Movimiento en una dimensión
Curso de Física I
Contenido
Desplazamiento, velocidad y rapidez
Velocidad instantánea
Aceleración
Movimiento con aceleración constante
Caida libre
Tiempo(s)
Distamcia(m)
0.00
0
1.36
5
2.01
10
2.57
15
3.09
20
3.60
25
4.09
30
4.55
35
5.01
40
5.47
45
5.92
50
6.37
55
6.83
60
40
7.28
65
20
7.74
70
8.20
75
8.65
80
9.11
85
9.57
90
10.04
95
10.50
100
Carrera de 100 m
Carrera de 100m
120
Distancia (m)
100
80
60
0
0.00
5.00
10.00
Tiempo (s)
15.00
Desplazamiento
Se define el desplazamiento de una partícula que se mueve de
una coordenada inicial xi a una coordenada final xf como:
x  x f  xi
El desplazamiento puede ser positivo o negativo dependiendo de
los signos y magnitudes de las coordenadas inicial y final.
La distancia recorrida es la magnitud del desplazamiento.
Para el corredor anterior algunos distancias recorridas son:
Entre 0 y 2.01 s es 10 – 0 = 10 m
Entre 2.01 y 4.09 s es 30 – 10 = 20 m
Entre 5.01 y 10.5 s es 100 – 50 = 50 m
Rapidez media
La rapidez media es el cociente de la distancia total recorrida entre el
intervalo de tiempo que toma en recorrerla.
rapidez media 
distacia
total recorrida
in tervalo de tiempo
Para el corredor anterior:
Entre 0 y 2.01 s la rapidez es: 10/2.01 = 4.975 m/s
Entre 2.01 y 4.09 s la rapidez es: (30–10)/(4.09–2.01) = 9.615 m/s
Entre 5.01 y 10.5 s la rapidez es: (100–40)/(5.01–10.5) = 10.93 m/s
Velocidad
La velocidad promedio es
igual al desplazamiento total
por intervalo de tiempo total:
x(m)
v
x
t

x f  xi
3
t f  ti
2
x
1
La rapidez es la magnitud de
la velocidad
t
t(s)
1
2
3
Movimiento de una partícula a
velocidad constante.
La pendiente de las secantes es la magnitud de velocidad promedio
en el intervalo.
Carrera de 100m
120
Rapidez promedio:
Distancia (m)
100
5/(2.01–1.36) = 7.69
m/s
80
60
40
20
0
0.00
Rapidez promedio:
5.00
10.00
Tiempo (s)
15.00
5/1.36 = 3.68 m/s
Velocidad instantánea
La velocidad en cualquier
instante del tiempo se llama
velocidad instantánea.
vprom
x
v'prom
v’’prom
La figura muestra como cambia
vprom cuando t2 se aproxima a t1.
La velocidad instantánea en
cualquier instante está dada
como la pendiente de la tangente
a la gráfica posición-tiempo en
ese tiempo.
v
t1
t’’2 t'2 t2
t
La velocidad instantánea v al tiempo t1
es la pendiente de la tangente a la
curva en t1.
Esto se expresa
matemáticamente como
x
v  lim
t  0
x
t

dx
dt
es decir, la velocidad
instantánea es igual a la
derivada de la posición
respecto al tiempo.
v=0
v>0
v<0
t
La pendiente de la tangente puede
encontrarse tomando dos puntos sobre la
tangente. El signo de la velocidad
instantánea indica la dirección del
movimiento respecto al eje +x.
Proceso de límite
Se calcula la velocidad instantánea de una partícula cuando x(t)=3*t*t en t=3s
t
t
x vel. Promedio
3
1
21
21
x =6t t +3 t^2
3
0.5
9.75
19.5
3
0.25
4.6875
18.75
v =6t +3 t
3
0.125
2.296875
18.375
3
0.0625 1.13671875
18.1875
3
0.03125 0.565429688
18.09375
3
0.015625 0.281982422
18.046875
3
0.0078125 0.140808105 18.0234375
3 0.00390625 0.070358276 18.01171875
3 0.001953125 0.035167694 18.00585938
3 0.000976563 0.017580986 18.00292969
t
0.00
0.50
1.00
1.50
2.00
2.50
3.00
3.50
4.00
4.50
5.00
5.50
6.00
x
0.00
0.75
3.00
6.75
12.00
18.75
27.00
36.75
48.00
60.75
75.00
90.75
108.00
120.00
100.00
80.00
60.00
40.00
20.00
0.00
0.00
2.00
4.00
6.00
8.00
x = x(t+t)–x(t)
=3*(t+t)2–3t2
=3(t2+2tt+t2)–3t2
=6tt+3t2
Ejemplo: carrera de 100m
TIEMPOS EN UNA
CARRERA DE 100 M
Distancia(m) Tiempo(s)
0
0.00
5
1.36
10
2.01
15
2.57
20
3.09
25
3.60
30
4.09
35
4.55
40
5.01
45
5.47
50
5.92
55
6.37
60
6.83
65
7.28
70
7.74
75
8.20
80
8.65
85
9.11
90
9.57
95
10.04
100
10.50
Carrera de 100 m
120
100
80
60
40
20
0
0.00
Tangentes
2.00
4.00
6.00
8.00
10.00
12.00
Tarea
En 1971 Carl Lewis aventajó a Leroy
Burrel en los campeonatos mundiales de
Tokio, y estableció una nueva marca
mundial de los 100 m planos. En la tabla
de abajo aparecen los tiempos parciales
de los dos, a intervalos de 10 m. Calcule
la velocidad media de los dos
competidores entre 0 y 50m, 50 y 100 m,
y 0 y 100 m. Calcule la velocidad media
de cada uno a los 50 m tomando los
valores para 40 m y 60 m.
Distancia(m)
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Tiempo(s)
Lewis
Burrel
1.88
1.83
2.96
2.89
3.88
3.79
4.77
4.68
5.61
5.55
6.46
6.41
7.30
7.28
8.13
8.12
9.00
9.01
9.86
9.88
Aceleración
La aceleración promedio en un intervalo finito de tiempo se
define como
Aceleracio n promedio

Cambio en la velocidad
Intervalo de tiempo
a 
v
t
La aceleración tiene unidades de velocidad divididas por
unidades de tiempo, o sea, unidades de longitud por (tiempo)2.
La acelearción instantanea se define como:
a  lim
t 0
v
t

dv
dt
v(m)
xf
a = dv/dt
v
xi
t
aprom = v/t
t(s)
ti
tf
En una gráfica velocidad-tiempo, la pendiente de la línea que une dos
puntos es la aceleración promedio en ese intervalo de tiempo. La
aceleración instantánea en un tiempo dado es la pendiente de la tangente a
esa línea.
Graficos de x, v y a
Ejemplo
Un automóvil en muy mal estado solo puede acelerar hacia
adelante a una tasa constante de 0.5 m/s2. ¿Qué distancia deberá
recorrer para alcanzar las 50 mi/hr?
vf = 50mi/hr = (50mi/hr)(1609m/mi)(1hr/3600s) = 22.35 m/s
tf = vf /a = (22.35 m/s)/(0.5m/s2) = 44.69 s
Con la velocidad promedio podemos calcular la distancia
recorrida. En este caso la velocidad promedio es
vp = (vf + vi)/2 = vf /2
xf = vp tf = (vf /2) tf = (22.35/2 m/s)(44.69s) = 499.41 m
Gráficos x, v, a vs t
Una corredora
Una corredora de 100m acelera hasta llegar a 10 m/s a los 4 s de
haber arrancado, mantiene es velocidad hasta los 8 s, y cuando sabe
que va a ganar desacelera hasta 8m/s hasta el final de la carrera, que
dura 12.7 s. ¿Cua´es la aceleración media en cada intervalo?
Tarea
5. Obtenga la aceleración media en cada uno de los siguientes
casos:
a) un avión Jumbo DC10 parte del reposo y alcanza su
velocidad de despegue a 360 km/h en 50 s;
b) un avión jet Corsair naval llega a un portaaviones a 180 km/h
y llega al reposo en 4 s por una red;
c) un cohete alcanza 1440 km/h en 2s.
d) Un estudiante alcanza los 8 m/s en 3s.
Movimiento con aceleración
Además, se cumple que
constante
Si la aceleración es constante
se pueden hacer las siguientes
simplificaciones:
a
v f  vi
t f  ti
Si en ti = 0 v = vo, entonces
a
v  vo
t
o v  v o  at
v
vo  v
(2)
2
De (1) y (2) con x = xo en t = 0
x  xo 
1
2
( v  v o )t
(3)
De (1) y (3)
x  xo  vot 
1
2
at
2
(4)
(1) Eliminando t en (1) y (3)
v  v0  2 a ( x  x0 )
2
2
(5)
Ecuaciones de cinemática
v  v o  at
v
vo  v
2
x  xo 
1
2
( v  v o )t
v  v0  2 a ( x  x0 )
2
2
x  xo  vot 
1
2
at
2
Ejemplo
Un nuño rueda una pelota de hule en un corredor alfombrado. Le imprime una velocidad
inicial de 2 m/s, y la alfombra lo desacelera de forma constante a 0.2 m/s2. ¿Qué
distancia recorre antes de detenerse y cuanto tiempo le toma detenerse?
Datos
v0 = 2 m/s
a = –0.2 m/s2
v = 0.0 m/s
Para encontrar la distancia podemos usar
v  v  2 a ( x  x0 )
2
2
0
0 = (2 m/s)2+ 2(–0.2 m/s2)(x – 0 m)
x = 10 m
Para encontrar el tiempo podemos usar
v  v o  at
0 = (2 m/s)+ (-0.2 m/s2)t
t = 10 s
Tarea
Un automóvil viaja a 25 mi/h, y debe alcanzar como mínimo
45 mi/h en un carril de acceso de 300 m. ¿Cuál debe ser la
aceleración constante del vehículo?
v  v o  at
v
vo  v
2
x  xo 
1
2
( v  v o )t
x  xo  vot 
1
2
at
2
v  v0  2 a ( x  x0 )
2
2
Caida libre
La caída libre de un cuerpo es un caso de movimiento con
aceleración constante. Las ecuaciones que describen este
movimiento son
v  v o  gt
y  yo 
1
2
( v  v o )t
Donde g = 9.8 m/s2.
y  yo  vot 
1
2
gt
2
v  v0  2 g ( y  y 0 )
2
2
Ejemplo
¿Cuánto tiempo tarde en caer una pelota desde una altura de
100m? ¿Cuál es la velocidad de la pelota al momento de tocar el
suelo?
0 – 100 = (0 m/s)t – ½(9.8 m/s2)t2
Datos
t = 4.52 s
v0 = 0 m/s
Para encontrar v usamos:
y0 = 100 m
y=0m
v  v o  gt
Usamos:
y  yo  vot 
1
2
gt
2
v = 0 m/s – (9.8 m/s2)(4.52 s) = –44.3 m/s
Ejemplo
En el ejemplo anterior ¿qué tiempo tarda en caer de 100 m a 75 m? ¿de 75m a
50 m? ¿de 50 m a 25 m? ¿de 25 m a 0 m?
2
y  y o  v o t  12 gt
Usamos:
De 100 a 75
De 100 a 50
De 100 a 25
De 100 a 0
Las diferencias son:
De 100 a 75
De 75 a 50
De 50 a 25
De 25 a 0
t2 = 2(100 m – 75 m)/(9.8 m/s2) = 5.10 s2
t = 2.26 s
t = 3.19 s
t = 3.91 s
t = 4.52 s
t = 2.26 s
t = 0.93 s
t = 0.72 s
t = 0.61 s
Ejemplo
En el ejemplo anterior ¿Cuáles son las posiciones de la pelota en t igual a 1 s, 2
s, 3 s y 4s?
2
y  y o  v o t  12 gt
Usamos:
Con y = 75 m, 50 m y 25 m y y0 = 100 m
t=1
y = (100 m) + (–9.8 m/s2)(1 s) 2/2 = 95.1 m
t=2
y = (100 m) + (–9.8 m/s2)(2 s) 2/2 = 80.4 m
t=3
y = (100 m) + (–9.8 m/s2)(3 s) 2/2 = 55.9 m
t=4
y = (100 m) + (–9.8 m/s2)(4 s) 2/2 = 21.6 m
Ejemplo
Una flecha disparada verticalmente hacia arriba toca tierra 8 s más
tarde. Halle: (a) su máxima altitud; (b) su velocidad inicial.
La flecha subió durante 4 s y bajo en los 4 s
restantes. En 4 s un objeto cae
h = (9.8 m/s2)(4 s) 2/2 = 78.4 m
La velocidad que adquiere es
v = 0 m/s – (9.8 m/s2)(4.0 s) = –39.2 m/s
La velocidad inicial es de igual magnitud
Tarea
Una pelota de tenis es arrojada desde una altura de 5 m y rebota a
una altura de 3.2 m. Si esta en contacto con el piso durante 0.036
s, ¿Cuál es su aceleración promedio durante ese periodo?
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