Tommy y Daly presentan:
Congruencia y Semejanza de
Figuras Planas
ESCUELA TEODOR CASTILLO DE LA LUZ
Yo soy Daly y él es
Tommy, somos
los dibujos más entretes de la TV.
Estamos aquí para enseñarte
la Congruencia
y Semejanza de Figuras Planas.
Ahora vamos
a comenzar!!
Ejemplos de Congruencia
ESTAS SI SON FIGURAS CONGRUENTES
ESTAS SI SON FIGURAS CONGRUENTES
ESTAS NO SON FIGURAS CONGRUNTES
Congruencia
Dos figuras son congruentes cuando tienen
la misma forma y tamaño, es decir, si al
colocarlas una sobre otra son coincidentes
en toda su extensión.
• Esto significa que deben tener lados y ángulos
de igual medida:
ab=ef
a
b
e
f
c
d
g
h
cd=gh
Congruencia de Triángulos
Miraaa!!
Criterios de Congruencia de
Triángulos
Han Visto a Tommy?
•Existen criterios que permiten afirmar que dos
triángulos son congruentes
Criterio Ángulo-Lado-Ángulo (A.L.A)
Dos triángulos son congruentes si tienen respectivamente iguales
un lado y los ángulos adyacentes a él:
C
A: < a = < a’
C’
L: AB = A’B’
A: < b = <b’
a
A
b
B
a’
A’
b’
B’
•Criterio Lado-Ángulo-Lado (L.A.L)
Dos triángulos son congruentes si tienen respectivamente
iguales 2 lados y el ángulo comprendido entre ellos :
C
C’
L: AC = A’C’
A: < a = <a’
L: AB = A’B’
a
A
b
B
a’
A’
b’
B’
•Criterio Lado-Lado-Ángulo (L.L.A.)
Dos triángulos son congruentes si tienen respectivamente
iguales 2 lados y el ángulo opuesto al mayor de ellos:
C
C’
L: AC = A’C’
L: BC = B’C’
A: < a = < a’
a
A
b
B
a’
A’
b’
B’
•Criterio Lado-Lado-Lado
Dos triángulos son congruentes si tienen sus tres lados
respectivamente iguales:
C’
C
L: AC = A’C’
L: BC = B’C’
L: AB = A’B’
a
A
b
B
a’
A’
b’
B’
Ejemplos de Aplicación
Dos triángulos son congruentes si tienen sus tres lados
respectivamente iguales:
•EJEMPLO 1:
C
TEOREMA: La bisectriz correspondiente al
ángulo basal de un triángulo isósceles es
perpendicular a la base y la biseca.
Hipótesis:
ABC es isósceles
CD bisectriz
TESIS: < AD = < DB
A
D
B
DEMOSTRACIÓN: En primer lugar se deben ubicar los datos
de la hipótesis en la figura para luego darse cuenta cuál es el
centro a utilizar, así:
L: AC = BC (lados iguales de un triángulo isósceles)
A: <1 = < 2 (por ser CD bisectriz)
L: CD = CD (lado común a los dos triángulos)
Por lo tanto:
ADC =
¡¡Ya te
encontré!!
DBC (por criterio L:A:L)
Ahora, si dos triángulos son congruentes, entonces
todos sus elementos respectivos son iguales (se
dice que los elementos homólogos son iguales),
así: < ADC + < CDB = 180º (son ángulos
adyacentes) y como éstos son iguales, cada uno
mide 90º (los ángulos homólogos son los opuestos
a
lados
iguales).
Además: AD = DB (por ser elementos homólogos)
Q.E.D.
(Queda
Esto
Demostrado)
Semejanza de Triángulos
Coloca Atención!!
Semejanza
Dos figuras son semejantes si tienen la
misma forma, no necesariamente el mismo
tamaño
Ufff!! Cuánto
faltará??
Ejemplo
s
Distancias o alturas aplicando semejanza
1. Los dibujos siguientes ilustran diversas maneras, utilizadas
habitualmente por las guías y scouts, para estimar alturas y distancias,
recurriendo a la semejanza de triángulos.
En este caso, es necesario que la persona pueda observar el extremo
superior del árbol reflejado en el espejo.
Mirando con un solo ojo, se cubre la altura del árbol con una varita o un
lápiz que se sostiene en la mano. Girar la mano en 90º y que una persona
se ubique en el punto que corresponde al extremo libre de la varita.
Colocar al pie de un poste una persona o vara de altura conocida.
Ubicarse a una distancia adecuada, mirando con un solo ojo y recurriendo
a un lápiz o varita que se sostiene con la mano, cubrir la persona y contar
cuántas
veces
cabe
en
la
altura
de
dicho
poste.
Para una misma hora la razón entre la longitud de un objeto y de su
sombra
es
la
misma.
Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un
solo ojo
queden alineados el extremo superior del árbol y el de la vara de longitud
conocida.
Con el brazo estirado, utilizar como mira el dedo pulgar para ubicar dos
puntos sobre el edificio, mirando primero con un ojo y después con el otro.
Estimar la distancia entre ambos puntos, multiplicarla por 10 para obtener
una estimación de la distancia que los separa del edificio. El factor 10
deriva de la razón entre la medida aproximada de la distancia entre ambos
ojos (6 cm) y la longitud de los brazos (60 cm) un promedio aproximado y
cómodo para hacer los cálculos.
Criterios de Semejanza de
Triángulos
Aquí estoy Daly!!
Criterio ángulo-ángulo (A-A)
•Si dos ángulos de un triángulo son congruentes a dos
ángulos de un segundo triángulo, entonces estos dos
triángulos son semejantes.
Es decir, en los triángulos ABC y DEF: <A = <D y <B = <E
Entonces
ABC ~
DEF
C
F
<
D
<
E
<
A
<
B
Criterio lado-ángulo-lado (L.A.L.)
•Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados
proporcionales y congruentes el ángulo comprendido
entre ellos.
Decir, en los triángulos ABC y DEF ,
Si <A = <D y AC = AB Entonces
DF
DE
ABC ~
DEF
A
B
C
D
E
F
Criterio lado-lado-lado (L.L.L.)
Dos triángulos son semejantes si tienen sus tres lados
respectivamente proporcionales.
Es decir, en los triángulos ABC y DEF:
A
Si AB = BC = AC
DE EF DF
Entonces
ABC ~
B
DEF
C
D
E
F
Hemos terminado!!
Yo seguiré construyendo
figuras planas!!
Que soy capo!
Ahora me peino en
congruencias y semejanzas
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Congruencia y Semejanza