1) Un móvil realiza un movimiento rectilíneo cuyo gráfico de posición en
función del tiempo es:
Sabiendo que este gráfico es un arco de parábola y que la velocidad
en t=0s es de 3m/s, justifique de qué tipo de movimiento se trata.
Escriba las ecuaciones horarias del movimiento.
Realice los gráficos de vx(t) y de ax(t) correspondientes a este
movimiento.
Veamos primero a qué conclusiones podemos arribar a partir del gráfico de
posición en función del tiempo que nos presentan.
1. Podemos observar que el gráfico NO ES una recta, lo que implica que el
movimiento NO ES un MRU.
2. La recta tangente al gráfico de posición en función del tiempo en todo el
intervalo exhibido tiene pendiente positiva (la posición x aumenta), es decir
que la velocidad es positiva.
3. Además, a medida que transcurre el tiempo la velocidad aumenta (la
pendiente de la recta tangente es cada vez mayor) lo que implica que la
aceleración es positiva.
4. Por último nos dicen que este
gráfico de posición en función
del tiempo es un arco de
parábola. Esto quiere decir que
la posición es una función
cuadrática del tiempo y por lo
tanto el movimiento es un
MRUV.
Como ya vimos que el movimiento es un MRUV, sabemos que las
ecuaciones horarias tienen que tener la forma:
Eligiendo t0=0s y usando la información que nos provee el enunciado y la
que nos proporciona el gráfico sabemos que:
Para poder terminar de escribir las ecuaciones horarias de este movimiento
nos falta conocer el valor de la aceleración.
A partir del gráfico sabemos que x(10s)=120m. Reemplazando esta
información en la ecuación horaria de posición tenemos que:
Con lo cual las ecuaciones horarias correspondientes a este movimiento
son:
Nos piden ahora hacer los gráficos de vx(t) y de ax(t) correspondientes a este
movimiento.
Como el movimiento es un MRUV entonces la aceleración es constante.
Además ya hallamos su valor (ax=2m/s2), con lo cual el gráfico de
aceleración en función del tiempo es:
Como el movimiento es un MRUV entonces el gráfico de velocidad en
función del tiempo es una recta cuya pendiente es la aceleración.
Para graficar una función lineal alcanza con ubicar dos puntos distintos que
pertenezcan al gráfico y luego unirlos con una recta.
Ya sabemos que vx(0s)=3m/s y además tenemos la ecuación horaria que
nos dice cuál es el valor de vx para todo instante de tiempo.
Entonces usando esta ecuación averiguo el valor de vx(t) para un instante
distinto a t=0s, por ejemplo t=4s.
2) Un móvil realiza un movimiento rectilíneo cuyo gráfico de posición en
función del tiempo es:
Justifique de qué tipo de movimiento se trata. Escriba las ecuaciones
horarias del movimiento.
Realice los gráficos de vx(t) y de ax(t) correspondientes a este
movimiento.
Veamos primero a qué conclusiones podemos arribar a partir del gráfico de
posición en función del tiempo que nos presentan.
1. Podemos observar que el gráfico es una recta y por lo tanto la
pendiente de la recta tangente a este gráfico de posición en función del
tiempo (es decir la velocidad) es siempre la misma. Esto que implica que
el movimiento es un MRU.
2. También podemos ver que el valor de la posición x disminuye con el
transcurso del tiempo, es decir que la velocidad es negativa.
Como ya vimos que el movimiento es un MRU, sabemos que las ecuaciones
que lo describen tienen que tener la forma:
Eligiendo t0=0s y usando la información que nos proporciona el gráfico
sabemos que:
Para poder terminar de escribir las ecuaciones horarias de este movimiento
nos falta conocer el valor de la velocidad.
A partir del gráfico sabemos que x(10s)=-10m. Reemplazando esta
información en la ecuación horaria de posición tenemos que:
Con lo cual las ecuaciones horarias correspondientes a este movimiento
son:
Nos piden ahora hacer los gráficos de vx(t) y de ax(t) correspondientes a este
movimiento.
Como el movimiento es un MRU entonces la velocidad es constante.
Además ya hallamos su valor (vx=-2m/s), con lo cual el gráfico de velocidad
en función del tiempo es:
Hagamos ahora el gráfico de ax(t) correspondiente a este movimiento.
Como la velocidad es constante, entonces la aceleración es nula (la
aceleración indica el cambio de velocidad con el transcurso del tiempo).
Otra forma de verlo es que la aceleración es la pendiente de la recta
tangente al gráfico de velocidad en función del tiempo. En este caso el
gráfico de velocidad es una recta horizontal y la pendiente de una recta
horizontal es igual a 0.
Con lo cual el gráfico de aceleración en función del tiempo es:
3) Un móvil realiza un movimiento rectilíneo cuyo gráfico de velocidad en
función del tiempo es:
Justifique de qué tipo de movimiento se trata. Sabiendo que la posición
en t=0s es de 2m, escriba las ecuaciones horarias del movimiento.
Realice los gráficos de x(t) y de ax(t) correspondientes a este
movimiento.
Veamos primero a qué conclusiones podemos arribar a partir del gráfico de
velocidad en función del tiempo que nos presentan.
1. Podemos observar que la velocidad NO ES constante, lo que implica
que el movimiento NO ES un MRU.
2. Podemos observar que el gráfico es una recta y por lo tanto la
pendiente de la recta tangente a este gráfico de velocidad en función
del tiempo (es decir la aceleración) es siempre la misma. Esto que implica
que la aceleración es constante y por lo tanto el movimiento es un MRUV.
3. También podemos ver
que el valor de la
velocidad vx disminuye
con el transcurso del
tiempo, es decir que la
aceleración es negativa.
Como ya vimos que el movimiento es un MRUV, sabemos que las
ecuaciones horarias tienen que tener la forma:
Eligiendo t0=0s y usando la información que nos dan en el enunciado y la
que nos proporciona el gráfico sabemos que:
Para poder terminar de escribir las ecuaciones horarias de este movimiento
nos falta conocer el valor de la aceleración.
A partir del gráfico sabemos que vx(10s)=-2m/s. Reemplazando esta
información en la ecuación horaria de velocidad tenemos que:
Con lo cual las ecuaciones horarias correspondientes a este movimiento
son:
Nos piden ahora hacer los gráficos de x(t) y de ax(t) correspondientes a este
movimiento.
Como el movimiento es un MRUV entonces la aceleración es constante.
Además ya hallamos su valor (ax=-0,5m/s2), con lo cual el gráfico de
aceleración en función del tiempo es:
Hagamos ahora el gráfico de x(t) correspondiente a este movimiento.
Como el movimiento es un MRUV sabemos que este gráfico debe ser una
parábola. Este gráfico lo realizaremos en forma aproximada ya que no
tenemos una regla en forma de parábola.
Una forma de hacer este gráfico es confeccionar una tabla de valores
utilizando la ecuación horaria de posición:
Marcar luego estos puntos en
el gráfico.
Y por último unirlos con una curva.
Otra forma de hacer el gráfico de x(t) correspondiente a este movimiento.
Como el movimiento es un MRUV sabemos que este gráfico debe ser una
parábola.
2),
Por
Primero,
Luego
último
analizamos
usando
miramos
lacaso
el
ecuación
qué
signo
dees
horaria
tiene
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en alguno
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que
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si
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de
Como
Como
en
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nuestro
nuestro
caso
vsigno
la
aceleración
es
(posición,
vxnegativa
(0s)=3m/s
()ala
recta
tangente
en la
x(0s)
x=-0,5m/s
posición
aceleración
en
es
positiva
entonces
del intervalo
la parábola
de tiempo
debe
queser
nos
así:
interesa.
ejemplo
. Siextremos
vx(0s)
positiva
entonces
la pendiente
de
la recta
la parábola
debe
ser es
así:
t=0s
serát=0s
así:los
tangente en t=0s debe ser positiva:
Si vx(0s)=0m/s la recta tangente en
debe ser horizontal:
Y sit=0s
la aceleración
es negativa debe ser así:
Y Si vx(0s) es negativa:
Y marcamos esos puntos en el gráfico.
4) Un móvil realiza un movimiento rectilíneo cuyo gráfico de aceleración en
función del tiempo es:
Justifique de qué tipo de movimiento se trata. Sabiendo que x(0s)=0m y
que el móvil partió del reposo, escriba las ecuaciones horarias del
movimiento.
Realice los gráficos de x(t) y de vx(t) correspondientes a este
movimiento.
Como la aceleración no cambia con el transcurso del tiempo, es decir que
es constante, el movimiento es un MRUV.
En consecuencia, las ecuaciones horarias tienen la forma:
Eligiendo t0=0s y usando la información que nos provee el enunciado y la
que nos proporciona el gráfico podemos escribir las ecuaciones horarias:
Nos piden ahora hacer los gráficos de x(t) y de vx(t) correspondientes a este
movimiento.
Como el movimiento es un MRUV entonces el gráfico de velocidad en
función del tiempo es una recta cuya pendiente es la aceleración.
Para graficar una función lineal alcanza con ubicar dos puntos distintos que
pertenezcan al gráfico y luego unirlos con una recta.
Ya sabemos que vx(0s)=0m/s y además tenemos la ecuación horaria que
nos dice cuál es el valor de vx para todo instante de tiempo.
Entonces, usando esta ecuación averiguo el valor de vx(t) para un instante
distinto a t=0s, por ejemplo t=7s.
Hagamos ahora el gráfico de x(t) correspondiente a este movimiento.
Como el movimiento es un MRUV sabemos que este gráfico debe ser una
parábola.
Obtenemos primero la posición al comienzo y al final del intervalo:
Marcamos esos puntos en el gráfico.
Además, en nuestro caso
vx(0s)=0m/s, entonces la recta
tangente al gráfico en t=0s
debe ser horizontal:
En nuestro caso la aceleración
es positiva (ax=1m/s2), entonces
la parábola debe ser
cóncava:
5) Un móvil realiza un movimiento rectilíneo uniformemente variado a partir
del instante t=0s. Sabiendo que: x(0s)=-4m, vx(0s)=1m/s y vx(10s)=-2m/s,
escriba las ecuaciones horarias del movimiento.
Realice los gráficos de x(t), vx(t) y ax(t) correspondientes a este movimiento.
Hagamos primero el gráfico de vx(t).
Como el movimiento es un MRUV entonces sabemos que el gráfico de
velocidad en función del tiempo es una recta. Y nos dan como dato en el
enunciado dos puntos de ese gráfico.
Los marco en el gráfico y los uno con una recta.
A partir de este punto la resolución es igual a la del ejercicio 3. Exhibo a
continuación las respuestas.
Averiguo la aceleración:
Entonces, las ecuaciones horarias correspondientes a este movimiento son:
Y los gráficos de x(t) y de ax(t) correspondientes a este movimiento son:
6) Para los cinco ejercicios anteriores,
analice:
* en qué intervalos de tiempo el movimiento se da hacia los x positivos,
en cuáles se da hacia los x negativos y en qué instantes se produce
el cambio de sentido de movimiento (¿cuál es el valor de vxen esos
instantes?)
* en qué intervalos de tiempo la rapidez aumenta y en cuáles
disminuye.
calcule:
* el desplazamiento en el intervalo de 0s a 10s.
* la velocidad promedio correspondiente al intervalo de 0s a 10s.
* la distancia recorrida en el intervalo de 0s a 10s.
Analicemos el sentido de movimiento.
El movimiento se da hacia los x positivos si vx(t)>0, es decir cuando el valor
de la posición aumenta con el transcurso del tiempo, y hacia los negativos si
vx(t)<0, es decir cuando el valor de la posición disminuye con el tiempo.
Para el primero de los movimientos estudiados tenemos el siguiente gráfico
de vx(t).
En este gráfico se puede ver claramente que la velocidad es siempre
positiva y por lo tanto en todo este intervalo [0s; 10s] el movimiento se da
hacia los x positivos.
Consecuentemente, puede observarse en el gráfico de x(t) que la posición
aumenta en todo el intervalo de tiempo considerado.
Para el segundo de los movimientos estudiados tenemos el siguiente gráfico
de vx(t).
En este gráfico se puede ver que la velocidad es siempre negativa, de
hecho es constantemente igual a -2m/s y por lo el móvil siempre se mueve
hacia los x negativos.
Consecuentemente, puede observarse en el gráfico de x(t) que la posición
disminuye en todo el intervalo de tiempo considerado.
Para el tercero de los movimientos estudiados tenemos el siguiente gráfico
de vx(t).
En este gráfico se puede ver que vx es positiva en el intervalo de [0s;6s), es
decir que en ese intervalo el móvil se mueve hacia los x positivos, y que es
negativa en el intervalo (6s;10s] y por lo tanto el móvil se mueve hacia los x
negativos.
Puede observarse también en el gráfico de x(t) que la posición aumenta en
el intervalo [0s;6s) y disminuye en el intervalo (6s;10s].
El cambio de sentido de movimiento se da cuando vx=0. Por lo general es
necesario utilizar la ecuación horaria para saber en qué valor de t ocurre.
Para el cuarto de los movimientos estudiados tenemos el siguiente gráfico
de vx(t).
En este gráfico se puede ver claramente que la velocidad es positiva para
todo el intervalo (0s; 10s] y por lo tanto el movimiento se da hacia los x
positivos. A tiempo t=0s el móvil se halla en reposo con lo cual no se
desplaza ni hacia los x positivos ni hacia los negativos.
Consecuentemente, puede observarse en el gráfico de x(t) que la posición
aumenta en todo el intervalo de tiempo considerado.
Para el quinto de los movimientos estudiados tenemos el siguiente gráfico
de vx(t).
En este gráfico se puede ver que vx inicialmente es positiva y al finalizar el
intervalo es negativa. Como el cambio de sentido de movimiento se da
cuando vx=0, utilicemos la ecuación horaria para saber en qué valor de t
ocurre.
En conclusión el móvil se mueve hacia los x positivos en [0s;3,33s), hacia los
negativos en el intervalo (3,33s;10s] y el cambio en el sentido de movimiento
se da en t=3,33…s
Puede observarse también en el gráfico de x(t) que la posición aumenta en
el intervalo [0s;3,33s) y disminuye en el intervalo (3,33s;10s].
Analicemos ahora la rapidez.
Hay básicamente dos formas de hacerlo. Como ya vimos en clase, la
rapidez, que es igual al módulo de la velocidad, aumenta cuando la
velocidad y la aceleración tienen igual signo y disminuye cuando tienen
signo opuesto.
Primera forma de hacerlo: teniendo el gráfico de vx(t). Realizamos un gráfico
del módulo de la velocidad, es decir de la rapidez.
Segunda forma de hacerlo: analizar en qué intervalos de tiempo vx y ax
tienen igual signo y en cuáles tienen signo dstinto.
Para el primero de los movimientos estudiados tenemos el siguiente gráfico
de vx(t) y de la rapidez (módulo de vx).
Vemos claramente que la rapidez aumenta en todo el intervalo [0s;10s].
A partir del gráfico de ax(t) se observa
que en el intervalo [0s;10s] tanto la
aceleración como la velocidad son
positivas, es decir que tienen igual
signo, lo que implica que la rapidez
aumenta en todo el intervalo.
Como el segundo de los movimientos estudiados es un MRU, la velocidad es
constante y por lo tanto su módulo, es decir la rapidez, también lo es.
Para el tercero de los movimientos estudiados tenemos el siguiente gráfico
de vx(t) y de la rapidez (módulo de vx).
Vemos claramente que la rapidez disminuye de 0s a 6s y aumenta de 6s a 10s.
En este caso la aceleración es constante y vale siempre ax=-0,5m/s2, es decir
que es siempre negativa. Vemos en el gráfico de vx(t) que la velocidad es
positiva en el intervalo [0s;6s], en consecuencia ax y vx tienen distinto signo y
por lo tanto la rapidez disminuye. De 6s a 10s tanto ax como vx tienen igual
signo, lo que implica que la rapidez aumenta en ese intervalo.
Para el cuarto de los movimientos estudiados tenemos el siguiente gráfico
de vx(t) y de la rapidez (módulo de vx).
Vemos claramente que la rapidez aumenta en todo el intervalo [0s;10s].
En este caso la aceleración es constante y vale siempre ax=1m/s2, es decir
que es siempre positiva y la velocidad también lo es, en consecuencia ax y
vx tienen en este caso siempre el mismo signo y por lo tanto la rapidez
aumenta en todo el intervalo.
Para el quinto de los movimientos estudiados tenemos el siguiente gráfico
de vx(t) y de la rapidez (módulo de vx).
Vemos que la rapidez primero disminuye y luego aumenta.
En este caso la aceleración es constante y vale siempre ax=-0,3m/s2, es decir
que es siempre negativa. Vemos en el gráfico de vx(t) que la velocidad
primero es positiva (ax y vx tienen distinto signo y por lo tanto la rapidez
disminuye), en un cierto instante se hace 0 y luego es negativa (ax y vx
tienen igual signo y por lo tanto la rapidez aumenta).
Nos faltaría averiguar en qué instante pasa de disminuir a aumentar y eso
ocurre cuando la velocidad cambia de signo, es decir cuando se invierte el
sentido de movimiento, y esto ya lo hicimos:
Por lo tanto la rapidez disminuye en [0s; 3,33s) y aumenta en (3,33s;10s].
Calculemos ahora el desplazamiento, la velocidad promedio y la distancia
recorrida para cada movimiento.
El desplazamiento realizado en un cierto intervalo de tiempo [tinicial;tfinal] es
el cambio neto de posición: Dx=x(tfinal)-x(tinicial).
Una forma de hacerlo si uno tiene el gráfico de x(t) es fijarse cuál es el valor
de la posición al principio del intervalo y al final del intervalo y luego hacer
la diferencia.
Si uno tiene la ecuación horaria de x(t) puede hallar cuál es el valor de la
posición al principio del intervalo y al final del intervalo y luego hacer la
diferencia. Por ejemplo, para el segundo movimiento:
ecuación horaria
Por último, otra forma de calcular el desplazamiento si uno tiene el gráfico
de vx(t) es calcular el área encerrada entre el gráfico y el eje tomando
como positivas las que están por arriba del eje y negativas las que están por
debajo. Por ejemplo para el tercer movimiento tenemos:
Procediendo de cualquiera de esas tres formas se puede calcular al
desplazamiento para los dos movimientos restantes:
Para el cuarto: Dx=50m
Y para el quinto: Dx=-5m
La velocidad media o promedio en un intervalo de tiempo [tinicial;tfinal] es la
velocidad que debería tener para realizar el mismo desplazamiento en el
mismo intervalo de tiempo si el movimiento fuese un MRU y por lo tanto se
calcula:
La velocidad media para cada uno de los cinco movimientos en el intervalo
[0s;10s] es:
1) vxmedia=13m/s
2) vxmedia=-2m/s
3) vxmedia=0,5m/s
4) vxmedia=5m/s
5) vxmedia=-0,5m/s
Donde lo único que hicimos fue dividir el
desplazamiento por el lapso de tiempo
correspondiente que en este caso es de 10s.
Por último nos falta calcular la distancia recorrida.
Hay dos formas fáciles de hacerlo.
Si un movimiento es rectilíneo y el sentido de movimiento es siempre el
mismo entonces la distancia recorrida es igual al módulo del
desplazamiento.
Por ejemplo, para el primer movimiento, como es rectilíneo y siempre se
mueve hacia los positivos, tenemos que:
Distancia recorrida = │Dx│=130m
Si en algún momento cambia el sentido de movimiento siempre podemos
subdividir el intervalo de forma tal que en cada parte se esté desplazando
siempre en un mismo sentido. Por ejemplo, para el tercer movimiento
tenemos que:
Distancia recorrida de 0s a 6s= │x(6s)-x(2s)│= │11m-2m│ =9m
Distancia recorrida de 6s a 10s= │x(10s)-x(6s)│= │7m-11m│ =4m
Distancia total de 0s a 10s =9m+4m=13m
Por último, la otra forma de calcular la distancia recorrida si uno tiene el
gráfico de vx(t) es calcular el área encerrada entre el gráfico y el eje
tomando todas las áreas como positivas. Por ejemplo, calculemos
nuevamente la distancia recorrida para el tercer movimiento siguiendo este
camino:
La distancia recorrida para los movimientos restantes es:
2) Distancia recorrida = 20m
4) Distancia recorrida = 50m
5) Distancia recorrida = 8,33…m
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