Álgebra Lineal – Escuela Superior de Ingeniería de Bilbao – UPV/EHU
Valores y vectores propios.
Diagonalización por semejanza.
• Introducción
• Valores y vectores propios:
–
–
–
–
Definición
Cálculo y propiedades
Caso particular: valores y vectores propios de matrices simétricas reales
Aplicaciones
• Diagonalización de matrices:
– Planteamiento y resolución del problema
– Caso particular: diagonalización de matrices simétricas reales.
– Aplicaciones
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Valores y vectores propios.
Diagonalización por
semejanza.
• Introducción
Los valores y vectores propios están presentes en gran parte de
nuestra vida
• Valores y vectores propios:
– Definición
– Cálculo y propiedades
– Caso particular: matrices
simétricas reales
– Aplicaciones
• Diagonalización de matrices:
– Planteamiento y resolución
– Caso particular: matrices
simétricas reales.
– Aplicaciones
Pueden buscarse por sus efectos beneficiosos o perjudiciales.
Su cálculo es complicado salvo en sistemas simples o especiales.
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Valores y vectores propios.
Diagonalización por
semejanza.
Sea A  Mnxn (K)
• Introducción
• Valores y vectores propios:
– Definición
– Cálculo y propiedades
– Caso particular: matrices
simétricas reales
– Aplicaciones
  K es autovalor de A   x ≠ 0  Kn / A x =  x
x  Kn es autovector de A    K / A x =  x
• Diagonalización de matrices:
– Planteamiento y resolución
– Caso particular: matrices
simétricas reales.
– Aplicaciones
Ejemplo:
1
A  
2
2

1
1
x    es un autovector de A asociado a  = 3, ya que
1
1

2
2  1  3 
1
      3 
1  1  3 
1
Cualquier otro vector αx también será autovector de A asociado a  = 3
Dem
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Diagonalización por
semejanza.
Anxn representa una aplicación lineal f: Rn → Rn
• Introducción
• Valores y vectores propios:
– Definición
– Cálculo y propiedades
– Caso particular: matrices
simétricas reales
– Aplicaciones
Obtener los valores propios de A es equivalente a obtener los valores
propios de f
• Diagonalización de matrices:
– Planteamiento y resolución
– Caso particular: matrices
simétricas reales.
– Aplicaciones
Ejemplo: simetría respecto al eje OX
Los vectores del eje OY
son vectores propios
asociados a  = -1, ya que
f(z) = -1· z
x
z

y
f(y)
Los vectores del eje OX
son vectores propios
asociados a  = 1, ya que
f(y) = 1· y
f(z)
f(x)
Utilizando la matriz A2x2 que representa esta simetría se obtiene el mismo resultado
Ver
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Valores y vectores propios.
Diagonalización por
semejanza.
• Introducción
• Valores y vectores propios:
– Definición
– Cálculo y propiedades
– Caso particular: matrices
simétricas reales
– Aplicaciones
• Diagonalización de matrices:
– Planteamiento y resolución
– Caso particular: matrices
simétricas reales.
– Aplicaciones
Los valores propios nos dan la llave para entender cómo funciona
un operador.
 >0 alarga o encoje cualquier vector propio x asociado a 
y también cualquier combinación lineal de vectores propios
asociados a 
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Diagonalización por
semejanza.
• Introducción
• Valores y vectores propios:
Ax   x
 (A   I )x  0
sol  trivial

A  I  0
– Definición
– Cálculo y propiedades
– Caso particular: matrices
simétricas reales
– Aplicaciones
Ecuación
característica:
pA()=0
Polinomio característico: pA()
(polinomio de grado n en )
• Diagonalización de matrices:
– Planteamiento y resolución
– Caso particular: matrices
simétricas reales.
– Aplicaciones
Primero se obtienen los valores propios: i
Después, para cada valor propio i obtenido, se calcula el subespacio propio:
V(i) = {xKn / (A-iI) x = 0}
 K es autovalor de AMnxn(K)  es solución de la ecuación característica
Si K= C A posee exactamente
n autovalores
Si K= R A posee a lo sumo
n autovalores
 Valores propios: ejemplos de cálculo
Ejs. 1, 2 y 3
 Vectores propios: ejemplos de cálculo
Ej. 1
Ej. 2
Ej. 3
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Diagonalización por
semejanza.
Los autovalores pueden ser repetidos o no.
• Introducción
• Valores y vectores propios:
– Definición
– Cálculo y propiedades
– Caso particular: matrices
simétricas reales
– Aplicaciones
• Diagonalización de matrices:
– Planteamiento y resolución
– Caso particular: matrices
simétricas reales.
– Aplicaciones

Se llama multiplicidad algebraica, mi, de un autovalor i, a la multiplicidad
de i como raíz de la ecuación característica.

Se llama multiplicidad geométrica, μi, de un autovalor i, a la dimensión del
subespacio propio asociado a él: dim V(i)
1   i  mi
Ejemplos:
Ej. 1
Ej. 2
Ej. 3
Ej. 4
Ej. 5
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Diagonalización por
semejanza.
Valores propios: propiedades
• Introducción
• Valores y vectores propios:
– Definición
– Cálculo y propiedades
– Caso particular: matrices
simétricas reales
– Aplicaciones

Tr (A) = 1 +2 +3 + … + n

|A|= 1· 2 · 3 · … · n
Ejs.
• Diagonalización de matrices:
– Planteamiento y resolución
– Caso particular: matrices
simétricas reales.
– Aplicaciones
Vectores propios: propiedades

Un autovector de una matriz cuadrada está asociado a un
único autovalor

Autovectores asociados a autovalores distintos son
linealmente independientes

Matrices semejantes tienen el mismo polinomio
característico y, por lo tanto, los mismos autovalores.
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Valores y vectores propios.
Diagonalización por
semejanza.
Sea A  M nxn (R) simétrica; entonces:
• Introducción
• Valores y vectores propios:
– Definición
– Cálculo y propiedades
– Caso particular: matrices
simétricas reales
– Aplicaciones
• Diagonalización de matrices:
– Planteamiento y resolución
– Caso particular: matrices
simétricas reales.
– Aplicaciones
 A tiene n autovalores
 Autovectores asociados a autovalores distintos son
ortogonales
Ej.
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Diagonalización por
semejanza.
Aplicaciones:
• Introducción
• Valores y vectores propios:
– Definición
– Cálculo y propiedades
– Caso particular: matrices
simétricas reales
– Aplicaciones
• Diagonalización de matrices:
– Planteamiento y resolución
– Caso particular: matrices
simétricas reales.
– Aplicaciones
 Resolución de ecuaciones diferenciales (evolución de sistemas continuos)
Pero las ecs. diferenciales no son algo puramente matemático. Surgen en
todos los campos de las Ciencias:
• Vibraciones (libres y forzadas)
• Estructuras (cargas críticas)
• Problemas de mezclas
• Problemas de crecimiento y competición de poblaciones
• Transmisión de fotografías
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Valores y vectores propios.
Diagonalización por
semejanza.
Diagonalización por semejanza:
• Introducción
• Valores y vectores propios:
A M nxn (K) es diagonalizable   D diagonal semejante a A
– Definición
– Cálculo y propiedades
– Caso particular: matrices
simétricas reales
– Aplicaciones
• Diagonalización de matrices:
– Planteamiento y resolución
– Caso particular: matrices
simétricas reales.
– Aplicaciones
 P regular / D = P-1 ·A· P
siendo D diagonal
O considerando el endomorfismo representado por A:
un endomorfismo es diagonalizable   una base en la que la matriz del
endomorfismo es diagonal
f
E
Algunas ventajas y aplicaciones.
E
B
A
B
B’
D
B’
Si A es diagonalizable  A = P ·D· P-1
Cálculo de potencias:
AK = ( P ·D· P-1)K = (P ·D· P-1) · (P ·D· P-1)· … · (P ·D· P-1) = P ·DK· P-
1
Cálculo de la inversa:
A-1 = ( P ·D· P-1)-1 = (P ·D· P-1)-1 = P ·D-1· P
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Diagonalización por
semejanza.
• Introducción
• Valores y vectores propios:
– Definición
– Cálculo y propiedades
– Caso particular: matrices
simétricas reales
– Aplicaciones
• Diagonalización de matrices:
– Planteamiento y resolución
– Caso particular: matrices
simétricas reales.
– Aplicaciones
Diagonalización:
 Condición necesaria:
Si A es diagonalizable  A tiene n valores propios
 Condición necesaria y suficiente:
A es diagonalizable  tiene n vectores propios lin. independientes
 Condición suficiente:
Si A tiene n valores propios distintos  A es diagonalizable
Si A es diagonalizable 
Valores propios de A
v1
 1

0

D  0


0

0
0
0
2
0
0
0
3
0
0
0
0
0 

0

0 


 n 
v2
v3



P  




D es única, salvo permutaciones de los valores propios
n vectores propios de A l.i
vn








P no es única
¡No todas las matrices son
diagonalizables!
Las matrices no
diagonalizables se dice que
son defectivas
Ejemplos: Ej.1 Ej.2 Ej.4 Ej.5
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Diagonalización por
semejanza.
• Introducción
Caso particular: diagonalización de matrices simétricas reales por
semejanza ortogonal
• Valores y vectores propios:
– Definición
– Cálculo y propiedades
– Caso particular: matrices
simétricas reales
– Aplicaciones
• Diagonalización de matrices:
– Planteamiento y resolución
– Caso particular: matrices
simétricas reales.
– Aplicaciones
A M nxn (R) es diagonalizable ortogonalmente
 es semejante a una matriz diagonal por medio de una matriz ortogonal
  P ortogonal (P-1 = PT) / D = P-1 ·A· P = PT ·A· P
A M nxn (R) es simétrica  es diagonalizable ortogonalmente
Ej.
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Diagonalización por
semejanza.
• Introducción
Aplicaciones:

Ecuaciones en diferencias (evolución de sistemas discretos)

Diagonalización de formas cuadráticas

Desacoplar sistemas de ecuaciones
• Valores y vectores propios:
– Definición
– Cálculo y propiedades
– Caso particular: matrices
simétricas reales
– Aplicaciones
• Diagonalización de matrices:
– Planteamiento y resolución
– Caso particular: matrices
simétricas reales.
– Aplicaciones
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x
z

y
f(y)
f(z)
f(x)
La matriz que representa esta simetría en la base canónica es:
1

0
1

0
0  1 1
1



1

    
 
1   0   0 
0
0   0  0
 0 




1

    
 
1  1  1 
 1
1
A
0
0 

1
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pA() = 0
Cálculo de valores propios: ejemplos
Ej. 1
A2 x 2
1

2
2

1
; p ( )  A   I 
A
1 
2
2
1 
   2  3
2
;
1 = -1
p A ( )  0
2 = 3
2 valores propios
Ej. 2
A3 x 3
 1

 1

 2

0
2
0
2

4 ;

1 
p A ( )  A   I 
1 
0
2
1
2
4
2
0
1 
1 = -1
2 = 2
3 = 3
3
2
    4   11  24 ; p A (  )  0
3 valores propios
Ej. 3
A3 x 3
 1

 0

 1

0
4
0
1
1 

0 ; p A ( )  A   I  0

1
2 
0
4
0
1
0     7   15   12 ; p A (  )  0
3
2
1 = 4
2 
3
3 
3
2
2
2
3

i
2
3

2
Si A(C) → tres valores propios
¡Si A(R) → un único valor propio!
i
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(A   I )x  0
Cálculo de vectores propios: Ej. 1
A2 x 2
1 = -1
1

2
2

1
;
p A ( )  0
2 = 3
V(-1)={xK2 / A·x = -1·x } ={xK2 / (A+1·I)·x = 0}
2

2
2   x1   0 
     
2   x2   0 
x  V (  1)  x   x1
2 = 3
1 = -1
 2 x1  2 x 2  0
 
 2 x1  2 x 2  0
 x1 
T

Resolviendo: x 2   x1 
BV (  1) 
 1
 1
T

Obsérvese que
dim V(-1) = dim K2 - nº ecs. l.i=
=2-1=1
rg (A+1·I)
V(3)={xK2 / A·x = 3·x } ={xK2 / (A-3·I)·x = 0}
 2

 2
2   x1   0 
     
 2   x2   0 
x  V (3)  x   x1
  2 x1  2 x 2  0
 
 2 x1  2 x 2  0
x1 
T

BV ( 3 ) 
 1
Resolviendo:
1
T

x 2  x1

Obsérvese que
dim V(3) = dim K2 - nº ecs. l.i=
=2-1=1
rg (A-3·I)
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(A   I )x  0
Cálculo de vectores propios: Ej. 2
A3 x 3
1 = -1
 1

 1

 2

0
2
0
2

4

1 
;
1 = -1
2 = 2
3 = 3
p A ( )  0
V(-1)={xK3 / A·x = -1·x } ={xK3 / (A+1·I)·x =
0}
 2

1

 2

0
3
0
2   x1
 
4  x2
 
2   x 3

x  V (  1)  x   x1

2 x3  0
 2 x1 

   x1  3 x 2  4 x 3  0
2 x 
2 x3  0
 1
 0
  
 0
  
 0
  
5
3
x1

 x1 

T

BV (  1)




1

Resolviendo:

1

5
3
T
 x 3   x1


5
x

x1
 2
3


 dim V(-1) = dim K3 - nº ecs. l.i=

 = 3 - 2 = 1
rg (A+1·I)
2 = 2
V(2)={xK3 / A·x = 2·x } ={xK3 / (A-2·I)·x = 0}
x  V (2)  x   0
3 = 3
x2
0
T

BV ( 2 ) 
 0
1
Resolviendo:
0
T
x  V (3)  x   x1
3 x1
x1 

BV ( 3 ) 
 1
3
dim V(-1) = dim K3 - nº ecs. l.i=
= 3 -2 = 1
Resolviendo:
V(3)={xK3 / A·x = 3·x } ={xK3 / (A-3·I)·x = 0}
T

1
T

rg (A+2·I)
dim V(-1) = dim K3 - nº ecs. l.i=
= 3 -2 = 1
rg (A-3·I)
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(A   I )x  0
Cálculo de vectores propios: Ej. 3
A3 x 3
1 = 4
2 
3

2
3
 1

 0

 1

0
4
0
1

0

2 
p A ( )  0
;
i
2
2

3
2
3
3 
3

2
3
i
2

2
3
i
x  V (4)  x   0
2
BV ( 4 ) 
 1
3
i
 
2
2


0



1


i
 0
0
1
0
x2
T
T

V(2)={xK3 / A·x = 2 ·x } ={xK3 / (A- 2·I)·x = 0}
3
i


 x
1
 
0
   x2
 
 x3
1
3 

i
2
2 

 1
3
x   
 2
2

0
5
1
3

2
2
0
3

2
3
2 
V(4)={xK3 / A·x = 4·x } ={xK3 / (A-4·I)·x = 0} Res:
x V (
3 
1 = 4
i)
2
 0
  
 0
  
 0
  

i  x3


Res:

x3 


0
T

V(3)={xK3 / A·x = 3 ·x } ={xK3 / (A- 3·I)·x = 0}
x V (
3
2

3
2
i)

 1
3
x   
 2
2


i  x3


0

1
3
 x1   
2

2

 x2  0

x3 


BV (  2 )




1
3
i
 
2
2

0

i  x3



1


T
Res:
T

BV (  3 )




1
3
i
 
2
2

0

1


T









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(A   I )x  0
Cálculo de vectores propios: Ej. 1
A2 x 2
1 = -1
1

2
2

1
;
p A ( )  0
m1 = 1
2 = 3
m2 = 1
V(-1)={xK2 / A·x = -1·x } ={xK2 / (A+1·I)·x = 0}
2   x1   0 
     
2   x2   0 
2

2
x  V (  1)  x   x1
2 = 3
1 = -1
 2 x1  2 x 2  0
 
 2 x1  2 x 2  0
 x1 
T

Resolviendo: x 2   x1 
μ1 = 1 = m1
BV (  1) 

1
 1
T

Obsérvese que
dim V(-1) = dim K2 - nº ecs. l.i=
=2-1=1
rg (A+1·I)
V(3)={xK2 / A·x = 3·x } ={xK2 / (A-3·I)·x = 0}
 2

 2
2   x1   0 
     
 2   x2   0 
x  V (3)  x   x1
  2 x1  2 x 2  0
 
 2 x1  2 x 2  0
x1 
T

BV ( 3 ) 
 1
Resolviendo:
1
T

x 2  x1

μ2 = 1 = m2
Obsérvese que
dim V(3) = dim K2 - nº ecs. l.i=
=2-1=1
rg (A-3·I)
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(A   I )x  0
Cálculo de vectores propios: Ej. 2
A3 x 3
1 = -1
 1

 1

 2

0
2
0
2

4

1 
;
1 = -1
2 = 2
3 = 3
p A ( )  0
m1 = 1
m2 = 1
m3 = 1
V(-1)={xK3 / A·x = -1·x } ={xK3 / (A+1·I)·x = 0}
 2

1

 2

0
3
0
2   x1
 
4  x2
 
2   x 3

x  V (  1)  x   x1

2 x3  0
 2 x1 

   x1  3 x 2  4 x 3  0
2 x 
2 x3  0
 1
 0
  
 0
  
 0
  
5
3
x1

 x1 

T

BV (  1)




1

Resolviendo:

1

5
3
T
 x 3   x1



5
x

x
1
 2
3 μ1 =

1 = m1
 dim V(-1) = dim K3 - nº ecs. l.i=
 =3-2=1

rg (A+1·I)
2 = 2
V(2)={xK3 / A·x = 2·x } ={xK3 / (A-2·I)·x = 0}
x  V (2)  x   0
x2
0
T

BV ( 2 ) 
 0
Resolviendo:
1
0
T

μ2 = 1 = m2
dim V(-1) = dim K3 - nº ecs. l.i=
= 3 -2 = 1
rg (A+2·I)
3 = 3
Resolviendo:
V(3)={xK3 / A·x = 3·x } ={xK3 / (A-3·I)·x = 0}
x  V (3)  x   x1
3 x1
x1 
T

BV ( 3 ) 
 1
3
1
T

μ3 = 1 = m3
dim V(-1) = dim K3 - nº ecs. l.i=
= 3 -2 = 1
rg (A-3·I)
Álgebra Lineal – Escuela Superior de Ingeniería de Bilbao – UPV/EHU
(A   I )x  0
Cálculo de vectores propios: Ej. 3
A3 x 3
1 = 4
2 
3 
3

2
3
2
0
4
0
1

0

2 
p A ( )  0
;
1 = 4
2 
3
3 
3

2
2
m1 = 1
3
m2 = 1
i
2

3
m3 = 1
x  V (4) 
x  0
i
2
V(4)={xK3 / A·x = 4·x } ={xK3 / (A-4·I)·x = 0} Res:
BV ( 4 ) 
3
i
2

 1

 0

 1

3
2
V(2)={xK3 / A·x = 2 ·x } ={xK3 / (A- 2·I)·x = 0}
 1
3
i
0
 
2
2


5
3
0

i

2
2


1
0


3
3
x V ( 
i) 
2
2
i

1

  x  0
1
    
0
   x2    0 
    
 x3   0 
1
3 

i
2
2 
 1
3 
x   
i  x3 0

 2
2


BV (  2 )
1
3
i
 
2
2

V(3)={xK3 / A·x = 3 ·x } ={xK3 / (A- 3·I)·x = 0} Res:
x V (
3
2

3
2
i)

 1
3
x   
 2
2


i  x3


0

x3 


T

0
T


1
3 
x


i  x3
 1 

2 

2

 x 2  0 μ2 = 1 = m2




T

1
T
μ1 = 1 = m1
Res:

x3 


 0
0
x2
BV (  3 )




1
3
i
 
2
2

0

1


T




μ3 = 1 = m3
0

1


T




Álgebra Lineal – Escuela Superior de Ingeniería de Bilbao – UPV/EHU
Ej. 4
A3 x 3
1 = -2
0

 1

4

0
4
0
2

0 ;

2 
1 = -2 , m1 = 1
p A (  )     6   32  (   2)  (   4)  0
3
2
2
2 = 4 ,
m2 = 2
x  V (  2)  x    6 x 2
V(-2)={xK3 / A·x = -2·x } ={xK3 / (A+2·I)·x =
0}
Res:
BV (  2 ) 
  6
1
6
x2
T
6 x2 

μ1 = 1= m1
2 = 4
V(4)={xK3 / A·x = 4·x } ={xK3 / (A-4·I)·x = 0}
 4

1

 4

0
0
0
2   x1
 
0  x2
 
 2   x 3
x  V (4)  x   0
  4 x1 
 0

      x1
 0
  
4 x
 0
 1
  
x2
0
T

2 x3  0
Resolviendo:  x 3
0
 2 x3  0
BV ( 4 ) 
 0
 x1  0

μ2 = 1< m2
1
0
T

dim V(4) = dim K3 - nº ecs. l.i=
=3-2=1
rg (A-4·I)
T
Álgebra Lineal – Escuela Superior de Ingeniería de Bilbao – UPV/EHU
Ej. 5
 2

0
A
 6

 6
1 = 1
3
6
5
6
3
10
6
0
3 

6

3 

7 
4
;
3
2
2
2
2 = 4 ,
m2 = 2
V(1)={xK3 / A·x = 1·x } ={xK3 / (A-1·I)·x = 0}
 3

0
A
 6

 6
3
6
6
6
3
9
6
0
 3   x1
 
x
6
  2
3   x3
 
6   x4
 0
  
0
    Res:
 0
  
 0
x  V (1)  x    x 3
BV (1) 
 0
1
 x3  x 4
x4 
x3
1 ,   1
T
0
1
T
0
1
T

μ1 = 2 = m1
dim V(1) = dim K4 - nº ecs. l.i= 4 – rg (A-1 I)= 4 – 2= 2
2 = 4
1 = 1 , m1 = 2
p A (  )    10   33   40   16  (   1)  (   4)  0
V(4)={xK3 / A·x = 4·x } ={xK3 / (A-4·I)·x = 0}
 6

0
A
 6

 6
3
6
9
6
3
6
6
0
 3   x1
 
x
6
  2
3   x3
 
3   x4
 0
  
0
 
 0
  
 0
1
 2
x  V (4)  x    x 3  x 4
6
 3
Res:
BV ( 4 )
dim V(4) = dim K4 - nº ecs. l.i= 4 – rg (A-4 I)= 4 – 2= 2





 2

 3

2
3

2
3
x3 
T
1
  1
0  , 
  6
μ2 = 2 = m2

2
3
2
3
x4
x3
0

1

T

x4 






T
Álgebra Lineal – Escuela Superior de Ingeniería de Bilbao – UPV/EHU
pA() = 0
Cálculo de valores propios: ejemplos
Ej. 1
A2 x 2
1

2
2

1
; p ( )  A   I 
A
1 
2
2
1 
   2  3
2
;
1 = -1
p A ( )  0
2 = 3
Tr(A) = 2 = -1+3
A3 x 3
2 valores propios
|A| = -3 = -1·3
Ej. 2
 1

 1

 2

0
2
0
2

4 ;

1 
1 
0
2
1
2
4
2
0
1 
p A ( )  A   I 
Tr(A) = 4 = -1+2+3
1 = -1
2 = 2
3 = 3
3
2
    4   11  24 ; p A (  )  0
|A| = -6 = -1·2·3
3 valores propios
Ej. 3
A3 x 3
 1

 0

 1

0
4
0
1 
1

0 ; p A ( )  A   I  0

1
2 
0
4
0
1
0     7   15   12 ; p A (  )  0
3
2
1 = 4
2 
3
3 
3
2

2
3
i
2

2
3
2
Si A(C) → tres valores propios
¡Si A(R) → un único valor propio!
i
Álgebra Lineal – Escuela Superior de Ingeniería de Bilbao – UPV/EHU
Valores y vectores propios de matrices simétricas reales: ejemplo
1

2

A  2

0
0

1 = -1
2
2
0
1
2
0
2
1
0
0
0
5
0
0
0
p A ( )  0
1 = -1
m1 = 2
2 = 5
m2 = 3
V(-1)={x5 / A·x = -1·x } ={xR5 / (A+1·I)·x = 0}
BV (  1) 
2 = 5
0

0

0

0
5 
  1
0
1
0  ,  1
T
0
1
0
0
0
T

μ1 = 2 = m1
V(5)={x5 / A·x = 5·x } ={xR5 / (A-5·I)·x = 0}
BV ( 5 ) 
 0
0
0
0
1 ,  0
T
0
0
1
0  , 1
T
1
1
0
0
T

μ2 = 3 = m2
Álgebra Lineal – Escuela Superior de Ingeniería de Bilbao – UPV/EHU
Diagonalización: Ej. 1
A2 x 2
1 = -1
1

2
2

1
;
p A ( )  0
m1 = 1
A diagonalizable
2 = 3
m2 = 1
V(-1)={xK2 / A·x = -1·x } ={xK2 / (A+1·I)·x = 0}
x  V (  1)  x   x1
2 = 3
1 = -1
 x1 
T

BV (  1) 
 1
 1
T

V(3)={xK2 / A·x = 3·x } ={xK2 / (A-3·I)·x = 0}
x  V (3)  x   x1
 1
D 
 0
x1 
T
0

3

BV ( 3 ) 
 1
1
T
μ1 = 1 = m1
μ2 = 1 = m2

 1 1
P

 1 1
D = P-1 · A · P
Álgebra Lineal – Escuela Superior de Ingeniería de Bilbao – UPV/EHU
Diagonalización: Ej. 2
A3 x 3
1 = -1
 1

 1

 2

0
2
0
2

4

1 
;
5
3
x1

 x1 





BV (  1)

1

5
3

1

A diagonalizable
T



μ1 = 1 = m1
V(2)={xK3 / A·x = 2·x } ={xK3 / (A-2·I)·x = 0}
x  V (2)  x   0
3 = 3
m1 = 1
m2 = 1
m3 = 1
V(-1)={xK3 / A·x = -1·x } ={xK3 / (A+1·I)·x =
0}
T


x  V (  1)  x   x1

2 = 2
1 = -1
2 = 2
3 = 3
p A ( )  0
x2
0
T

BV ( 2 ) 
 0
0
1
T

μ2 = 1 = m2
V(3)={xK3 / A·x = 3·x } ={xK3 / (A-3·I)·x = 0}
x  V (3)  x   x1
3 x1
 1

D  0

 0

x1 
0
2
0
T
0

0

3 

BV ( 3 ) 
 1
3
 1

5
P 
 3
 1

1
0
1
0
T

1

3

1 
μ3 = 1 = m3
D = P-1 · A · P
Álgebra Lineal – Escuela Superior de Ingeniería de Bilbao – UPV/EHU
Diagonalización: Ej. 4
A3 x 3
1 = -2
2 = 4
0

 1

4

0
4
0
2

0 ;

2 
1 = -2 , m1 = 1
p A ( )  0
2 = 4 ,
A diagonalizable  dim V(4)=2
m2 = 2
x  V (  2)  x    6 x 2
V(-2)={xK3 / A·x = -2·x } ={xK3 / (A+2·I)·x =
0}
Res:
BV (  2 ) 
  6
1
6
x2
T
6 x2 

μ1 = 1= m1
V(4)={xK3
/ A·x = 4·x }
x  V (4)  x   0
x2
={xK3
0
T
/ (A-4·I)·x = 0}

BV ( 4 ) 
 0
1
0
T

¡A no es diagonalizable!
μ2 = 1< m2
T
Álgebra Lineal – Escuela Superior de Ingeniería de Bilbao – UPV/EHU
Diagonalización: Ej. 5
 2

0
A
 6

 6
1 = 1
3
6
5
6
3
10
6
0
3 

6

3 

7 
2 = 4 ,
A diagonalizable 
dim V(1)=2 ^ dim V(4)=2
m2 = 2
μ1 = 2 = m1
V(1)={xK3 / A·x = 1·x } ={xK3 / (A-1·I)·x = 0}
x  V (1)  x    x 3
2 = 4
1 = 1 , m1 = 2
; p A (  )  (   1) 2  (   4) 2  0
 x3  x 4
x3
x4 
T
BV (1) 
 0
1
0
1 ,   1
T
V(4)={xK3 / A·x = 4·x } ={xK3 / (A-4·I)·x = 0}

x  V (4)  x    x 3  x 4
6
 3
2
1

2
3
x3 
2
3
x4
x3

x4 

T
BV ( 4 )





1
1
0
T

μ2 = 2 = m2
 2

 3

T
2
1
3
  1
0  , 
  6

2
3
0

1

T





A es diagonalizable
1

0
D 
0

0
0
0
1
0
0
4
0
0
0

0

0

4

 0


P  1


 0
 1

1

2
3
1

2
3
1
1
0
0
1
6

2

3

0 
1 

D = P-1 · A · P
Álgebra Lineal – Escuela Superior de Ingeniería de Bilbao – UPV/EHU
1

2

A  2

0
0

1 = -1
2
2
0
1
2
0
2
1
0
0
0
5
0
0
0
Diagonalización de matrices simétricas por semejanza ortogonal: ejemplo
0

0

0

0
5 
A diagonalizable
m1 = 2
2 = 5
m2 = 3
V(-1)={x5 / A·x = -1·x } ={xR5 / (A+1·I)·x = 0}
BV (  1) 
  1
0
1
0  ,  1
T
0
1
v1
1 = 5
1 = -1
0
0
0
T

μ1 = 2 = m1
v2
V(5)={x5 / A·x = 5·x } ={xR5 / (A-5·I)·x = 0}
BV ( 5 ) 
 0
0
0
0
1 ,  0
T
0
v3
 1

0

D  0

 0
 0

0
1
0  , 1
T
1
1
v4
0
0
0
1
0
0
0
5
0
0
0
5
0
0
0
0

0

0

0
5 
0
0
T

μ2 = 3 = m2
v5
 1

0

P  1

 0
 0

1
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
1
0
1

1

1

0
0 
D = P-1 · A · P
Pero además, A es diagonalizable ortogonalmente; es decir, podemos conseguir
una matriz P ortogonal tal que D= P-1 · A · P = PT · A · P.
Álgebra Lineal – Escuela Superior de Ingeniería de Bilbao – UPV/EHU
Para ello se necesita una base de vectores propios ortonormada. Por ser A simétrica este
tipo de base existe.
BV (  1) 
Teníamos:
BV (5 ) 
  1
 0
0 1 0
0  ,  1 1 0
T
v1
0
0
T

v2
0 0 0 1  ,  0 0 0 1 0  , 1 1 1 0 0 
T
T
v3
v4
T
B= {v1, v2, v3, v4, v5}

v5
B’= {v’1, v’2, v’3, v’4, v’5}
1º Buscamos una base ortogonal de vectores propios:

Para cada subespacio propio se
puede conseguir una base ortogonal


   1


B 'V (  1)
0
1
0
0
T
 1
, 
 2
1
 0

1

0

0
2
V’1
B 'V ( 5 )  BV ( 5 ) 
T





V’2
0
En este caso BV(5) ya era ortogonal

base de vectores propios
0
0
1 ,  0
T
0
V’3
0
1
0  , 1
T
1
1
0
0
T

V’5
V’4
Además, todos los vectores pertenecientes a V(-1) son ortogonales a los vectores pertenecientes a
V(5), por ser A simétrica.
2º Normalizando cada vector, se obtiene B’’= {v’’1, v’’2, v’’3, v’’4, v’’5} base ortonormada de vectores propios

 1
B ''  
 1
 2

0
1
0
2 1

3 2
0 ,
 1

0

D  0

 0
 0

T
0
0
0
1
0
0
0
5
0
0
0
5
0
0
0
1

1
2
0

0

0

0
5 
T
0

0 ,







P 







0
1
0
0
1

0
0
1 ,
0
6
2
2
0
1

0
0
1
3
0
0
6
2
1
3
3
1
0
T
1
3
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0













0
0
1
0 ,
T
1
3
1
1 1
0
T 

0 


D = P-1 · A · P = PT · A · P
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Valores y vectores propios