Ahora nos vamos a meter en temas más profundos… Despeja tu mente…. Líbrate de
prejuicios… No desesperes; opón tesón ante la perplejidad… Y si, a pesar de todo, no
entiendes nada… no te aflijas pues, a fin de cuentas, todo esto no es más que teoría
que muy probablemente nunca llevarás a la práctica… ya que,para eso, es necesario
poseer un barco en condiciones para una navegacion oceánica…
Empieza pues con la…
1
clic
NAVEGACIÓN ASTRONÓMICA:
De las coordenadas geográficas
De las coordenadas azimutales
De las coordenadas horarias
De la variación de las coordenadas horarias de un astro a lo largo de un día
De la Eclíptica
1ª PARTE
Del Zodiaco
De las coordenadas Uranográficas Ecuatoriales
De las coordenadas horarias del sol
De las coordenadas horarias de las estrellas
Del triángulo de posición astronómica
De las fórmulas que determinan el triángulo de posición astronómica
La derrota ortodrómica
2ª PARTE
Funciones trigonométricas fundamentales, triángulo de derrota ortodrómica, correcciones a los horarios en
Greenwich de los astros
RECTA DE ALTURA
Del Polo de iluminación y del círculo de alturas iguales
De la recta de altura
Del modo de situarse con una recta de altura a partir de una situación de estima
3ª PARTE
Del modo de situarse con dos rectas de altura simultáneas
Del modo de situarse con dos rectas de altura no simultáneas
De la altura meridiana
De las estrellas
4ª PARTE
De cómo se hace una recta de altura
Más de cómo situarse con dos rectas de altura
2
Siguiente
De cómo calcular la altura estimada de un astro
De las utilidades de una sola recta de altura
4ª PARTE
De las fórmulas
Del cálculo de la latitud con una recta de altura meridiana
5ª PARTE
Del cálculo de la latitud por una observación de la P
Método para calcular la longitud a partir del hl y del hG
De la medida del tiempo
6ª PARTE
Cálculo del intervalo navegado hasta el momento de una efeméride astronómica estando el buque en movimiento
Cálculo del intervalo hasta el momento del paso del sol por el meridiano superior
DE LAS CORRECCIONES
De las correcciones a las horas del orto y ocaso
Cálculo de la corrección total por una observación de la P
Cálculo de la corrección total por la observación del azimut del sol
en el momento del orto u ocaso
7ª PARTE
Cálculo de la corrección total con la fórmula del azimut verdadero
Cálculo de la corrección de la altura instrumental de un astro
Paso de la altura del sol limbo superior a la altura del sol limbo inferior
Siguiente
Pues, caballeros, ya tenemos situado al sol o estrella que nos interesa con sus coordenadas horarias, es decir; la declinación,
el horario y nuestra latitud que “estimamos” es la correcta después de una singladura. Latitud de estima, coordenadas
horarias, junto con las coordenadas azimutales nos permitirán construir un triángulo de posición astronómica…
… El triángulo de posición astronómica es una forma gráfica de explicar cómo están interrelaccionados estos dos tipos de
coordenadas, de tal manera que conociéndo algunos de sus elementos podamos deducir matemáticamente los que faltan, bien
sea la altura, el azimut, el horario o la declinación.
El fin último del triángulo de posición astronómica es deducir las fórmulas de trigonometría esférica que nos permiten situar
un astro en relación con sus coordenadas horarias o azimutales, es decir: nos permitirán averiguar la altura, declinación,
horario o azimut que tendría el sol o un astro en nuestra situación de estima. Esto es muy importante porque es el
fundamento de la recta de altura, que es la “herramienta” que se utiliza para situarse uno en la Mar cuando no se está a la
vista de la costa. La recta de altura la veremos más adelante. Ahora vamos a ver el triángulo de posición astronómica y vamos a
deducir las formulas de trigonometría esférica que nos interesan.
Clic
Índice
35
Imaginemos el planeta… el plano del ecuador y el polo
Norte…
…Un observador que está en una determinada
latitud, su meridiano superior, es decir, el que pasa
por los polos y por su posición, y su horizonte …
Pn
h
Azimut = Rumbo
para ir al punto astral
N
Z
…El polo de iluminación de una estrella…
sus coordenadas Azimutales: altura y
Azimut…
…Y sus coordenadas horarias: declinación y
horario.
s
Clic
Índice
36
Pues bien, el triángulo de posición astronómica es el
comprendido entre estos tres puntos: polo, observador
Pn
y estrella.
h
Podemos deducir el valor de cada uno de esos tres
lados, (a, b, c) del triángulo de posición astronómica:
N
a
c
Z
b
Vemos que el lado “a” es la codeclinación ,
también llamada distancia polar; es la distancia
del astro al polo, es decir; es el arco del ángulo
complementario de la declinación. Recordemos
que dos ángulos son complementarios cuando su
suma vale 90º.
90 - l
90 - d
l
d
a
Declinación + a = 90º ⇒ a = 90 - declinación
El lado “c” es la colatitud; es la distancia del
observador al polo, es decir; es el arco del
ángulo complementario de la latitud:
Latitud + c = 90º ⇒ c = 90 - latitud
El lado “b” es la distancia Zenital; es la distancia de
la estrella al Zenit, es decir; el arco del ángulo
complementario de la altura:
Altura + b = 90º
Clic
Clic
90-a
⇒ b = 90 - altura
37
Índice
El triángulo de posición tiene tres ángulos:
Pn
h
N
a
c
Z
b
90 - d
90-a
l
d
a
S
Clic
Clic
Índice
38
El triángulo de posición tiene tres ángulos:
Pn
p
“P” o ángulo en el polo,se
mide sobre el ecuador: es
el horario oriental u
occidental. No puede ser
mayor de 180º
Pn
N
Z
“Z” o ángulo cenital, se
mide sobre el horizonte:
es igual al azimut
contado desde el punto
cardinal correspondiente
al polo elevado (es decir;
el polo de la latitud)
l
Pn
a
S
Índice
“A” o “ángulo de
posición” también
llamado “paraláctico”,
que no se considera
casi nunca…
39
A
Clic
Clic
Clic
Conocido el triángulo de posición, se pueden deducir las fórmulas que nos permitan hallar los valores de la altura, la
declinación, el horario y el azimut…
CÁLCULO DE LA FÓRMULA DE LA ALTURA
Sabemos la fórmula del coseno que dice lo siguiente:
“El coseno de un lado es igual al producto de los cosenos de los otros dos, más el producto de los senos por el coseno
del ángulo comprendido entre ellos”
De tal manera que para hallar el valor del lado 90 – altura del triángulo de posición astronómica, quedaría de la siguiente
manera
cos( 90 - a ) = cos( 90 - l ) • cos( 90 - d ) + sen ( 90 - l ) • sen ( 90 - d ) • cosh
También deberíamos saber que “La función trigonométrica
Pn
de un ángulo es igual a la función trigonométrica
opuesta del ángulo complementario” (haz clic para ver).
Ya hemos dicho que un ángulo es complementario de otro
cuando sus suma vale 90º. Ejemplo:
h
Cos90-latitud = senlatitud
N
90 - l
Z
El coseno de
este ángulo
es igual…
Si sustituimos los valores de la fórmula por las funciones
trigonométricas opuestas de los ángulos complementarios
tenemos que:
sena = senl • send + cos l • cos d • cosh
Latitud
90º
…al seno de este,
que es su
complementario
Clic
Clic
Índice
40
CÁLCULO DE LA FÓRMULA DECLINACIÓN
Si queremos hallar la declinación del astro:
cos( 90 - d ) = cos( 90 - l ) • cos( 90 - a ) + sen ( 90 - l ) • cos( 90 - a ) • cos A z
Con ángulos complementarios:
sen d = sen l • sen a + co s l • co s a • co s A z
CÁLCULO DE LA FÓRMULA DEL AZIMUT
También se puede emplear la fórmula de la cotangente:
“La cotangente de un lado por el seno del otro es igual al coseno de este por
el coseno del ángulo comprendido más el seno de este ángulo por la
cotangente del ángulo opuesto”
cot g ( 90 - d ) • sen ( 90 - l ) = cos( 90 - l ) cosh + sen h • cot gA z
Con ángulos complementarios:
tgd • cos l = sen l • cosh + sen h • cot gA z
Clic
Despejando cotgAz:
co t g A z =
tg d • co s l - sen l • co sh
sen h
Índice
41
CÁLCULO DE LA FÓRMULA DEL HORARIO
Partiendo de la fórmula de la altura:
Sena = senl ·
send
+
cosl
·
cosd · cosh
Despejamos cosh
-
Otra fórmula del horario, conociendo el azimut
Y otras fórmulas de uso común
Índice
42
Clic
Clic
Esta es la hoja del Almanaque Náutico del 30 de marzo del
2002. En él vemos:
h☉G y su declinación correspondientes a cada hora en
punto. Lógicamente en una hora el horario varía 15º y en
las 24 h del día lo hace en 360º.
También vemos que los datos de la declinación y horario
tienen en cuenta las diferencias de declinación y de horario
al cabo del día debidas al movimiento de traslación de la
tierra alrededor del sol, de forma que la declinación no es
constante a lo largo del día, ni el horario varía de 15 en 15
grados exactos
También tenemos el h♈G, tabulado de hora en hora
Y los horarios en Grennwich y las declinaciones de
Venus, Marte, Júpiter y Saturno
Cuando se habla de horarios hay quien los expresa así
h☉G = horario del sol en Greenwich
O así:
hG☉ = horario en Greenwich del sol…
Es lo mismo: el orden en que se escriba no influye en el
significado pues SIEMPRE los horarios están medidos
desde el meridiano de Greenwich, o desde el meridiano
del lugar:
h☉G = hG☉
h☉l = hl☉
43
h☆G = hG☆
h☆l = hl☆
Índice
Clic
Clic
Clic
Volver correcciones de horarios en greenwich
DERROTA ORTODRÓMICA
Índice
CLIC
Todos sabemos que la distancia más corta entre dos puntos es la línea recta, pues bien; sobre una esfera la distancia más corta entre dos puntos es el
arco de círculo máximo que pasa por esos dos puntos…
Como ya sabemos un círculo máximo es aquel cuyo plano pasa por el centro de la esfera. Cualquier otro círculo menor que une a esos dos puntos y
cuyo plano no pase por el centro de la esfera implica una distancia mayor. Meridianos y ecuador son círculos máximos. Los paralelos no lo son.
La derrota ortodrómica (de orthos = recto, y de dromos = carretera) exige que se cambie constantemente de rumbo pues el ángulo que hace este con
los meridianos va cambiando constantemente a su vez., salvo que se esté navegando a lo largo de un meridiano o del ecuador.
Veamos este ejemplo: El barco quiere ir desde A hasta B, Al seguir el círculo máximo que pasa por ambos puntos se ve que el barco parte con Rumbo
de componente S para acabar con un Rumbo de componente N
Biografía
Adelantaré que en una carta mercatoriana
(las de uso común) la derrota ortodrómica
se representa con una curva, y que en una
carta gnomónica se representa por una
recta.
A
A
80º
70º
70º
60º
50º
40º
30º
20º
10º
0º
10º
20º
30º
40º
50º
80º
60º
B
B
clicclic
clic
Índice
Biografía
Vamos a ver un poco de trigonometría: las Funciones Trigonométricas Elementales. Para ello imaginamos un círculo, sus cuadrantes, su centro “O” y un
vector que, partiendo de “O”, corta el perímetro del círculo en el punto “P” Este vector es el Rádio (“R”) del círculo, al cual le vamos a dar el valor de la
unidad. Este vector tiene un ángulo ά con uno de los lados de un cuadrante (escogemos uno al azar; por ejemplo el lado OQ)
El seno de ά es el vector PQ
Pues bien:
sen 
PQ
PQ

OP
R
El coseno de ά es el vector OQ
T’
S’
Cotangente
C os 
PQ

OQ
OQ

OP
 PQ
1

OQ
R
 OQ
1
La tangente de ά es el vector ST
S
Tg  
PQ
ST

OQ

ST
OT

ST
R
 ST
1
P
La Secante de ά es el vector OS
Sec 
OP

Tangente
OQ
OS

OT
OS

OS
R
 OS
1
R=1
O
Seno
La Cotangente de ά es el vector S’T’
ά
Coseno
C otg  
Q
OQ

PQ
T
S 'T '

OT '
S 'T '

S 'T '
R
S 'T '
1
La Cosecante de ά es el vector OS’
C o sec  
CLIC
CLIC
CLIC
CLIC
Índice
OP
PQ

OS '
OT '

OS '
R

OS '
1
 OS '
Hay que saber que:
La función opuesta del seno es el coseno. La función opuesta del coseno es el seno. La función opuesta de la tangente es la
cotangente.
Y existe una propiedad de las funciones trigonométricas que se utiliza en la resolución de las ecuaciones de trigonometría
esférica que es la siguiente:
La función trigonométrica de un ángulo es igual a la función trigonométrica opuesta del ángulo complementario.
Dos ángulos son complementarios cuando su suma vale 90º
Ejemplo:
sen 30º = cos 60º ; cos 30º = sen 60º ; tg 30º = ctg 60º
Se da el nombre de derrota ortodrómica entre dos puntos de la superficie terrestre a la que sigue un barco navegando sobre el menor arco del
círculo máximo que pasa por ellos.
Un círculo máximo es aquel cuyo plano pasa por el centro de la esfera. Los meridianos son círculos máximos y el ecuador también. Los paralelos
no lo son.
La distancia más corta entre dos puntos situados en una superficie esférica está determinada por el círculo máximo que pasa por dichos puntos ya
que al tener el mayor radio implica tener el arco de menor curvatura y, por tanto, se aproxima más a la línea recta. Cualquier arco de círculo que una
esos dos puntos y cuyo plano correspondiente no pase por el centro de la esfera, tiene una longitud mayor que la del arco del círculo máximo.
La diferencia entre la distancia loxodrómica y ortodrómica se llama GANANCIA y esta es nula cuando se navega siguiendo un meridiano o el
ecuador. Esta “ganancia” llega a ser importante en largas travesías oceánicas, sobre todo en altas latitudes, cuando los puntos de salida y llegada
corresponden al mismo paralelo o hay poca diferencia de latitud. Esto ocurre porque en la derrota loxodrómica el ángulo con que se cortan los
meridianos al seguir el rumbo es constante, mientras que en la ortodrómica ese rumbo varía. Para seguir una derrota ortodrómica es necesario
cambiar constantemente el rumbo salvo en el caso de que se navegue sobre un meridiano o el ecuador. El ángulo que forma la derrota ortodrómica
con el meridiano en el punto de partida recibe el nombre de RUMBO INICIAL. Al no ser posible cambiar constantemente el rumbo, la navegación se
efectúa siguiendo una serie de pequeñas loxodrómicas.
Índice
CLIC
TRIÁNGULO DE DERROTA ORTODRÓMICA
Es un triángulo esférico que tiene unos datos conocidos
a partir de los puntos A – B, de salida y llegada.
P
L
El Lado AP lo podemos conocer si
conocemos la latitud del punto de salida A
Rf
B
Igual para el lado BP
Ri
lB
A
También conocemos el ángulo L, que es
Q’
la suma de LA (W) y LB (E), al incluir, en
este caso, el meridiano de Longitud cero.
Q
lA
W
LA
Las incógnitas son el lado AB, y los ángulos que forma
E
0º
LB
∆L = LA + LB
con sus lados contiguos, es decir; DISTANCIA
ORTODRÓMICA (Do), RUMBO INICIAL (Ri) y
RUMBO FINAL (Rf).
Índice
P’
CLIC
Los triángulos esféricos se resuelven por tres fórmulas:
Senos ( que no veremos), Cosenos y Cotangentes ( que sí veremos).
FÓRMULA DEL COSENO
“El coseno de un lado es igual al producto de los cosenos de los otros dos, más el producto de los senos por el coseno del
ángulo comprendido entre ellos”
cos D o = cos( 90 - l ) • cos( 90 - l' ) + sen ( 90 - l ) • sen ( 90 - l' ) • cos  L
Sabemos que:
“La función trigonométrica de un ángulo es igual a la función trigonométrica opuesta del ángulo complementario.”
Transformamos en funciones trigonométricas opuestas de los ángulos complementarios:
senD o = senl • senl' + cos l • cos l'• cos  L
FÓRMULA DE LA COTANGENTE
“La cotangente de un lado por el seno del otro es igual al coseno de este por el coseno del ángulo comprendido más el seno de este ángulo
por la cotangente del ángulo opuesto”
cot g ( 90 - l' ) • sen ( 90 - l ) = cos( 90 - l ) • cos  L + sen  L • cot gR i
Lo que transformado en ángulos complementarios queda:
tgl'• cos l = sen l • cos  L + sen  L • ctgR i
Despejando Ri:
co t g R i =
Índice
tg l'• co s l - sen l • co s  L
sen  L
CLIC
CÁLCULO DEL RUMBO INICIAL (Ri) Y DE LA DISTANCIA ORTODRÓMICA (Do)
Partimos de una situación de salida: l y L
Y de una situación de llegada: l’ y L’
Siempre se restan los datos de la situación de salida de los datos de la situación de llegada. Es decir: l’ – l y L’ – LSe
establecen los signos de la siguiente manera:
N (+) ; S (-) ; E (+) ; W (-)
CÁLCULO DEL Ri
N+
l' S -
co t g R i =
Si cotgRi = +
Ri = N
Si cotgRi = -
Ri = S
 L > 90 -
<90 +
tg l'• co s l - sen l • co s  L
sen  L
hacia el E ó W según sea ∆L hacia el E ó W
CLIC
Índice
CÁLCULO DE LA Do
cos D o = senl • senl' + cos l • cos l'• cos  L
A
B
A = (+) si l y l’ tienen = signo
A = (-) si l y l’ tienen # signo
B = (+) si ∆L < 90º
B = (-)
si ∆L > 90º
Si cosDo = (+) entonces Do < 90º
Si cosDo = (-) entonces Do > 90º
CLIC
Índice
EJEMPLO DE PROBLEMA DE DERROTA ORTODRÓMICA
Calcular Rumbo inicial y distancia ortodrómica:
En situación de salida l y L
Lo primero que hacemos es restar las latitudes y las
Longitudes:
Situación de llegada l’ y L’
l’
= 20 – 00,0 N
L’
= 120 – 00.0 E
l
= 44 – 02,1 N
L
= 64 – 11,3 E
l’ – l y L’ –L
para conocer ∆L y la dirección del rumbo.
Es más cómodo utilizar grados y décimas de grado.
l’ - l = 20,035º (-)
L’ - L = 55,81º (+)
Calculamos Ri aplicando la fórmula:
 L > 90 -
N+
<90 +
l' S c tgR i 
ctgRi 
tgl '• cos l  senl • cos  L
tg 20 • cos 44, 035  sen 44, 035 • cos 55, 81

0, 2616  0, 3906
sen 55, 81
sen  L
  12, 90
0, 8772
El inverso de cotg es la tg:
tg R i =
1
ctg R i
=
Calculamos Ri : con calculadora es:
1
- 1 2 ,9 0
Operando con la calculadora:
= - 0 ,0 7 7
- 0,077
INV
tg
Ri
Si cotgRi = +
Si cotgRi = Índice
ctg / IN V 1

x
 tg
 0, 077 IN V tg

 4, 40

S 40 , 4 E
Ri = N
Ri = S
hacia el E ó W según sea ∆L hacia el E ó W
CLIC
Calculamos Do aplicando la fórmula:
Teniendo en cuenta que:
A = (+) si l y l’ tienen = signo
cos D o = senl • senl' + cos l • cos l'• cos  L
A
B = (+) si ∆L < 90º
B = (-)
B
l, l’ = signo → A = +
A = (-) si l y l’ tienen # signo
si ∆ L > 90º
A es positivo y B es positivo, independientemente del
signo + de la ecuación.
∆L < 90º → B = +
Ejemplos:
co s D o = sen 4 4 ,0 3 5 • sen 2 0 + co s 4 4 ,0 3 5 • co s 2 0 • co s 5 5 ,8 1 = 0 ,6 1 7
56 (-) + 65 (+) = 9 (+)
56 (-) + 65 (-) = 121 (-)
56 (+) + 65 (-) = 9 (-)
D o = IN V cos D o = 51 ,90 º
51, 90 º • 60 '
Índice

3114 ,15 '
CLIC
Este es un fragmento de una hoja de las tablas perpetuas de las
”correcciones a los minutos y segundos” del almanaque
Náutico. En las tablas de las efemérides astronómicas anuales del
Almanaque Náutico, los horarios en Greenwich del sol, planetas,
Aries y luna, vienen tabulados de hora en hora. Sin embargo los
cálculos de estos horarios se pueden hacer en cualquier
momento, basta con añadir al valor del horario del sol en
Greenwich a la hora en punto correspondiente de la hoja de las
tablas de las efemérides astronómicas anuales del almanaque ,
la corrección por minutos y segundos de las tablas perpetuas.
Ejemplo:
Un día, siendo hcG = 09h 06m 14s tomamos una altura del sol para hacer una recta de altura, pero para ello necesitamos conocer el
horario del sol en Greenwich en ese preciso instante ya que, al sumar o restar nuestra Longitud, obtendremos el horario del sol en
nuestro meridiano (horario del sol en el lugar, h☉l). Lo que hacemos es mirar el hcG en las tablas de efemérides anuales de ese día
a TU = 09h00m…
…Vemos que tiene un valor de 313º 52,0’
Nos falta saber qué horario le corresponde a 06m14s, para ello vamos a las tablas perpetuas de
correcciones y miramos la que le corresponde al sol…
…para un intervalo de 6 minutos y 00 segundos: le corresponde un horario de 01º:30,0’…
Siendo el h☉G, a hcG = 09h 06m 14s,
… para un intervalo de 6 minutos y 14 segundos le
h☉G = 313º 52,0’
corresponde un horario de 01º:33,5’
Clic
Cxsegundos = 001º 33,5’ (sumo)
Índice
Volver hoja
almanaque
hcorr☉G = 315º 25,5’
44
COOK, John. Biogr. Pirata inglés, ☨ en la isla de los Galápagos en junio de 1684. En 1680 mandaba un grupo de
filibusteros, en d mar del Sur, de los que habían pasado de las Antillas; entre aquéllos los habia tan célebres en la historia
de la piratería como Dampier, Davis y Wafer. Después de atacar Arica a las órdenes de Shays, las perdidas que tuvieron
hicieron arribar a los piratas a la isla de Juan Fernández, donde se suscitaron querellas ante la escasez del botín a repartir,
separándose Cook con unos 70 hombres entre los cuales estaba el famoso Dampier. Atravesaron el istmo de Panamá y en
el mar de las Antillas apresaron un barco español de 19 cañones al que llamaron el Desquite; con él, después de piratear,
se dirigieron a Virginia para reclutar gente, embarcando también allí el famoso piloto Cowley. Salieron de Chesapeake en
agosto de 1683, dirigiéndose hacia la costa de Guinea. Desembarcó Cook en las islas de Cabo Verde, y en Sierra Leona se
apoderó por sorpresa de un bien provisto navío danés de 36 cañones, al que transbordó, dejando en tierra a la antigua
tripulación e incendiando a su propio buque; bautizó a su nuevo barco con el nombre de Bache/or's Delight. Hicieron
rumbo al Cabo de Hornos avistando la isla que el piloto Cowley llamó Peppy's Island y poco después la Sibble Dwardz. Al
doblar el cabo de Hornos un violento temporal les arrojó más al sur de los 63° de latitud; consiguieron después navegar
hacia el norte encontrando un barco inglés, mandado por Eaton, también dispuesto a la piratería. Navegaron ambos en
conserva. En las islas de los Galápagos hizo acopio, en almacenes que construyó, de la harina robada a los españoles,
que había de ser la base de los víveres de los piratas para el futuro. Estas islas y las de Juan Fernández eran el refugio de
los que operaban por el mar del Sur, por tener agua y abundancia de tortugas.
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Navegación Astronómica 2