TASA DE VARIACIÓN
Dada una función cualquiera f(x), se define su tasa de
variación media en un intervalo [a, b], como:
TVM[a, b] = variación de f(x) = f(b) - f(a)
variación de x
b-a
Consideramos la tasa de variación instantánea de una
función f(x) en a:
f(b) - f(a)
b-a
Si utilizamos h = b – a, la expresión anterior queda:
TVI(a) = lim
b
a
TVI(a) = lim
h
Aplicación de la TVM
Velocidad media:
vm =
0
f(a + h) - f(a)
h
Aplicación de la TVI: velocidad instantánea:
El límite de las sucesivas secantes cuando h tiende a 0 es la
recta tangente a la gráfica de la función en el punto (t = a,
s(t) = f(a))
∆s
espacio recorrido
=
tiempo empleado
∆t
La función del espacio recorrido es dependiente del tiempo:
s(t)
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DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO
La derivada de una función f(x) en el punto de abscisa x = a es el
valor de la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f(x) en el
punto (a, f(a)). Se designa por f’(a):
f'(a) = lim f(a + h) - f(a)
h 0
h
Derivadas laterales
Derivada lateral por la izquierda:
f'-(a) = lim f(a + h) - f(a)
h
h 0Derivada lateral por la derecha:
f'+(a) = lim f(a + h) - f(a)
h
h 0+
Si las derivadas laterales no existen o no coinciden entonces f(x)
no es derivable en el punto a:
Crecimiento y decrecimiento
• Si f’(a) > 0 la función es creciente en el punto (a, f(a))
• Si f’(a) < 0 la función es decreciente en el punto (a, f(a))
En este caso f’+(0) = 1 y f’-(x) = -1, luego f(x) = |x| no es
derivable en x = 0.
Si una función f(x) tiene un extremo relativo (máximo o mínimo)
en x = a y existe f’(a), entonces f’(a) = 0.
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FUNCIÓN DERIVADA
La función derivada de f(x) se define como aquella que hace corresponder a cada valor de a la derivada de f(x) en x = a, es decir, f’(a).
Se representa mediante f’(x).
• Función constante: Si f(x) = k entonces f’(x) = 0
f'(x) = lim
h
f(x + h) - f(x)
k-k
= lim
= lim 0= 0
h
h
0 h
h
0
0
• Función logarítmica:
1. 1
Si f(x) = loga x entonces f’(x) = x ln a
1. 1
1
Si f(x) = ln x entonces f’(x) = x ln e = x
• Función exponencial:
• Función identidad: Si f(x) = x entonces f’(x) = 1
Si f(x) = ax entonces f’(x) = ax · ln a
Si f(x) = ex entonces f’(x) = ex · ln e = ex
f(x + h) - f(x)
x+h-x
h
f'(x) = lim
= lim
= lim
h
h
h
0
h
0
h
0h
• Funciones trigonométricas:
= lim 1 = 1
• Función cuadrática: Si f(x) = x2 entonces f’(x) = 2x
2
f'(x) = lim
h
2
f(x + h) - f(x)
(x + h) - x
= lim
h
h
0
h
0
2
2
2
2
(x + 2xh + h ) - x
2xh + h
= hlim 0
= lim
h
h
h
0
Derivada de algunas operaciones con funciones
• (f(x) + g(x))’ = f’(x) + g’(x)
= lim (2x + h) = 2x
h
Si f(x) = sen x entonces f’(x) = cos x
Si f(x) = cos x entonces f’(x) = -sen x
0
• Función potencial: Si f(x) = xn entonces f’(x) = nxn-1
• (k · f(x))’ = k · f’(x)
• (f(x) · g(x))’ = f’(x) · g(x) + f(x) · g’(x)
• (
f(x)
f ’(x) · g(x) - f(x) · g’(x)
2
)’ =
g(x)
(g(x))
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APLICACIONES DE LA DERIVADA
Ecuación de la recta tangente
Representación de funciones
Si f(x) es derivable en el punto x = a, el valor de la pendiente de
la recta tangente a la función f(x) en a es f’(a):
• Determinar el dominio.
• Estudiar la continuidad.
• Determinar sus ramas infinitas, es decir, sus
asíntotas y su comportamiento en +∞ y en -∞.
• Averiguar los puntos de intersección con los ejes
de coordenadas.
• Determinar sus puntos críticos, es decir, en qué
puntos la tangente es horizontal. Dichos puntos
cumplen f’(x) = 0.
Ecuación punto-pendiente de la recta tangente a f(x) en x = a:
• Averiguar los intervalos de crecimiento y
decrecimiento de la función. Dichos intervalos se
averiguan conociendo el signo de f’(x).
y – f(a) = f’(a) · (x – a)
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