Mecánica: Dinámica de
Rotación
Física :Mecánica
LPSA
Viña del Mar
Conceptos Previos sobre estática y
dinámica lineal
Equilibrio Traslacional
• Suma de las fuerzas vale cero
• El objeto viaja a V = cte o se encuentra en
reposo
Equilibrio Rotacional
• Suma de los torque vale cero
• El objeto se mueve girando sobre algún
eje con vel. ang. = cte, o no se encuentra
girando
Tipos de Equilibrio
• E. Estable
• E. Inestable
• E. Marginal
Si el cuerpo no está en equilibrio
• Suma de las fuerzas vale m*a
M es la masa del objeto, y a es la aceleración
resultante.
• Suma de los torques vale I*α
I es el momento de Inercia del objeto, y α es
la aceleración angular resultante.
Además T = r x F
Momento de Inercia de un cuerpo
• Es una magnitud que da cuenta como es
la distribución de masas de un cuerpo o
un sistema de partículas alrededor de uno
de sus puntos. Es análogo a la masa de
un cuerpo. Representa la inercia de un
objeto a rotar.
• Para un sistema de partículas se define
como la suma de los productos entre las
masas de las partículas que componen un
sistema, y el cuadrado de la distancia r de
cada partícula a al eje de giro escogido.
Matemáticamente se expresa como:
• Note que si:
I=∑m*r²
Entonces si se tiene sólo una partícula:
I = m*r²
El momento de inercia depende de la
distancia entre el objeto y el eje de giro.
i
i
m
Ejercicio ejemplo:
• Se tiene tres partículas de masas iguales m=
0,5 (Kg), cada una tres metros de la otra
respecto del origen de un plano cartesiano (ver
figura).
a) Calcular el momento de inercia de la esfera 1
respecto del eje Y.
b) Calcular el momento de inercia del sistema
respecto del eje Y.
Momento de Inercia para un sólido
rígido.
• Se determina sumando los momentos de
inercia de todas las partículas que forman
el cuerpo.
• Algunos valores para cuerpos rígidos
típicos.
Tabla Momentos de Inercia
Cuerpos Rígidos Típicos
Ejercicio
• Calcule el momento de inercia para:
a) Una barra de largo 50 cm y masa 5 Kg que gira sobre
un eje que:
i) pasa por su centro ii) pasa pos su extremo
b) Un cilindro de radio 10 cm y alto 20 cm, cuya masa es
de 800 grs. si gira sobre n eje central:
i) // a su altura ii) // a su diámetro
c) Una esfera que gira sobre su diámetro, de masa 2,5 Kg
y diámetro 25 cm.
d) Un cascaron esférico de masa 1000 grs y radio 50 cm
que gira sobre su diámetro.
Momento angular
• El momento angular (cantidad vectorial)
es conocido como la “Cantidad de
movimiento que lleva un cuerpo cuando
está girando”. Análogo a cantidad de
movimiento lineal. Matemáticamente es:
L=I*ω
donde I es el momento de inercia y ω es
la vel. ang.
Momento angular y Torque
si diferenciamos esta última ecuación:
ΔL = I * Δω
Y luego dividimos por Δt, tenemos que:
ΔL/ Δt = I * α
Entonces llegamos a: Torque = ΔL / Δt
Ejercicio
• Calcule el momento angular de los objetos
del ejercicio anterior si cada uno lleva vel.
ang = 4 rd/seg
Momento Angular y Lineal
Como
y:
T=rxF
Ahora,
m * Δv = Δp
T = ΔL / Δt
ΔL = r x F * Δt
pero F = m * Δv / Δt
ΔL = r x m * Δv
entonces:
ΔL = r x Δp
Sin diferencias:
L=rxp
es la relación entre las
cantidades de movimiento
lineal y angular para un cuerpo
que gira respecto de un eje.
Ejercicio
•
Se tiene una esfera de masa 3,5 Kg que
gira en torno a un eje a 50 cm. Cada
vuelta demora 7 seg.
a) Calcule la cantidad de movimiento lineal
de la esfera
b) Calcule el momento de inercia de la
esfera
c) Calcule la cantidad de movimiento
angular de la esfera
Cambio en el Momento de Inercia
• Como vimos antes,
I = ∑ mi*ri²
entonces depende de la distancia a la cual gira
el cuerpo. Si trabajamos con un sólido rígido
también dependerá de la distancia a la cual gira
el sólido.
• Podemos cambiar el momento de inercia, o
calcular el momento de inercia si cambia el eje
de giro.
Teorema de los Ejes Paralelos
(o teorema de Steiner)
• Dice que si un cuerpo de masa M que posee
momento de inercia Icm respecto de su centro de
masa y gira en torno a un eje a una distancia d
del centro de masa del sólido rígido, entonces
su nuevo momento de Inercia I´ calculado
respecto de el nuevo eje de giro es:
I´ = Icm + M*d²
Ejemplo
• Se sabe que para una barra de masa M y largo
L que gira en torno a aun eje que pasa por su
centro de masa y paralelo al diámetro, su
I = ML²
12
Si consideramos que la barra ahora gira en
torno a uno de sus extremos, la distancia entre
el nuevo eje de giro y su centro de masa es
d=L/2
Ejemplo
• Entonces
I´ = Icm + M*d²
como d=L/2
y Icm = ML²
12
I´ = ML² + ML²
12
4
Sacando factor común:
I´ = ML² + 3ML² => I´ = 4ML² => I´ = ML²
12
12
3
Que es el valor dado por tabla
Ejercicio
• Calcule el valor del momento de inercia de una
superficie plana de ancho w y largo l si gira en torno a
un eje paralelo al lado w, y cuya masa es M.
• Calcule el momento de inercia de un cilindro de radio R
que gira en torno a un eje paralelo a su altura h, y cuya
masa es M.
• Calcule el momento de inercia de una esfera de radio R
y masa M que gira en torno a un eje tangente a su
superficie.
• Calcule el momento de inercia de un cascarón esférico
de radio R y masa M que gira en torno a un eje tangente
a su superficie.
El péndulo simple
• También llamado péndulo
matemático. Es una
situación ideal, en la que un
cuerpo de forma esférica, y
cuya masa es m, pende de
un hilo ideal (de masa
despreciable – m = 0 – e
inextensible) cuyo largo es
L, en las cercanías de la
superficie terrestre
(g = acel. grav.)
El péndulo simple
consideremos que giramos el
péndulo un ángulo α menor a
10°, y lo soltamos provocando
un movimiento de rotación.
α
El periodo del movimiento T se
define como el tiempo que
demora un cuerpo en
completar una oscilación, y
esta se da cuando el objeto se
encuentra en la misma posición
y viajando con la misma
velocidad.
El péndulo simple
Si α es pequeño, se
cumple que:
α
Note que el periodo de
oscilación es
independiente de la
masa que cuelga.
Experimento: Medición de g
Con el péndulo simple, es posible encontrar cuanto
vale la aceleración de gravedad en las cercanías de
la superficie terrestre en esta zona (Viña del Mar).
De la ecuación anterior, podemos despejar g:
Para determinar el valor de g es necesario montar
un péndulo simple y tomar medidas del largo y del
periodo de oscilación, luego reemplazar en la
ecuación de arriba y encontrar g.
Experimento: Medición de g
Procedimiento:
1.
Para un ángulo fijo, y largos
L distintos del hilo, tome 10
mediciones de el tiempo t
que demora en completar n
oscilaciones. t/n es el
periodo T de cada
oscilación.
2.
Construya una tabla t, n, T, L
3.
Calcule el valor de g para
cada toma de datos, según
la expresión encontrada.
4.
Encuentre el valor promedio
de g que obtuvo.
L(m)
t (s)
n° osc T=t/n°
Ejemplo.
L(m)
t(s)
n° osc
T = t/n°osc
(s)
0,517
36,51
25
1,4604
9,569883068
0,452
34,18
25
1,3672
9,546277883
0,38
31,53
25
1,2612
9,431383601
0,282
31,15
30
1,038333333
10,32607446
0,197
31,74
35
0,906857143
9,456887153
0,542
37,23
25
1,4892
9,648348195
0,581
38,47
25
1,5388
9,686603291
0,607
31,33
20
1,5665
9,76534586
0,436
33,32
25
1,3328
9,689832233
0,366
30,91
25
1,2364
9,451980769
<g> =
9,657261652 (m/s²)
g =4*π²*L/T²(m/s²)
Cálculo de Error Porcentual
• Si para una variable dada se experimenta
tomando datos y encontrando
experimentalmente un valor promedio,
existe un porcentaje de error, típico de
cualquier medición, que puede obtenerse
a partir del valor teórico estándar. Según
la ecuación:
Ejemplo.
Para el valor de g obtenido es 9,657 (m/s²)
El valor teórico de g es 9,81 (m/s²)
el porcentaje de error es:
• Un error del orden del 3% se considera
aceptable.
Próxima Semana
• Materiales:
• Entregar informe.
El Péndulo Físico
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nica Momento inercia