DIPLOMADO EN FINANZAS
Módulo: Matemáticas Financieras
Instructor: Dr. Homero Zambrano
Fberero de 2011
1
MÓDULO
Matemáticas
Financieras
2
MATEMATICAS FINANCIERAS:
El valor del dinero a través del
tiempo.
3
Valor del dinero en el tiempo
q Esto significa que cantidades iguales de
dinero no tienen el mismo valor, es decir,
no son equivalentes, si se encuentran en
puntos diferentes en el tiempo. ¿Porqué?
4
Valor del dinero en el tiempo
• Ejemplo: ¿Cuánto valen $1000 pesos a recibirse en exactamente
un año el día de hoy? ¿Y si los recibimos en 2,…, n años?
• Relación Valor Presente (VP), tasa de descuento, y la tasa
de interés.
• ¿Y la inflación? → (1 + inom) = (1 + ireal).(1 + E(f))
• Ejemplo: Supongamos que tomamos un préstamo de $100 para
un año. Sin inflación pagamos un interés de 10% => Al final del
año pagamos $110. Sin embargo, si el nivel de inflación (f)
esperada es de 50% necesitamos desembolsar $165.
• La tasa nominal es la tasa que normalmente observamos.
5
Equivalencia
$115
Un año
Tasa de interés del 15%
$100
6
Interés simple
- Es la cantidad generada sobre una inversión o
préstamo en donde los intereses generados
en los primeros períodos no se incorporan al
capital.
- El monto de los intereses de cada período
permanece constante.
7
Fórmulas:I = P * i * n
F=P+I
F = P (1+ i*n)
Nomenclatura:
P: Cantidad inicial, principal, actual o
F: Cantidad Futura
I : Intereses totales
i : Tasa de interés
n: Número de periodos
presente
8
Interés simple
¿Cuál sería el monto final que se deberá pagar si se
obtiene un préstamo de $1,000 por 30 días a una
tasa de interés simple mensual del 4%?
F
n = 1 mes
i = 4% mensual
$1,000
F = $1,000 * ( 1 + ( 0.04 * 1 )) = $1,040
9
Interés simple
¿Cuál será el monto que se acumulará al final de un año
si el préstamo se mantiene por ese período?
F
n = 12 meses
i = 4% mensual
$1,000
F = $1,000 * ( 1 + ( 0.04 * 12 )) = $1,480
10
Interés simple
¿A qué tasa de interés la cantidad de $40,000 se
convertirá en $42,400 en nueve meses?
n = 9 meses
$42,40
0
i=?
$40,000
i = F - P = $42,400 - $40,000 = 0.0067
P*n
$40,000 * 9 meses
i = 0.67% mensual
11
¿Qué suma debe ser invertida al 15% anual para tener
$20,000 dentro de seis meses y quince días?
$20,000
n = 6.5 meses
i = 15% anual
P
i = 15% anual = 1.25% mensual
P=
F
=
$20,000
= $18,497.11
1 + (i * n)
1 + (0.0125 * 6.5)
12
• Usted pagó $450,000 por un pagaré de $400,000
firmado el 16 de mayo de 199X a una tasa del
42% anual. ¿Que plazo transcurrió?
$450,000
n = ?
i = 42% anual
$400,000
n = F - P = $450,000 - $400,000 = 0.2976 años
P*i
$400,000 * 0.42
n = 107.14 días => que correspondería al 1°
de septiembre de 199X
13
Interés compuesto
- A diferencia del interés simple, en el interés
compuesto los intereses de los primeros
períodos se acumulan al capital para
generar
intereses
en
los
períodos
subsiguientes.
- Los intereses de un período serán menores
que los calculados en períodos posteriores.
14
Interés compuesto
Fórmula:
F = P *(1+ i)n
Nomenclatura:
P: Cantidad inicial, principal, actual o presente
F: Cantidad futura
i : Tasa de interés
n: Número de periodos
15
Interés compuesto
Explicación Numérica
P = $1,000
n = 2 años
i = 10% anual
Año
1
2
Intereses
$100
110
Adeudo inicial
$1,000
1,100
Adeudo final
$1,100
1,210
16
Si se realiza una inversión de $1,000 al 4% mensual,
que se renovará durante 12 meses, ¿cuál será el monto
al final del año?
F
n = 12 meses
i = 4% mensual
$1,000
F = $1,000 * ( 1 + 0.04 )12 = $1,601.03
17
Valor presente
q Un valor presente siempre es menor que el valor futuro,
porque sobre el valor presente se van a acumular intereses
hasta llegar a la fecha futura1.
P=
F
.
( 1 + i )n
P = F ( P/F, i%, n )
1
Salvo en tasas de interés negativas.
18
Valor futuro
La fórmula de valor futuro será:
F = P ( 1 + i )n
F = P ( F/P, i%, n )
La fórmula de la tasa de interés será:
i = ( F/P )1/n - 1
19
Valor presente y valor futuro
¿Qué cantidad se debe depositar ahora en una cuenta de
inversión que gana el 33% anual para que al final del tercer
año se tenga $35,000?
$35,000
n = 3 años
i = 33% anual
P
P=
$35,000
= $14,876.92
( 1 + 0.33 ) 3
20
Valor presente y valor futuro
• Una persona está en posibilidad de invertir ahora $8,000
con el fin de pagar obligaciones futuras de $10,500. ¿Cuál
es la tasa requerida para conseguir esa cantidad en 5
años?
$10,500
n = 5 años
i= ?
$8,00
0
i = ( $10,500/$8,000 )1/5 - 1 = 0.0559 => 5.59% anual
21
Anualidades constantes
- Es un flujo de efectivo constante que se paga
o se cobra cada cierto período.
- Las cantidades deben ser iguales y el intervalo
de tiempo entre ellas siempre es el mismo.
- Los intereses se acumulan una vez cada
período.
22
Las anualidades pueden clasificarse en:
– Anualidades ordinarias. Cuando:
m
m
La primera anualidad está un período después
que el presente, o;
La última anualidad está junto con el futuro.
– Anualidades anticipadas. Cuando:
m
m
La primera anualidad está junto con el presente,
o;
La última anualidad está un período antes que el
futuro.
23
Anualidades ordinarias
P=A*
( 1 + i )n - 1
( 1 + i )n * i
P = A ( P/A, i%, n )
P=
A=
i =
n=
valor presente
anualidad
tasa de interés para un solo período
número de períodos
24
F = A*
( 1 + i )n - 1
i
F = A ( F/A, i%, n )
F=
A=
i =
n=
valor futuro
anualidad
tasa de interés para un solo período
número de períodos
25
A = P * ( 1 + i )n * i
( 1 + i )n - 1
A = P ( A/P, i%, n )
A=F*
i
( 1 + i )n - 1
A = F ( A/F, i%, n )
26
Anualidades anticipadas
P=A*
( 1 + i )n – 1
( 1 + i )n * i
*(1+i)
P = A ( P/A, i%, n - 1 )
F = A * [ ( 1 + i )n - 1 ] * ( 1 + i )
i
F = A ( F/A, i%, n - 1 )
27
A = P /(1+i) * ( 1 + i )n * i
( 1 + i )n - 1
A = P ( A/P, i%, n - 1 )
A=F*
i
[ ( 1 + i )n - 1 ] * ( 1 + i )
A = F ( A/F, i%, n - 1 )
28
EJEMPLOS:
1. Un ingeniero vende su patente a una empresa y se le ofrece la opción
de un monto de US$ 12,500 en una sola exhibición (es decir,
inmediatamente) el día de hoy (t = 0) o, alternativamente, un pago de
US$2,000 por año por los próximos 10 años, empezando el próximo
año (t = 1).
Como el ingeniero está pagando un 12% de interés anual por año por
concepto de hipoteca sobre su casa, decide usar esta misma tasa
para evaluar las alternativas. Si usted fuera este ingeniero, ¿cuál de
las dos alternativas escogería?
29
EJEMPLOS:
Juan, cumpliendo 40 años y pensando en su jubilación, planea ahorrar la suma de $
1,500 por año sobre un período de 25 años. En promedio el espera ganar 12% de
interés anual c/anualmente, sobre todos los fondos invertidos. ¿Cuánto tendría Juan
al final de 25 años? Respuesta:
$200,000 (ignorando fracciones).
Pensando un poco más allá, Juan como demógrafo sabe que si llega a cumplir 65
años, tendría una esperanza de vida de más o menos 16 años. Asimismo, estima
que necesita un ingreso de unos $25,000 anuales para vivir cómodamente con su
esposa. La lógica financiera dicta que a esa edad ya no se debe tomar mucho riesgo
con los fondos, y el piensa poner el ahorro estimado arriba en una cuenta de ahorros
que le daría a lo mucho 9% de interés anual c/anual. ¿Si Juan retira cada año
$25,000, cuánto tiempo -es decir- cuántos años durarán sus fondos? Respuesta: 14
años (ignorando fracciones).
Como su fondo de retiro NO cubre su expectativa de vida a los 65 años, ¿Cuánto
debería ahorrar entonces cada año hasta cumplir los 65 años para que le diera los
$25,000 cada año por 16 años? Respuesta: $1,558.60.
30
EJEMPLOS:
REMOCASA
• Remodela tu casa, solicita el préstamo REMOCASA. Si tienes más de
3 años como socio y has cumplido con tus compromisos económicos
con la Cooperativa, puedes ser acreedor de un préstamo de hasta
$100,000.00 para remodelar tu casa a una tasa de interés del 1.75%
mensual sobre saldos insolutos, con un plazo de hasta 36 meses.
• Si quieres pagar este préstamo en 36 pagos iguales incluyendo
intereses y amortización del préstamo, cuánto pagarías
mensualmente?
• Respuesta: $ 3,767.51
• Después de 15 pagos (o meses) recibes la noticia que has ganado un
premio en la lotería y decides de re-embolsar el resto en una sola
exhibición a la fecha del pago número 16, cuánto habría que pagar
entonces?
• Respuesta: $ 66,884.10
31
¿Cuál es el valor actual de 6 pagos iguales de $1,500 a
una tasa del 40%, (a) si los pagos se hacen al final de
cada año; (b) si los pagos se hacen al inicio de cada
año?
n = 6 años
A
n = 6 años
A
i = 40% anual
i = 40% anual
P
P
(a) P = $1,500 * ( P/A, 40%, 6 ) = $3,251.96
(b) P = $1,500 * ( P/A, 40%, 6 - 1 ) = $4,552.75
32
Se va a comprar un auto nuevo cuyo valor total es de
$240,000. Se pagará un enganche de $40,000 y el resto
a 24 mensualidades a una tasa del 8% mensual sobre
saldos insolutos. ¿Cuál será el monto de las
mensualidades si se pagan al final de cada mes?
A
n = 24 meses
i = 8% mensual
$200,000
A = $200,000 * ( A/P, 8%, 24 ) = $18,995.59
33
¿Que cantidad constante tendrá que depositar en un
banco al 36% anual si quiere obtener $450,000 al final
del séptimo año, haciendo los depósitos al inicio de cada
año?
n = 7 años
$450,000
i = 36% anual
A
A = $450,000 * ( A/F, 36%, 7 - 1 ) = $15,662.19
34
q Se ha tomado la convención de expresar la
tasa de interés en una tasa anual nominal y al
aplicarla debe de especificarse la fracción del
período anual en la que se capitaliza.
F = P ( 1 + j /m )n * m
j = tasa de interés nominal anual
m = número de períodos en un año
n = número de años
35
Obtenga el monto a recibir al final de un año para
$1,000,000 a una tasa de interés del 48% anual si se
capitaliza: (a) anual; (b) trimestral.
F
F
n = 4 trimestres
n = 1 año
i = 48% anual
$1,000,000
i = 48% anual
$1,000,000
(a) F = $1,000,000 * ( 1 + 0.48 ) 1 = $1,480,000
(b) F = $1,000,000 * ( 1 + 0.48/4 ) 4 = $1,573,519
36
Calcule el valor de $80,000 después de dos años y seis
meses colocados a una tasa del 42% con capitalización
trimestral.
n = 2.5 años
F
m = 4 trimestres
i = 42% anual
$80,000
n * m = 2.5 años * 4 trimestres por año = 10
trimestres
F = $80,000 * ( 1 + 0.42/4 ) 10 = $217,126.47
37
¿En cuanto tiempo se triplica una inversión colocada al
40% con capitalizaciones trimestrales?
3*P
n = ? trimestres
i = 10% trimestral
P
n = ln ( F / P ) =
ln ( 1 + i )
ln ( 3 )
= 11.53 trimestres
ln ( 1 + 0.4/4 )
38
Una inversión ofrece una tasa del 40% con capitalización
mensual y otra ofrece el 45% con capitalización
trimestral. ¿Cuál prefiere usted? (analice un año).
(a) F = $1 * ( 1 + 0.4/12 )12 = $1.4821
(b) F = $1 * ( 1 + 0.45/4 )4 = $1.5318
La mejor opción es la tasa del 45% con capitalización
trimestral.
39
Tópicos
Tasa efectiva
m
rn 

re   1    1
m

Tasas equivalentes, si
a
rn 1 

1 
 1 
a 

b
rn 2 

1 
 1
b 

40
Tópicos
Perpetuidad
P 
A
r
Perpetuidad creciente a tasa g
P 
A
rg
41
Tópicos
Gradiente aritmético
Equivalente uniforme de anualidad que se da durante n
periodos, que crece G unidades monetarias cada
periodo, empezando de cero en t=1
1

1
A  G 

n
r
1  r   1 

42
Tópicos
Gradiente geométrico
n

A1
1 g  
P
 
1  
r  g   1  r  
43
Tópicos
Demostración de la fórmula de anualidades
Sea
P 
A
1 r

A
1  r 
x
 
2
A
1  r n
1
1 r
P  Ax 1  x  x    x
2
n 1

44
Tópicos
Dado que
1  x 1  x  x 2    x n 1   1  x n
P  Ax
1 x
n
1 x
n
 1 
 1 
1 
1 


1
1
1 r 
1 r 
P  A
 A
1
1 r
1  r 1  r   1
1
1 r
1 r
n
45
Tópicos
Resulta

A
1
P 
1 
n 
r 
1  r  
46
Tópicos
Perpetuidad. Partimos de:

A
1
P 
1 
n 
r 
1  r  
Si n  , el segundo término dentro de paréntesis
cuadrados desaparece
47
Tópicos
Anualidad desde perpetuidades
P 
A
r

A
1
r 1  r 
n

A
1
P 
1 
n 
r 
1  r  
48
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F = P *(1+ i)