1. La geometría del espacio euclidiano
2. Funciones vectoriales
3. Diferenciación
4. Integrales múltiples
5. Integrales de línea
6. Integrales de superficie
7. Los teoremas integrales
 :D  R  R
2
D efinición
La gráfica de la función  es el lugar
geom étrico de los puntos del espacio
euclidiano R
G 
3
  x , y , z   R  x , y , z    x , y  
3
R ep resen tació n im p lícita:
F  x, y, z   0
R ep resen tació n ex p lícita:
z  f
 x, y 
R ep resen tació n p aram étrica o vecto rial:
x  X u,v 
y  Y u,v 
z  Z u,v 
S i ten em o s u n a rep resen tació n ex p lícita
z  f
 x, y 
es m u y fácil p asar a u n a rep resen tació n
p aram étrica.
S e to m an x e y co m o lo s p arám etro s
y n o s q u ed a
r  u , v   u iˆ  vjˆ  f  u , v  kˆ
r  u , v   X  u , v  iˆ  Y  u , v  ˆj  Z  u , v  kˆ
r u,v    X u, v , Y u,v , Z u,v 
u,v   T
 R
2
r  u , v   X  u , v  iˆ  Y  u , v  ˆj  Z  u , v  kˆ
u,v   T  R
2
x  R cos u cos v
y  R sin u co s v
z  R sin v
   
 u , v   T   0 , 2     , 
 2 2
x  R co s u co s v
   
 u , v   T   0, 2      , 
 2 2
y  R sin u co s v
z  R sin v
z
v


2
2

u
v

u

2
x
y
r  u , v   X  u , v  iˆ  Y  u , v  ˆj  Z  u , v  kˆ
u,v   T  R
2
r  u , v   v sin  cos uiˆ  v sin  sin ujˆ  v cos  kˆ
u,v   T
  0, 2     0 , h 
r  u , v   v sin  cos uiˆ  v sin  sin ujˆ  v cos  kˆ
u,v   T
  0, 2     0, h 
z
v

h

0
2
y
u
x


2
2
r  u , v   2 uiˆ  u  v ˆj  v kˆ
u    2, 2 
v    2, 2 
r  u , v   X  u , v  iˆ  Y  u , v  ˆj  Z  u , v  kˆ
u,v   T
 R
2
r
X ˆ Y ˆ Z ˆ

i 
j
k
v
v
v
v
r
X ˆ Y ˆ Z ˆ

i 
j
k
u
u
u
u
r  u , v   X  u , v  iˆ  Y  u , v  ˆj  Z  u , v  kˆ ,
r
u
u, v   T

R
2
r
v
r
X ˆ Y ˆ Z ˆ

i 
j
k
v
v
v
v
r
X ˆ Y ˆ Z ˆ

i 
j
k
u
u
u
u
r  u , v   R co s u co s viˆ  R sin u co s vjˆ  R sin vkˆ
   
 u , v   T   0, 2      , 
 2 2
r
u
r
v
 R   sin u co s v , co s u co s v , 0 
 R   co s u sin v , sin u sin v , co s v 
r  u , v   R cos u cos viˆ  R sin u cos vjˆ  R sin vkˆ
   
 u , v   T   0, 2      , 
 2 2
r
u

 R
2
 R
2
r
v
ˆj
kˆ
 R  sin u cos v
cos u cos v
0
 cos u sin v
 sin u sin v
cos v
iˆ
2

 cos u cos

2
2
2
2
2

v , sin u cos v , cos v s in v 
2
 R cos v  cos u cos v , sin u cos v , sin v   R cos vr  u , v 
2

cos u cos v , sin u cos v , sin u cos v sin v  cos u cos v sin v 
2
r  u , v   R cos u cos viˆ  R sin u cos vjˆ  R sin vkˆ
   
 u , v   T   0, 2     , 
 2 2
nˆ  u , v  
r u ,v 
r u ,v 
 rˆ  u , v 
z  f
r
x
 x, y 
 iˆ 
f
 x, y 
x
iˆ
r
x

r
y
r  x , y   xiˆ  yjˆ  f

 1
0
ˆj
0
1
kˆ
r
y
 ˆj 
f
 x, y 
y
kˆ
f
f ˆ f ˆ
 
i 
j  kˆ
x
x
y
f
y
 x , y  kˆ
kˆ
z  f
 x, y 
iˆ
r
x

r
y
 1
0
r
r
r  x , y   xiˆ  yjˆ  f

ˆj
0
1
 x , y  kˆ
kˆ
f
f ˆ f ˆ
 
i 
j  kˆ
x
x
y
f
y
f ˆ f ˆ

 
i 
j  kˆ 
x y
x
y
2
 f 
 f 
1 
 


x

y




2
z  f  x, y 
nˆ 
r
x

r
y

r  x , y   xiˆ  yjˆ  f  x , y  kˆ
2

 f 
 f 
1 
 

 x 
 y 
2
v

nˆ
v co s    S  v  nˆ  S
•Necesitamos describir las superficies y sus
características, principalmente debemos ser
capaces de calcular el vector normal.
•Necesitamos un campo escalar o un campo
vectorial, que son las funciones que vamos a
integrar
•Necesitamos calcular la función a integrar
sobre la superficie
•Finalmente, debemos proyectar el campo
“sobre” la normal a la superficie
 :D  R  R
3

R T
 dS 

R T



r
u
,
v


 

T

r
u

r
v
3
dudv
es una superficie en R cuya
descripción param étrica es
r  u , v  con
u, v   T
1 : R  R
3
1  x , y , z   xyz
Superficie sobre la cual calcularem os la integral
z  f  x, y   0
0  x 1
0  y 1
S uperficie sobre la cual calcularem os la integral
z  f  x, y   0
r  u , v    u , v, 0 
0  u 1
0  v 1
z  f
 x, y 
r u , v   u , v, 0 
r
u
0  u 1
  1, 0, 0 
r
u
r
v
0  v 1
  0,1, 0 

r
v
  0, 0,1 
z  f
 x, y 
r u , v   u , v, 0 
r
u
0  u 1
  1, 0, 0 
r
u
r
v
0  v 1
  0, 1, 0 

r
v
  0, 0,1 

R T
 dS 

   r  u , v  
T
1 : R  R
3
r u , v   u , v, 0 
r
u

r
v
r
u

r
v
dudv
1  x , y , z   xyz
0  u 1
0  v 1
1
1 1
1 1
  dS     u   v   0  dudv    0 dudv  0
R T

0 0
0 0
2 : R  R
3
2  x, y, z   x  y  z
Superficie sobre la cual calcularem os la integral
z  f  x, y   0
0  x 1
0  y 1
r
r


  d S     r  u , v    u   v d u d v
R T 
T
2  x, y, z   x  y  z
2 : R  R
3
r u , v   u , v, 0 
r
u

r
v
0  u 1
1
1 1

R T
2dS 

0 0
0 0
1 1
  u d u d v    vd u d v
0 0

1 1
  u  v  0  dudv    u  v  dudv
1 1

1
2

0 0
1
2
0  v 1
1
1

1
1
1
 u d u  d v   vd v  d u
0
0
0
0


 U  x , y , z  dS
R T

U  x, y, z   3z
U :R  R
3
R T  
 x , y , z  z  2   x
Gráfica
2
 y
2
 , z  0
 U  x , y , z  dS
R T

U :R  R
3
R T  

U  x, y, z   3 z

 x, y, z  z  2  x  y
2
2
 , z  0

R T
r

U
 x, y, z  dS


 U
 r
 x , y  
T
 x, y  

x, y, 2  x  y
2
2  x 
nˆ 
nˆ 
r
x


2,
r
y

2 x
2

x
r
y
d xd y

2
 y 
2 x
2
2
2

1  4x  4 y
 f 
 f 
1 
 

 x 
 y 
1   2 x    2 y 
2
2
r
2
2
 U  x , y , z  dS   U
R T

T
2

R T

U dS  3


2 x
r
 r  x , y  

d xdy
x y
2


2 
r
2 x
2
 2  x2  y2


1  4 x  4 y  dydx

2
2
E sta integral doble es m uy com plicada en coordenadas
cartesianas, hay que pasar a coo rdenadas polares.
2 x
2

3

2


2 
2 x
2
 2  x2  y2

x   co s 

1  4 x  4 y  d xd y

y   sin 
2 2
3
0
 2   
2
0
1  4   d  d
2
2
2
2 2
3
0
 2   
2
1  4   d  d 
2
0
2

 3 2 
2

2
1  4 d 
2
0
 d
0
2
 6
 2   
2
1  4 d 
0
 37  111
 6 


10
 20 
2


R T
U  x , y , z  dS ;
R T

 U  x , y , z  dS   U


T


2
r
r
 r  x , y  

dxdy
x y
111
U
x
,
y
,
z
dS





10
 
R T

z 2 x  y
U  x, y, z   3z
U :R  R
3
R T
   x , y , z 
2
 , z  0
S ea F u n cam p o vecto rial
F :D  R  R
3
sea R  T

3
3
es u n a su p erficie en R cu ya
d escrip ció n p aram étrica es
r  u , v  co n
u,v   T

R T
F  dS 

R T

F  r  u , v    nˆ
T

r
u
3

r
v
es u n a su p erficie en R cu ya
d escrip ció n p aram étrica es
r  u , v  co n
u, v   T
dudv

S T
r
ˆ


F
r
u
,
v

n

dudv


 

u v
T
F  dS 

F :R  R
3
S T  
r
F  x, y, z    x, 2 x  y, z 
3
 x , y , z  x
2
 y  z  1, z  0
2
2

S T



 x , y , z  x  y  z  1, z  0
2
x  co s u co s v
u   0, 2 
r
u
r
v

2
2
y  sin u co s v

z  sin v
v   0,  / 2 
   sin u co s v , co s u co s v , 0 
   co s u sin v ,  sin u sin v , co s v 
S T  

 x , y , z  x  y  z  1, z  0
2
2
2

r  u , v    cos u cos v , sin u cos v , sin v 
u   0, 2 
r
u

r
v

v   0,  / 2 
ˆj
kˆ
  sin u cos v
cos u cos v
0
 cos u sin v
 sin u sin v
cos v
iˆ
 cos vr  u , v 
S T



 x , y , z  x  y  z  1, z  0
2
2
2
r  u , v    co s u co s v , sin u co s v , sin v 
u   0, 2 
r
u
r
u
r

r
v
r
nˆ   u
r
u
v   0,  / 2 
 co s vr  u , v 
v




 co s v r  u , v 
r
v
r
v
 rˆ  u , v 


S T
 F  r  u , v    nˆ
F  dS 

T
F :R  R
3
3
x  cos u cos v
u   0, 2 

S T
u

r
v
dudv
F  x, y, z    x, 2 x  y, z 
y  sin u cos v
z  sin v
v   0,  / 2 
F  dS 

 / 2 2


r
 
0
0
  cos u cos v ,  2 cos u cos v  sin u cos v , sin v   

 dudv
  cos v  cos u cos v , sin u cos v , sin v 


S T
r r
ˆ


F
r
u
,
v

n
      u   v dudv
T
F  dS 

F :R  R
3
3
x  cos u cos v
u   0, 2 

S T
z  sin v
v   0,  / 2 

 
0
0
 / 2 2

y  sin u cos v
F  dS 
 / 2 2


F  x, y, z    x, 2 x  y, z 
 
0
0
  cos u cos v ,  2 cos u cos v  sin u cos v , sin v   

 dudv
  cos v  cos u cos v , sin u cos v , sin v 

 cos 2 u cos 2 v  2 cos u sin u cos 2 v 
cos v 
 dudv
  sin 2 u cos 2 v  sin 2 v



S T
r r
ˆ


F
r
u
,
v

n
      u   v dudv
T
F  dS 

F :R  R
3
3
x  cos u cos v
u   0, 2 


F  x, y, z    x, 2 x  y, z 
y  sin u cos v
z  sin v
v   0,  / 2 
F  dS 
S T 
 / 2 2

 
0
 /2


0
cos v  cos u cos v  2 cos u sin u cos v  sin u cos v  sin v  dudv
2
2
2
2
2
2
0
2
cos vdv   cos u  2 cos u sin u  sin u  du 
3
2
0
2
 /2

0
2
cos v sin vdv  du
2
0
 /2

2
3
cos vdv
0

  cos
2
2
0

2
2
cos v sin vdv
0
2

2


cos u  2 cos u sin u  sin u du  0
2
2
 du
0
cos u  2 cos u sin u  sin u du  cos u sin u  cos u
2
0

u  2 cos u sin u  sin u du 
 /2
2
r r
ˆ
 F  dS   F  r  u , v    n  u   v dudv
S T 
T
F :R  R
3
3
x  cos u cos v
u   0, 2 


F  x, y, z    x, 2 x  y, z 
y  sin u cos v
z  sin v
v   0,  / 2 
F  dS 
S T 
 /2


2
cos vdv   cos u  2 cos u sin u  sin u  du 
3
2
0
0

0

0
 /2
 0  2
2
 /2
2
cos v sin v dv
2
cos v sin vdv  du 
2
0
 /2

S T
F  d S  2


2
co s v sin vd v
0
 co s v sin vd v 
2
1
3
 /2

0
co s v sin vd v 
2
3
sin v
1
3

S T

F  dS 

T
S T



F :R  R
F  r  u , v    nˆ

dudv
u v
2
F  dS 

2
2

F  x, y, z    x, 2 x  y, z 
3
x  co s u co s v
S T
r
 x , y , z  x  y  z  1, z  0
3

r
2
3
y  sin u co s v
z  sin v
S ea el cam po vectorial:
A:R  R
3
3

A  x, y, z   z, x, 3 y z
S ea la su p erficie d efin id a p o r el cilin d ro
x  y  16
2
2
situ ad a en el p rim er o ctan te
en tre z  0 y z  5
C alcular integral de superficie
2

S ea el cam po vectorial:
A:R  R
3
3

A  x, y, z   z, x, 3 y z
2

S ea la su p erficie d efin id id a p o r el cilin d ro
x  y  16
2
2
situ ad a en el p rim er o ctan te
en tre z  0 y z  5

r u , v   u , 16  u , v
u   0, 4 
2

v   0, 5 

r  u , v   u , 16  u , v
2

u   0, 4 
y v   0, 5 

r u , v   u , 16  u , v
u   0, 4 
r  u , v 
u
r  u , v 
v
2

v   0, 5 

  1, 


,0 
2
16  u

  0, 0,1 
u

r u , v   u , 16  u , v
2
u   0, 4 
v   0, 5 
iˆ
r
u

r
v

 1
0

ˆj
kˆ
u


u
0  
,  1, 0 
2
16  u


16  u
0
2
1

r  u , v   u , 16  u , v


 
u v 
r
r
2

u   0, 4  y v   0, 5 

,  1, 0 
2
16  u

u

S T
 A  r  u , v    nˆ
A  dS 

T
A:R  R
3


r u , v   u , 16  u , v


 
u v 
r
r
u

r
v
dudv
A  x, y, z   z, x, 3 y z
3
u   0, 4 
r
2

v   0, 5 

,  1, 0 
2
16  u

u
2


S T
A  dS 

 A  r  u , v    nˆ
T
4 5

   v , u ,  3 1 6  u 
2
0 0

  du  dv  

0
0
4
5
4
16  u
16  u
0
25
2
4

0
2
2

u
16  u
4
v
dudv 

,  1, 0  d u d v 
2
16  u

u
5
 udu  dv 
0
du  40  
2

r

u

d u  vd v 
0
u

v 

5
u
 
 
uv
r
0
25
2
4  40  90

r  u , v   u , 16  u , v



v u 
r
r
2


,1, 0 
2
16  u

u
u   0, 4  y v   0, 5 

S T
 A  r  u , v    nˆ
A  dS 

   v , u ,  3 1 6  u 
2
0 0

  du  dv 

0
0
4
5
4


0

25
2
u
T
4 5

r
uv
16  u
16  u

0
2
d u  vd v 
0
u
16  u

,1, 0  d u d v 
2
16  u


u
4
5
 udu  dv 
0
du  40 
2
v
dudv 

u 

5
u
4
2

v 


r
0
25
2
4  40  90
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Integrales de superficie