Problemas y Preguntas
1
Ejemplo 1
2
¿Cuál es el período del
péndulo?
• El período medido de un péndulo es de
3.0s en el marco en reposo del
péndulo.
3
• ¿ Cuál es el período cuando se
mide por un observador que se
mueve a una velocidad de 0.95c
respecto del péndulo?
4
Solución
• Si en lugar del observador moviéndose
a 0.95c, consideramos que el
observador esta en reposo y que es el
péndulo el que se mueve a 0.95c
pasando por el lado del observador
estacionario. De la ecuación T = γ T1
5
Fórmula
6
Esto demuestra que un péndulo en
movimiento se tarda más para
completar un período comparado con
un péndulo en reposo.
7
Ejemplo 2
8
Repaso de la simultaneidad y de la
dilatación del tiempo
•
Emplee las ecuaciones de
transformación de Lorentz en forma de
diferencia para mostrar que:
a) La simultaneidad no es un concepto
absoluto.
9
Solución
• a) Suponga que dos eventos son simultáneos de
acuerdo con un observador en movimiento en
O1, por lo que ∆t1 = 0. De las expresiones para
∆t dadas en la ecuación ∆t = γ (∆t1 + v ∆x1),
c2
vemos que en este caso ∆t = γ (o + v ∆x1) ≠ 0.
c2
• Es decir, el intérvalo de tiempo para los mismos
dos eventos según mide un observador en O no
es cero, y por ello, no parecen ser simultáneos
en O.
10
b) Los relojes en movimiento funcionan más
lentamente que los relojes estacionarios.
• Suponga que un observador en O1 encuentra
que los dos eventos ocurren en el mismo
lugar (∆x1 = 0), pero en tiempos diferentes
(∆t1 ≠ 0). En este caso, la expresión para ∆t
dada en la ecuación ∆t = γ (∆t1 + v ∆x1), se
c2
convierte en ∆t = y∆t1.
• Esta es la ecuación para la dilatación del
tiempo es el tiempo propio medido por un
solo reloj localizado en O1.
11
Ejemplo 3
12
Velocidad relativa de naves
espaciales
• Dos naves espaciales A y B se mueven
en direcciones opuestas como se
muestra en la figura 1.
• Un observador en la Tierra mide 0.75c
como la velocidad de A, y 0.85c como la
velocidad de B.
13
•Determine la velocidad de B respecto a A.
Figura 1
14
Solución:
• Este problema puede resolverse considerando
el marco S1 como si estuviera unido a A, de
modo que v = 0.75c relativa al observador en la
Tierra (el marco S). La nave espacial B puede
considerarse como un objeto que se mueve
con una velocidad ux = -0.85c relativa al
observador terrestre.
15
• Por lo tanto, la velocidad de B respecto
de A pude obtenerse empleando la
ecuación 39.14:
u1x = ux – v
1 – ux v
c2
=
. -0.85c – 0.75c
1 - -0.85c – 0.75c
c2
=
-0.980c
16
El signo negativo indica que la nave espacial B
se mueve en la dirección negativa x según se
observa en A.
Observe que el resultado es menor que c.
Esto significa que un cuerpo cuya velocidad es
menor que c en un marco de referencia debe
tener una velocidad menor que c en otro marco.
17
(Si la transformación de velocidades galileana
se utilizara en este ejemplo, encontraríamos
que u1x = ux – v = -0.85c – 0.75c = -1.60c,
lo cual es mayor que c.
La transformación galileana no funciona en
situaciones relativistas.)
18
Ejemplo 4
19
El Motociclista veloz
• Imagine un motociclista que se mueve
con una velocidad de 0.80c y que pasa
al lado de un observador estacionario,
como se muestra en la figura 2.
• Si el motociclista lanza una pelota hacia
delante con la velocidad de 0.70c
relativa a sí mismo.
20
Figura 2
21
a) ¿Cuál es la velocidad de la pelota
según el observador estacionario?
b) Suponga que el motociclista activa un haz de luz
que se aleja de él hacia delante con una velocidad c.
¿Cuál es la velocidad de la luz para el
observador estacionario?
22
Solución:
• a) En esta situación, la velocidad del
motociclista respecto del observador
estacionario es v = 0.80c. La velocidad
de la pelota en el marco de referencia
del motociclista es 0.70c. Por tanto, la
velocidad, ux, de la pelota relativa al
observador estacionario es:
23
ux =
.
ux1 + v .
1 + u1x v
c2
=
.
0.70c + 0.80c . = 0.96c
1 + (0.70c) (0.80c)
c2
24
Ejemplo 5
Mensajeros relativistas
25
Dos motociclistas mensajeros llamados David y Emilio
corren velocidades relativas a lo largo de trayectorias
perpendiculares, como en la figura 3.
26
• A) ¿Qué tan rápido se aleja Emilio del
hombro derecho de David según éste
último?
B) ¿Calcule la velocidad de retroceso
clásica para Emilio según lo observa
David empleando una transformación
galileana?
27
Solución (a )
La figura 2 representa la situación de
acuerdo con un policía que se
encuentra en reposo en el marco S,
quien observa lo siguiente:
David: ux = 0.75 c
Emilio:
uy = 0
ux = 0 uy = - 0.90c
28
• Para obtener la velocidad de alejamiento de
Emilio según David, consideramos S1 como si se
moviera junto con David y calculamos u1x y u1y,
para Emilio empleando las ecuaciones.
u1x = . ux - v . = . 0 - 0.75c= - 0.75c
1 – ux v
1 - (0) (0.75c)
c2
c2
29
Solución (b)
30
De este modo la velocidad de Emilio según lo observa
David es:
31
• Lo que está en desacuerdo con la teoría de
la relatividad, viola el postulado de que c es
igual en cualquier marco de referencia.
32
Ejemplo 6
• La energía de un electrón rápido
33
• Un electrón se mueve
velocidad u = 0.850c.
con
una
• Encuentre su energía total y su energía
cinética en electrón volts.
34
Solución:
35
Solución (b):
KE = ET – m0 c2
= (0.970 - 0.511) MeV
= 0.459 MeV
36
Ejemplo 7
• La energía de un protón
rápido
37
La energía total de un protón es tres
veces su energía en reposo.
a)
Encuentre la energía en reposo del
protón en electrón vols.
–
¿Con qué velocidad se mueve el protón?
b) Determine la energía cinética del protón en
electrón volts.
– ¿Cuál es el momento del protón?
38
Solución (a):
Energía en reposo = m0 c2 = (1.67 x 10-27 Kg.)
(3.00 x 108 m / s2) 2
= (1.50 x 10-10 J) (1.00 eV / 1.60 x 10-19 J)
= 938 MeV
39
b) Puesto que la energía total E es tres veces la energía
en reposo, E = γ mc2 produce:
40
Solución (c )
c) K =
E - mc2 = 3 mc2 – m0c2 = 2 mc2
Puesto que mc2 = 938 MeV
K = 1 876 MeV
41
Podemos usar la ecuación E2 = p2 c2 + (m0c2) 2para
calcular el momento con E - 3 mc2.
NOTA: Por conveniente la unidad de momento se escribe MeV
c
42
Ejemplo 8
Momento de un
electrón
43
Un electrón que tiene una masa de
9.11 x 10-31 kg
se mueve con una velocidad de
0.75c.
• Encuentre su momento relativista y
compárelo con el cálculo a partir de la
expresión clásica.
44
45
La contracción de una
nave espacial
Ejemplo 9
46
• Se mide una nave espacial y se encuentra
que tiene 120m de largo mientras esta en
reposo respecto a un observador.
• Si esta nave espacial después es tripulada
por el observador viaja a 0.95c.
• ¿Qué longitud mide el observador
en reposo?
47
Solución (a):
48
Solución (b):
• Respuesta L = 119. 40 m
• Demuestre que la respuesta es correcta.
49
PREGUNTAS
50
1. ¿Cuáles dos mediciones de velocidad
que hacen dos observadores en
movimiento relativo siempre concuerdan?
51
2. Una nave espacial en forma de esfera es
vista por un observador sobre la Tierra con
una velocidad de 0.5c.
¿Qué forma ve el observador cuando pasa la
nave espacial?
52
3. Un astronauta se aleja de la Tierra a una
velocidad cercana a la de la luz.
Si un observador sobre la Tierra mide el
tamaño el pulso del astronauta,
¿qué cambios (si los hay) mediría el
observador?
¿El astronauta mediría algunos cambios?
53
4. Dos relojes idénticos están sincronizados.
Uno se pone en órbita dirigido hacía el
este alrededor de la Tierra, mientras que
el otro permanece en la misma.
¿Cuál reloj funciona más lentamente?
Cuando el reloj en movimiento regresa a
la Tierra,
¿los dos siguen sincronizados?
54
5. Dos láseres situados sobre una nave espacial en
movimiento se disparan simultáneamente.
Un observador sobre la nave espacial
afirma que vió los pulsos de luz de
manera simultánea.
•
¿Qué condición es necesaria de manera que
concuerde un segundo observador?
55
6.
Cuando decimos que un reloj en
movimiento funciona más lentamente que
uno estacionario,
¿significa que hay algo físico inusual
relacionado con
movimiento?
el
reloj
en
56
7. Enliste algunas maneras en las
que nuestra vida cotidiana
cambiaría si la velocidad de la luz
fuera de sólo 50 m/s.
57
8.
Brinde un argumento físico que
muestre que es imposible acelerar
un objeto de masa m a la velocidad
de luz, incluso con una fuerza
continúa que actué sobre el.
58
Se dice que Einstein, en sus años de
adolescente, hizo la pregunta:
9. “¿Qué vería en un espejo si lo llevara en
mis manos y corriera a la velocidad de la
luz?”
¿Cómo respondería usted a esta pregunta?
59
10. ¿Qué
sucede con la densidad
de un objeto cuando aumenta
su velocidad?
Tome en cuenta que la densidad
relativista es m/V = E/c2V.
60
11. Algunas
de las estrellas distantes,
llamadas quasares, se alejan de
nosotros a la mitad (o más) de la
velocidad de la luz,
¿Cuál
es la velocidad de la luz que
recibimos de estos quasares?
61
12. ¿Cómo
es posible que los
fotones de luz, los cuales tienen
masa en reposo cero, tengan
momento?
62
Respecto de marcos de referencia,
13.
¿Cómo difiere la relatividad
general de la relatividad
especial?
63
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Ejemplo 1 - UPRM QuarkNet Center