VECTORES EN EL ESPACIO
Algebra lineal (Ing.Sist.)
Cálculo IV(G,B)
Semestre 99-00 B
Vectores en el espacio
Eje Z
O
Eje Y
Eje X
Sistema de coordenadas de la mano derecha
Vectores en el espacio
Dado un vector u se le asocia el punto P(a,b,c) así:
Eje Z
c
u
a
Eje X
b
Eje Y
u=(a,b,c) son las coordenadas
del punto P y del vector u
Vectores en el espacio
Dado (a,b,c)3 se le asocia el vector u así:
Eje Z
u=(a,b,c)
c
u
a
Eje X
b
Eje Y
Vectores en el espacio
Punto P
Vector u=OP
en el espacio
desde el origen hasta P
(a,b,c)3
Esta correspondencia se llama:
Sistema de coordenadas rectangulares
Vectores en el espacio
Plano XY={(x,y,z)3/ z=0}
Eje Z
O
Eje X
Eje Y
Vectores en el espacio
Eje Z
Plano XZ=
{(x,y,z)3/ y=0}
O
Eje X
Eje Y
Vectores en el espacio
Plano YZ={(x,y,z)3/ x=0}
Eje Z
O
Eje X
Eje Y
Vectores en el espacio
Sean u=(u1,u2,u3) y v=(v1,v2,v3)
vectores en el espacio y  un número
real. Se define el vector:
suma u+v como
u+v= (u1+ v1, u2+ v2, u3+v3)
producto por un escalar  u como
 u=(au1, au2, au3).
Vectores en el espacio
La magnitud o norma
de un
vector u=(u1,u2,u3) es su longitud,
es decir, de acuerdo al teorema de
Pitágoras.
u 
2
u1
2
 u2
2
 u3
Un vector de norma 1 se llama
vector unitario
Vectores en el espacio
Ejemplo Nº1
a) Encuentre el vector de norma 4
en la dirección del vector (2,-2,-1)
b) Encuentre el vector unitario
que forma un ángulo de /4 con
el eje X
Vectores en el espacio
Solución Nº1
a)
u 
4  4 1  3
por lo tanto
4
u
u 
4
3
(2,-2,-1) es el vector buscado
Vectores en el espacio
b) Hay infinitos vectores de norma 1, que
forman un ángulo de /4 con el eje X.
Eje Z
Eje X
Eje Y
Vectores en el espacio
Por lo tanto en 3 se define una
dirección como un vector unitario.
Eje Z
u



Eje Y
u=(a,b,c) unitario
a= cos 
b= cos 
c= cos 
cos2+cos2+cos2 =1
, ,  son los ángulos directores
Vectores en el espacio
Producto escalar
Se define el producto interior o
producto escalar de dos vectores
u=(u1,u2,u3) y v=(v1,v2,v3) como:
u.v=u1v1+u2v2+u3v3

Se define el ángulo entre
dos vectores u y v como
el ángulo no negativo mas
pequeño  entre u y v.
Vectores en el espacio
Producto escalar
Eje Z
Eje Y
Dos vectores son
paralelos
si
el
ángulo entre ellos
es 0 o .
Eje X
Dos vectores son ortogonales si
forman un ángulo de /2
Vectores en el espacio
Teorema:
Sean u y v vectores no nulos y  el ángulo
entre ellos, entonces u.v  u v cos 
Interpretación
geométrica:
u

u.v
ucos
Proyvu=
v
2
v
v
Vectores en el espacio
Teorema:
Sea v un vector no nulo, entonces para
cualquier vector u se tiene que
w= u  v
u.v
v
2
v es un vector ortogonal a v
u
w=u-proyvu

Proyvu
v
Vectores en el espacio
Prueba del Teorema:



u
.
v


 u.v
w.v= u 
v .v  u.v  

2


 v 2
v





2
 u.v 
v
0
w.v= u.v  
2 
 v 


Por lo tanto wv


v.v


Vectores en el espacio
Ejercicio Nº2
a) Calcule la proyección de u=(2,3,-1)
sobre v=(2,-1,3).
b)
Sean
u=(1,0,0),
v=(0,1,1)
y
w=(3,0,0). Encuentre el ángulo entre u
y v, u y w, v y w.
c) Encuentre todos los vectores
ortogonales a (1,-1,2) y (0,1,-2)
Vectores en el espacio
Producto vectorial
El producto vectorial o producto cruz fue
definido por Hamilton (1848) y solo está
definido para 3.
Es un producto de vectores en 3 cuyo resultado
es un vector perpendicular a ambos factores, de
manera que se mantenga el sistema derecho
Primero se define en los vectores canónicos
i=(1,0,0), j=(0,1,0), k=(0,0,1)
Vectores en el espacio
Producto vectorial
ixi=0
jxj=0
kxk=0
u= ai+bj+ck
ixj=k
ixk=-j
jxi=-k
jxk=i
kxi=j
kxj=-i
v= xi+yj+zk
(bz-cy)i- (az-cx)j +(ay-bx)k
uxv
Vectores en el espacio
Producto vectorial
Una regla nemotécnica para recordar la
definición de producto vectorial es escribir
uxv como el “determinante”:
i
j
k
uxv= u1
u2
u3
v1
v2
v3
y calcular el mismo por cofactores de la
primera fila
Vectores en el espacio
Producto vectorial
Teorema:
Si  es el ángulo entre los vectores u y
v, entonces
uxv  u v sen 
Prueba:
uxv
2
 u
2
v
2
2
 (u.v)
Vectores en el espacio
Producto vectorial
Teorema: Sean u,v,w vectores en 3 y  un
número real, entonces:
 ux0 = 0xu = 0
 uxv = - vxu (propiedad anticonmutativa)
 (u)xv = (uxv) = ux( v)
 ux(v+w) = uxv + uxw (propiedad distributiva)
 u.(uxv) = v.(uxv) = 0, es decir , uuxv, vuxv
 uxv = 0 si y solo si u||v.
 (uxv).w = u.(vxw) (producto triple)
Prueba: Use MATLAB
Vectores en el espacio
Interpretación geométrica del producto cruz
Eje Z
u
Eje X
usen 

v
Area= v usen 
uxv
Eje Y
Area del paralelogramo generado
por los vectores u y v = uxv
Vectores en el espacio
Interpretación geométrica del producto cruz
Eje Z
Area de la base
uxv
w
v
Eje X
u
Volumen
|uxv|Proyuxvw
Eje Y
Volumen del paralelepípedo generado por
los vectores u, v y w= |w.(uxv)|
Vectores en el espacio
Solución Nº2
Proyvu=
Proyvu=
u.v
v
2
v
(2,3,1).(2,1,3)
4  1 9
(2,1,3) 
2
14
(2,1,3)
2 1 3
, ,


 7 7 7 
u.v=0, v.w=0, de donde uv y v  w
(forman un ángulo de /2).
u.w=3, u  1 w  3 , por lo tanto u.w= u w
de donde uw y el ángulo que forman es cero
ya que tienen la misma dirección
Vectores en el espacio
Solución Nº2
u=(a,b,c) es ortogonal a (1,-1,2) y (0,1,-2) si
a-b+2c=0
y
b-2c=0
Sistema homogéneo cuya matriz asociada es
2 R1R1R2  1 0
0
 1 1

   

0
1

2
0
1

2




Solución: a=0; b=2t; c=t , t, es decir, todos
los vectores de la forma (0,2t,t).
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Vectores en el Espacio