Problemas aritméticos
Para resolver muchas situaciones es necesario aplicar técnicas de
proporcionalidad y el manejo de porcentajes.
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Proporcionalidad simple
Existen muchas situaciones que se resuelven con reglas de tres simples,
directas o inversas, y métodos de reducción a la unidad.
PROPORCIONALIDAD DIRECTA
PROPORCIONALIDAD INVERSA
Dos magnitudes son directamente
proporcionales cuando:
Dos magnitudes son inversamente
proporcionales cuando:
• Al aumentar una el doble, el
triple…, la otra aumenta en igual
medida.
• Al aumentar una el doble, el
triple…, la otra disminuye la mitad,
un tercio…
• Al disminuir una a la mitad, un
tercio…, la otra disminuye en la
misma medida.
• Al disminuir una a la mitad, un
tercio…, la otra aumenta el doble, el
triple…
Proporcionalidad simple
Pedro y María tienen que realizar un trabajo para clase. Una vez realizado,
deciden pasarlo a ordenador y tardan 20 minutos en las 4 primeras páginas.
Si el trabajo tiene 22 páginas, todas con la misma extensión, ¿cuánto tiempo
emplearán en pasarlo a ordenador?
PROPORCIONALIDAD
DIRECTA
Proporcionalidad simple
Félix tiene una conexión a Internet por cable con una velocidad de 512 kbps.
Sus dos ordenadores obtienen, cada uno, una velocidad de 256 kbps. ¿Qué
velocidad tendría cada ordenador si estuvieran conectados seis ordenadores?
PROPORCIONALIDAD
INVERSA
Repartos proporcionales
Al repartir una cantidad en partes directamente
proporcionales a una serie de números, las
partes se calculan multiplicando cada número
por la cantidad que se quiera repartir, dividida
entre la suma de los números.
Repartir una cantidad en partes
inversamente proporcionales a una serie
de números equivale a repartirla en partes
directamente proporcionales a los inversos
de dichos números.
Repartos proporcionales
Tres jardineros reparten 420 € en partes
directamente proporcionales al número de horas
trabajadas. Si Juan trabaja 6 horas, Lucía 5 y
Jesús 8, ¿qué cantidad de dinero le corresponde
a cada uno?
DIRECTAMENTE
PROPORCIONALES
Repartos proporcionales
En un testamento se leía lo siguiente: “Deseo repartir mi
capital en partes inversamente proporcionales a las edades
de mis tres herederos”. Si el capital es 7.000 €, y las
edades de sus herederos son 40, 50 y 80 años,
respectivamente, ¿cuánto le correspondió a cada uno?
INVERSAMENTE
PROPORCIONALES
Proporcionalidad compuesta
Cuando una situación de proporcionalidad, inversa o directa, relaciona más de
dos magnitudes, hablamos de proporcionalidad compuesta.
Para resolver una situación de proporcionalidad
compuesta, se utilizan los mismos métodos que
para la proporcionalidad simple: regla de tres
compuesta y método de reducción a la unidad.
Proporcionalidad compuesta
Veinte obreros han tendido durante 6 días 400 metros de cable, trabajando
8 horas diarias. ¿Cuántas horas diarias tendrán que trabajar 24 obreros
durante 14 días para tender 700 metros de cable?
Porcentajes
Para calcular el tanto por ciento de una cantidad, multiplicamos
esa cantidad por el tanto por ciento dividido entre 100.
a
a % de C 
100
1. Si un televisor cuesta 2.000 € y hemos pagado el 65%,
¿qué cantidad hemos pagado?
2. Si un televisor cuesta 2.000 € y nos quedan por pagar
600 €, ¿qué porcentaje hemos pagado?
C
Aumentos y disminuciones porcentuales
Aumentar una cantidad C un a% equivale a
calcular (100 + a) % de C.
Disminuir una cantidad C un a% equivale a calcular
(100 a) % de C.
Unos grandes almacenes anuncian las segundas rebajas, del 15%,
tras las primeras, que fueron del 10%. ¿Cuánto costarán unas
zapatillas que costaban sin rebajar 42 €?
Interés simple
El interés simple, i, es el beneficio que origina una cantidad
de dinero llamado capital, C, en un periodo
de tiempo,
t, a un rédito determinado, r.
i 
C r t
( t en años)
100
Si el tiempo se da en meses o en días, la fórmula se
transforma en:
i 
C r t
1 . 200
( t en meses)
i 
C r t
36 . 000
( t en días)
Interés simple
Calcular el interés que obtendremos si invertimos un
capital de 100 € a un rédito del 3,5% durante un periodo
de dos años y medio.
Interés compuesto
Cuando los intereses que se obtienen al final de cada
periodo de inversión no se retiran, como hacemos en el
interés simple, sino que se añaden al capital y se
reinvierten, estamos ante el concepto de interés
compuesto.
El capital final, Cf, obtenido al invertir un capital,
Ci, a un rédito, r, durante un tiempo, t, a interés
compuesto, es:

r 

C f  C i  1 +
100


t
Interés compuesto
Calcular el capital invertido que hemos invertido a interés
compuesto durante 2 años al 5% para que produzca un
capital final de 200 €.

r 

C f  C i  1 +
 100 
t
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