ESTUDIO DE FUNCIONES:
GRÁFICAS
Por Mª Ángeles Pajuelo
INFORMACIÓN
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apartado,aparecerá un botón amarillo de retroceso.
Pulsando dicho botón,volveremos al índice, para así
irnos de nuevo a otro apartado.
DOMiNIO
SIMETRÍA
PERIODICIDAD
PUNTOS DE CORTE CON LOS EJES
CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO: MÁXIMOS Y
MÍNIMOS
CONCAVIDAD Y CONVEXIDAD: PUNTO DE
INFLEXIÓN
ASÍNTOTAS
GRÁFICOS
DOMINIO
Llamamos dominio de definición de una
función, al conjunto de valores que puede
tomar la variable independiente x para que
dicha función tenga sentido.
Ejemplos de dominio
y=x3+2x2-x-1...........D=R
y=senx.................D=R
2
x
y=
........... D =  - 1
x -1
y=
x -1......... D = x ,, x  1
y  ln( x  2)............ D = x ,, x > 2
Simetrías
- Una función y=f(x) es simétrica respecto al eje
de ordenadas, si es par, es decir, si f(x)=f(-x)
- Una función y=f(x) es simétrica respecto al
origen de coordenadas, si es impar, es decir, si
f(x)=-f(-x)
- Menos interés tiene la simetría respecto al eje
de abscisas, pues las correspondencias que
presentan esta simetría no son funciones (por
abuso del lenguaje, a veces, se les sigue
llamando funciones.). Esta simetría se presenta
cuando f(x)=-f(x).
Ejemplos de simetrías
1) y=x2+3 es par pues f(x)=f(-x), y por tanto es simétrica
respecto al eje de ordenadas
2) y=cos(x) es par pues f(x)=f(-x), y por tanto es simétrica
respecto al eje de ordenadas
3) y=x3-x es impar pues f(x)=-f(-x), y por tanto es simétrica
respecto al origen de coordenadas
4) y2=x(no es una función) presenta simetría respecto al
eje de abscisas
5) y=x2+x no presenta ninguna de las simetrías estudiadas,
ya que f(-x)=(-x)2+(-x)=x2_x
Periodicidad
Una función y=f(x) decimos que es periódica y de
periodo p, cuando se verifica que :
f(x)=f(x+p).
Si p es periodo, también lo es np, siendo n cualquier nº entero, ya que:
f(x)=f(x+p)=f[(x+p)+p]=f(x+2p)=f[(x+2p)+p]=.....
....=f(x+np)
De todos los periodos que pueda tener una función,
al menor de todos los positivos se le llama periodo
principal.
La gráfica de una función periódica, se repite en
cada periodo.
Ejemplos de periodicidad
1) y=senx es periódica de periodo 2
senx = sen(x+2)
2) y=tgx es periódica de periodo 
tgx=tg(x+ )
3) y=x - E(x) es periódica de periodo 1.
Puntos de corte con los ejes
Para hallar los puntos de corte con el eje de abcisas,
se resuelve el sistema formado por la ecuación de la
función y la recta y=0 (eje de abcisas).
Para hallar los puntos de corte con el eje de
ordenadas, se resuelve el sistema formado por la
ecuación de la función y la recta x=0 (eje de
ordenadas)
Crecimiento
-Una función f(x) diremos que es creciente en un
intervalo (a,b), cuando tomados dos puntos c y d
de ese intervalo, si c<d  f(c) f(d)
-Una función f(x) diremos que es estrictamente
creciente en un intervalo (a,b), cuando tomados
dos puntos cualesquiera c y d de ese intervalo,si
c<d  f(c)<f(d)
-Una función f(x) diremos que es creciente (o
estrictamente creciente) en un punto, cuando
existe un entorno de dicho punto donde la función
es creciente (o estrictamente creciente).
Decrecimiento
-Una función f(x) diremos que es decreciente en
un intervalo (a,b), cuando tomados dos puntos c y
d de ese intervalo, si c<d  f(c)f(d)
-Una función f(x) diremos que es estrictamente
decreciente en un intervalo (a,b), cuando tomados
dos puntos cualesquiera c y d de ese intervalo,si
c<d  f(c)>f(d)
-Una función f(x) diremos que es decreciente (o
estrictamente decreciente) en un punto, cuando
existe un entorno de dicho punto donde la función
es decreciente (o estrictamente decreciente).
Criterio de crecimiento y decrecimiento
Sea y=f(x)
-f es estrict. creciente en a  f ‘(a)>0
-f es estrict. decreciente en a  f ‘(a)<0
(demostraremos solo la implicación hacia la izquierda
del primer apartado pues las demás se harían de igual
forma):
demostración:
f(x) - f(a)
f(x) - f(a)
lím

0


E(a),
0 
Si f ‘(a)>0
x a
x -a
x-a
si x  a  f(x)  f(a) 

  f es estrict. creciente en a
si x  a  f(x)  f(a) 
Máximos y mínimos relativos. Extremos
-f posee en a un máximo relativo  x  E(a), f(x)  f(a)
-f posee en a un mínimo relativo  x  E(a), f(x)  f(a)
A los máximos y mínimos relativos, se les llama
extremos
También podemos dar las siguientes definiciones:
- f posee en a un máximo relativo, cuando existe un
entorno de a tal que a la izquierda de a la función es
creciente y a la derecha de a la función es decreciente.
- f posee en a un mínimo relativo, cuando existe un
entorno de a tal que a la izquierda de a la función es
decreciente y a la derecha de a la función es creciente.
Por tanto la C.N. Para que f posea en a un extremo es
que f ‘(a)=0 , pues si fuera < o >, sería crec. o decrec.
Criterio de la 2ª derivada para máximos y mínimo
Sea y=f(x) tal que f ‘(a)=0
- f posee en a un máximo relativo  f ``(a)<0
- f posee en a un mínimo relativo  f ``(a)>0
(Estas demostraciones se dejan para el alumno)
Intervalos de crecimiento y decrecimiento. Máx y Mín.
Veámoslo mediante algún ejemplo:
Hallar los intervalos de crec. y decrec, así como los
extremos de la función f(x)=x3- 3x2
Resolución:
Puntos que anulan a f ‘(x): f ‘(x)=3x2-6x,, 3x2-6x=0,,
x=0 y x=2
Estos 2 puntos hallados dividen al dominio de f en:
Veamos otro ejemplo de crec. y decrec.
Estudiar la monotonía y extremos de la función:
x
y 2
x 1
Resolución:
y ‘ =(-x2-1)/(x2-1)2
Observemos que no existe ningún valor de x que
anule a y ‘, por lo que deducimos que no existe
máximo ni mínimo.
Además, y ‘ es siempre negativa, por lo que la
función es siempre decreciente.
Concavidad y convexidad: P.I.
•Una función decimos que es cóncava en un punto
x0, cuando la gráfica de la función queda por encima
de la recta tangente a la curva en dicho punto.
•Una función decimos que es convexa en un punto
x0, cuando la gráfica de la función queda por debajo
de la recta tangente a la curva en dicho punto.
•El punto de la
gráfica donde la
función pasa de
cóncava a convexa
(o viceversa), se
llama punto de
inflexión
Aquí tenemos un ejemplo :
Criterio de concavidad y convexidad
Si f posee en x0 un punto de inflexión, entonces
f’’(x0)=0
Si f’’(x0)<0, entonces f es convexa en x0
Si f’’(x0)>0, entonces f es cóncava en x0
Intervalos de conc. y conv.; P.I.
Veamoslo con un ejemplo:
Halla los intervalos de concavidad, convexidad y
punto de inflexión de la función f(x)=x3-3x
Calculemos los puntos que anulan a la 2ª derivada,pues
estos puntos serán los posibles puntos de inflexión, y
además, dividen al dominio de la función (que en este
caso es todo R) en intervalos:
f`(x)=3x2-3 
f´´(x)=6x 
6x=0 
x=0
(-,0)
signo de f´´
f es
convex
x=0
P.I
(0,0)
(0,)
+
cóncav
Asíntotas
Una recta r diremos que es una asíntota de la gráfica de la
función y=f(x), cuando la distancia entre un punto de la curva
y la recta tiende a cero, a medida que dicho punto recorre
una rama infinita, es decir, a medida que dicho punto se aleje indefinidamente del origen de coordenadas.
Para que una función posea una rama infinita, se debe
verificar uno de los siguientes casos.
lím x a f(x)   ó lím x  f(x)  b ó lím x  f(x)  
Existen tres tipos de asíntotas: verticales, horizontales y
oblicuas.
•Asíntota vertical:
Existe, cuando se verifica que
límxaf(x)=
y la asíntota es x=a
•Asíntota horizontal:
Existe, cuando se verifica que
límxf(x)=b
y la asíntota es y=b
•Asíntota oblicua:
Si existe, será de la forma y=mx+b, donde
m=límx f(x)
x
n=límx{f(x)-mx}
Veamos unos ejemplos de asíntotas:
x2 1
Calcula las asíntotas de la función: y=
x
•límx0f(x)=x=0 es una asíntota vertical
•límxf(x)= no existe asíntota horizontal
•Si hay asíntota oblicua será de la forma y=mx+n
x2 1
2
x
1
x  lím
m=límx
1
x 
2
x
x
y=x A.O.
x2 1 
1

 x  lím x   0
n=límx 

x
 x
2x
Calcula las asíntotas de la función f(x)= 2
x 1
•límx1f(x)=
y
límx-1f(x)=
En este caso, existen dos asíntotas verticales:
x=1
y
x=-1
•límxf(x)=0  y=0 es una asíntota horizontal
•No existe asíntota oblicua ya que límx{f(x)/x}=0
ESTUDIO DE UNA FUNCIÓN. GRÁFICAS
Veamos unos ejemplos de gráficas
Haremos primeramente un estudio de la función, y en la diapositiva
siguiente veremos su gráfica.
Observemos como el estudio realizado, coincide con la gráfica
Estudia y representa gráficamente la función
y = x4- 3x2- 1
•Dominio: R
•Simetría:
f(-x)=(-x)4-3(-x)2-1=x4-3x2-1=f(x)f es par
luego la función es simétrica respecto a OY
•Corte con los ejes: x=0y=-1
y=0x4-3x2-1=0 x 2  3  9  4  x  3  13  1,8173
2
2
Los puntos de corte con los ejes son.
(0,-1) y (1,8173,0)
•Periodicidad: no es periódica por ser polinómica
•Intervalos de crec y decr. Máximos y mínimos:
3
3
3
3
2
y xf´(x)=4x -6x; 4x -6x=0x(4x -6)=0x=0 , x  
2
2
3
3
3
3
3
3
(-,- ) x  (- ,0) x  0 (0, ) x 
( , )
2
2
2
2
2
2
sig f´
m
+
M
m
+
f es
•Intervalos de concavidad, convexidad. Puntos de inflexión:
f´´(x)=12x2-6; 12x2-6=0x=2 /2 y x=-2 /2
2
2
2 2
2 2
(,- ) x  (- , ) x 
( , )
2
2
2 2
2 2
Sig f´´
+
PI.
P.I.
+
f es
cóncav
convx
cóncav
•Asíntotas : no tiene por ser f polinómica
Pasemos a la representación gráfica de
Otro ejemplo
Aquí tienes la
gráfica de la función
derivada de una
cierta función f. Di
todo lo que puedas
de la función f
Supongamos que f´corta al eje de abscisas en los puntos
-1,2 y 1,2. Supongamos además que el máximo y el mínimo
lo alcanza f´en -0,7 y 0,7.
Como f´es negativo en (-, -1,2) y en (0, 1.2), resulta que en
esos dos intervalos, f es decreciente.
Como f´es positiva en (-1.2, 0) y en (1.2, ), resulta que en
esos dos intervalos, f es creciente.
Como en -1.2 y en 1.2, f pasa de ser decreciente a creciente
resulta que en esos dos puntos f alcanza un mínimo
Como en 0, f´(0)=0, y f pasa de ser creciente a decreciente,
en 0 f posee un Máximo.
Además, f´´(-0.7)=0 y f´´(0.7)=0 , y en 0.7 y en -0.7 hay
un cambio de concavidad, resulta que f posee en esos
puntos un punto de inflexión.
Estudia y representa gráficamente la función:
x2
f(x) 
x -1
•Dominio: R-{1}
•Simetrías: f(-x)=(-x)2/(-x-1)=x2/(-x-1) ; -f(-x)=x2/(x+1)
La función no es par ni impar y por tanto no presenta
simetrías respecto a OY ni respecto a (0,0)
•Periodicidad: f no es periódica, pues no existe p tal que
f(x)=f(x+p)
•Corte con los ejes: (0,0)
•Crec. y decrec. Máximos y mínimos:
2 x( x  1)  x 2 x 2  2 x

f´(x)=
; f´(x)=0x2-2x=0x=0 y x=2
2
2
( x  1)
( x  1)
(-,0) x=0 (0,1) (1,2) x=2 (2,)
signo f´
+
+
f es
•Concavidad, convexidad y punto de inflexión:
(2 x  2).( x  1) 2  ( x 2  2 x ).2.( x  1) (2 x  2).( x  1)  ( x 2  2 x ).2
2
f´´(x)=


( x  1) 4
( x  1) 3
( x  1) 3
Vemos que no hay ningún punto que anule a f´´.
Pero observando f´´ llegamos a que:
si x<1 f´´<0  f es convexa en (-,1)
si x>1 f´´>0  f es cóncava en (1,)
f(x)    no existe A.H.
•Asíntotas: xlím

lím
x 1
f(x)    x  1 es A.V.
x2
A.O. : m  lím x  2
1
x x
x2
x2  x2  x
n  lím x  (
 x )  lím x  (
) 1
x 1
x 1
Por tanto, la asíntota oblicua es y=x+1
•Veamos entonces la representación gráfica de la función:
Estudia y representa gráficamente la función
x 1
f(x) 
x -1
•Dominio: R-{1}
•Simetrías: f(-x)=(-x+1)/(-x-1) =(x-1)/(x+1)
-f(-x)=(-x+1)/(x+1)
no existe simetrías respecto a OY ni a (0,0)
•Periodicidad: no tiene
•Cortes con ejes: (0,-1), (-1,0)
•Crec y decr. Máximos y mínimos. Conc y convx. P.I.
(x - 1) - (x  1)
2
f´(x) 

2
(x - 1)
( x  1) 2
2.2.(x - 1)
4
f´´(x) 

(x - 1) 4
( x  1) 3
Observemos que no existe ningún valor que anule a f´,
por lo que no existe máximo ni mínimo.
Además, como f´ es siempre negativa, esto nos indica
que f es siempre decreciente en todo su dominio.
Observemos también que no existe ningún valor que
anule a f´´. Esto nos indica que no existe punto de inflexión
Pero f´´<0 para x<1 f es convexa en (-,1)
y f´´>0 para x>1 f es cóncava en (1,)
•Asíntotas: límx 1f(x)= , x=1 es asíntota vertical
límx f(x)=1 , y=2 es asíntota horizontal
No existe asíntota oblicua
•Representación gráfica:
Estudia y representa gráficamente la función
x3
f(x)  2
x 1
•D=R-{1,-1}
•Simetría: f(-x)=-x3/(x2-1). f es impar y por tanto es
simétrica respecto del origen de coordenadas
•Cortes con los ejes: (0,0)
•Crec y decr. Máx y mín.
f´(x)=[3x2(x2-1)-x3.2x}/(x2-1)2= (x4-3x2)/(x2-1)2
f´(x)=0x4-3x2=0x=0, x=-3, x=+3
(-,- 3) x  - 3 (- 3,1) (-1,0) x  0 (0,1) (1, 3) x  3 ( 3, )
´f´
f
+
M
Máximo (-3,-33/2)
-
-
-
mínimo (3,33/2)
-
mín
+
•Concavidad, convexidad y punto de inflexión
(4x 3  6 x ).( x 2  1) 2  ( x 4  3x 2 ).2.( x 2  1).2 x
f´´(x) 

4
( x  1)
(4x 3  6 x ).( x 2  1)  ( x 4  3x 2 ).2 x
12 x 3
 2
3
( x  1)
( x  1) 2
f´´(x)=0 12x2=0 x=0
(-,-1) (-1,0) x=0 (0,1) (1,)
signo f´´
+
P:I. +
f es
conv
cónc (0,0) conv cónc
•Asíntotas: x=1 y x=-1 son asíntotas verticales
No tiene asíntotas horizontales.
m=límxf(x)/x =1 y=x es la asíntota oblicua
n=límx{f(x)-x}=0
•Representación gráfica:
Construcción de funciones a partir de otras conocidas
•Funciones opuestas:las funciones opuestas son simétricas
respecto del eje de ordenadas. Conocida una de ellas
la otra se construye por simetría.
•Funciones valor absoluto
Observemos que la función valor absoluto tiene la misma
parte positiva que f, y la opuesta de la negativa de f, que se
construye por simetría respecto del eje de ordenadas.
Para construir la función valor absoluto, debemos construir
la función sin valor absoluto
•Funciones recíprocas
Las funciones recíprocas son simétricas respecto de la
bisectriz del primer cuadrante. Conocida una de ellas, se
construye la otra por simetría.
•Funciones trasladadas
La traslación de funciones da lugar a otras muchas que
pueden obtenerse fácilmente a partir de la primera.
En el esquema de la siguiente diapositiva, se muestran
las principales traslaciones.
Observemos quien es el vector traslación y la función
resultante. Hemos de llegar a la conclusión:
función original vector traslación función trasladada
f(x)
(a,b)
f(x-a)+b
Todas las funciones del esquema se obtienen a partir de
la función f(x)=x2
FIN

Espero que hayas
aprendido el estudio
de una función y su
representación
gráfica.
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