren que da 56.
Naturaleza deductiva
La primera obra
conocida de
naturaleza
deductiva son los
Elementos de
Euclides.
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Para establecer la verdad de proposiciones.
Para comunicar verdades matemáticas.
Para construir técnicas para resolver cierto
tipo de problemas.
Sistematización de resultados.
Descubrimiento
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La intuición es un elemento importante al
demostrar una proposición.
Formular
conjeturas,
elaborar
generalizaciones, plantear hipótesis.
La intuición puede llevarnos a resultados
poco confiables, por tanto, es imprescindible
demostrar
lo
que
la
intuición
nos
proporciona.
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El razonamiento inductivo se basa en la
elaboración de conjeturas e hipótesis que, a
partir de un conjunto de observaciones,
conducen a la generalización de propiedades.
Probar una propiedad requiere de la
deducción que la independiza de la
experiencia y la torna universal.
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El razonamiento deductivo. A partir de un
sistema axiomático, se elaboran cadenas de
argumentos que permiten establecer la
validez de proposiciones matemáticas.
El principio básico consiste en determinar el
valor de verdad de proposiciones del tipo “Si
A entonces B”
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Antes de los griegos.
◦ Las matemáticas conocidas eran tratados sobre
formulas y procedimientos que permitían resolver
problemas, sin necesidad de una demostración.
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La matemática griega.
◦ Es el primer ejemplo de sistematización de las
matemáticas conocidas, así como del uso del
razonamiento deductivo en las demostraciones
matemáticas.
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Dada una proposición de la forma “ Si A
entonces B”, llamamos a A hipótesis y a B
conclusión. Así, la idea de demostrar una
proposición del tipo anterior, consiste en
suponer que A es verdadero, y al construir
una cadena de argumentos, obtener que B es
verdadero.
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Una manera de hacerlo es pensar “de
adelante para atrás”. Es decir, pensemos que
B es verdadero y en las posibles formas
equivalentes (en términos de verdad) de la
proposición B, de forma que resulte más
simple obtener la conclusión.
Otra manera es la de ir “de atrás para
adelante”, suponiendo que A es verdadero,
obtener proposiciones equivalentes a A
encaminadas a probar que B es verdadero.
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Demostrar que:
◦ Si n es un entero par, entonces el cuadrado de n
también es par.
◦ Si n es un entero para el cuál 3n 2  2n  8  0
entonces 2 n 2  3n  2
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Otro método para demostrar proposiciones
matemáticas es utilizando la equivalencia
lógica de la proposición “si A entonces B” con
la de “si no B entonces no A”, conocido como
contrapositiva, y aplicando los métodos
anteriores.
Demuestre que si c es un entero impar,
entonces la solución de n 2  n  c  0
es impar.
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Otro método para demostrar proposiciones
es el de “reducción al absurdo”. En este
método se trata de suponer que A es
verdadero y que no B también es verdadero,
de donde se obtiene una contradicción.
Demuestre que raíz cuadrada de 2 es un
número no racional.
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El método de inducción matemática consiste
en probar que una propiedad es verdadera
para el conjunto de los números naturales,
haciendo uso de lo siguiente: Si A es un
subconjunto de los números naturales que
cumple: 1) el 1 pertenece al conjunto A y 2) si
k esta en A entonces k+1 también esta en A,
entonces A es el conjunto de los números
naturales.
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