Método del perpendículo
Resolución de triángulos
oblicuángulos
Método del perpendículo.
Todo triángulo oblicuángulo se puede descomponer en dos triángulos
rectángulos al trazar el perpendículo p.
Caso en que A<90º, B<90º.
Caso en que A>90º ó B>90º.
REGLAS
- El perpendículo p, a ser posible, debe trazarse desde un
ángulo diferente al ángulo conocido.
- Al trazar el perpendículo p, en uno de los triángulos rectángulos
deben conocerse dos de sus elementos.
- Cuando los datos conocidos son los tres lados, el método se
complica demasiado.
Ejemplo 1:
Resolver el triángulo esférico, con los datos conocidos:
A = 75º 40’
b = 42º 23’
c = 107º 14’
1º) En el triángulo I conocemos: b , A.
Calculamos: ……………. p, x, X.
2º) En el triángulo II ahora conocemos: p,y
Calculamos: ……………. B, a, Y .
C=X+Y
Triángulo I
sin p = sin A sin b = 0.96887 * 0.67408 = 0.65309 → p = 40º 46’ 32”.
tan x = cos A tan b = 0.24756 * 0.91259 = 0.22592 → x = 12º 43’ 50”.
→ y = c – x = 94º 39’ 10”
tan X 
1
cos b tan A

1
0.73865 * 3.91364
 0.345992
→ X = 19º 04’ 54”
Triángulo II
cos a = cos p cos y = 0.75727 * (-0.08111) = -0.06142 → a = 93º 24’ 30”.
tan B 
tan p

sin y
tan Y 
tan y
sin p
0.86243
 0.86528
→ B = 40º 52’ 08”
0.99670

 1.22872
 1.881399
0.65309
→ C = X + Y = 112º 07’ 27”
→ Y = 93º 02’ 33”
Ejemplo 2:
Resolver el triángulo esférico oblicuángulo, con los datos conocidos:
b = 51º 08’
c = 49º 27’
A = 118º 42’
I) Trazando el perpendículo p desde el ángulo B.
II)
«
«
«
p desde «
« C.
I) Trazando p desde B:
Triáng. Rectángulo I
Calculamos: X, p, x.
Cálculo de X:
cos c  cot X * cot(180º  A)  
1
tan X * tan A
tan X  
1
0.65011* (1.82653)
 0.84214
→
tan X  
1
cos c * tan A
Cálculo de p:
cos (90º - p) = sin c . sin (180º -A) → sin p = sin c . sin A
sin p = 0.75983 * 0.87714 = 0.66647 → p = 41º 47’ 42”
Cálculo de x:
cos (180º - A) = cot c . cot (90º - x) →
 cos A 
tan x
tan c
→ tan x = -cosA . tan c = -(-0.48022) * 1.16878 → x = 41º 47’ 42”
Triáng. Rectángulo II
Calculamos: a, Y , C.
y = x + b = 80º 26’ 15”
Cálculo de a:
cos a = sin(90º - p) . sin(90º - y) = cos p cos y = 0.12384 → a = 82º 53’ 08”
Cálculo de Y:
cos(90º - p) = cot (90º- Y) . cot(90º - Y) → tan Y 
tan y
sin p
→ Y = 83º 35’ 38”
 8.90673
Triáng. Rectángulo II
Cálculo de C:
cos (90º - y) = cot(90º - p) . cot C → tan C 
→ C = 42º 11’ 43”
tan p
sin y
 0.90653
Perpendículo desde C
Triáng. Rectángulo I
Calculamos: X, p, x .
Cálculo de X:
cos b = cot X . cot (180º - A) = 
→
tan X  
1
cos b . tan A
1
tan X . tan A
 0.87247
→ X = 41º 06’ 14”
Cálculo de p:
cos(90º - p) = sin b . sin(180º - A) →
sin p = sin b sin A = 0.68249 → p = 43º 04’ 26”
Cálculo de x:
cos(180º - A) = cot b . cot(90º - x) →  cos A 
tan x
tan b
→ tan x = - cos A . tan b = 0.59584 → x = 30º 47’ 18”
c + x = y → y = 80º 14’ 18”
Triángulo rectángulo II
Conocemos: p, y
Calculamos: B, Y , a.
Cálculo de a :
cos a = sin(90º - p) . sin(90º - y) = cos p . cos y = 0.12384 →
a = 82º 53’ 10”
Cálculo de Y:
cos(90º - p) = cot Y . cot(90º - y) →
tan Y 
tan y
 8.51123
sin p
→ Y = 83º 17’ 56”
→ Y – X = C = 42º 11’ 43”
Cálculo de B :
cos(90º - y) = cot B . cot(90º - p) →
→ B = 43º 29’ 26”
tan B 
tan p
sin y
 0.94865
Ejemplo 3:
Resolver por el método del perpendículo, el triángulo
esférico, con los datos conocidos:
a = 58º 43’ ;
c = 78º 29’ ; A = 40º 12’ .
Solución:
A < 90º; a + c < 180º → A + C < 180º ;
a < c → A < C  Dos soluciones
C1  90º
C2  90º
Primera solución (C1 < 90º)
Triángulo I:
(Datos conocidos): c, A
1. Cálculo de X1 :
cos c  cot A. cot X 1 
 tan X 1 
1

tan A. tan X 1
1
cos c. tan A
 5.92707
→ X1 = 80º 25’ 24”
(C1 < 90º)
Triángulo I:
(Datos conocidos): c, A
2. Cálculo de p1 :
cos(90º - p1) = sin A . sin c →
sin p1 = sin A . sin c = 0.63245
→ p1 = 39º 13’ 52”
(C1 < 90º)
Triángulo I:
(Datos conocidos): c, A
3. Cálculo de x1 :
cos A = cot c . cot (90º - x1) =
tan x1 = cos A . tan c = 3.74855
tan x1
tan c
→ x1 = 75º 03’ 47”
(C1 < 90º)
Triángulo II:
(Datos conocidos): p1, y1.
4. Cálculo de y1 :
cos a = sin (90º - y1) . sin (90º - y1) = cos y1 . cos p1 →
 cos y1 
cos a
cos p1
 0.67037
→ y1 = 47º 54’ 15”
(C1 < 90º)
Triángulo II:
(Datos conocidos): p1, y1.
5. Cálculo de Y1 :
cos Y1 = cot a . cot (90º - p1) →
 cos Y1 
tan p1
tan a
 0.49610
→ Y1 = 60º 15’ 25”
(C1 < 90º)
Triángulo II:
(Datos conocidos): p1, y1.
6. Cálculo de C1 :
cos (90º - p1)= sin a . sin C1 → sin p1 = sin a . sin C1
 sin C1 
sin p1
sin a
 0.74004
→ C1 = 47º 44’ 06”
B1 < 90º
x1 + y1 = b1 = 122º 58’ 02”
X1 + Y1 = B1 = 60º 15’ 25”
Segunda solución: C2 > 90º .
Triángulo I
Conocidos: A, c
Y2 = Y1 = 60º 15’ 25” .
p2 = p1 = 39º 13’ 52”
y2 = x1 = 75º 03’ 47”
Segunda solución: C2 > 90º .
Triángulo II
Conocidos: a, p2
x2 = y1 = 47º 54’ 15” .
X2 = X1 = 60º 15’ 25”
180º - C2 = C1 = 47º 44’ 06”
C2 = 132º 16’ 45”
b2 = y2 – x2 = 27º 09’
B2 = Y2 – x2 = 20º 09’ 31”
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