Transpocición Didáctica de
la noción de Probabilidad
Universidad Nacional de Cuyo
Elsa Rey Tudela
Adriana D´Amelio
Graciela Nardecchia
2002
Del saber sabio al saber enseñar
“Transpocición Didáctica es el conjunto de las
transformaciones que sufre un saber con el fin de ser
enseñado”
Yves Chevallard
Los cinco actos de la Transpocición Didáctica
 El saber sabio
 Los objetos a enseñar
 El saber a enseñar y los objetos de enseñanza
 El saber escolar
 El saber enseñado
Introducción
El cálculo de probabilidades ocupa una situación muy
particular, ya que a pesar de contar con una axiomática
satisfactoria, prosiguen las controversias sobre la
interpretación de conceptos básicos como los de probabilidad
e independencia. Estas controversias no son de tipo técnico,
ya que el cálculo de probabilidades, como tal, no plantea
contradicciones ni paradojas, como ocurriera en el caso de la
teoría de conjuntos, ni se han propuesto otras axiomáticas
que compitan con éxito con la de Kolmogorov.
Desde una perspectiva didáctica la idea de probabilidad y la
noción de aleatoriedad es el punto de partida del cálculo de
probabilidades.
GÉNESIS DEL CONCEPTO
Sófocles atribuye la invención a Palamades quién lo habría
enseñado durante el sitio de Troya (siglo X u XI a.C.)
A comienzos del siglo XVI los matemáticos italianos
En la Edad Media y el Renacimiento las loterías.
Alrededor del año 1500 se trató de resolver el problema de
la división.
A Cardano se le debe una importante contribución en este
campo.
Pascal y Fermat alrededor de 1654 (manteniendo
correspondencia sobre el tema) quienes ya contaban con un
importante desarrollo.
Primeros Problemas
 El primer científico que se ocupó de un problema de
probabilidades fue el mismo Galileo ( 1564 – 1642). Se
trataba de un juego de dados llamado el ¨pasadiez¨.
 Más complicado es otro problema de dados que motivó una
célebre correspondencia entre dos grandes matemáticos
franceses Pascal (1623-1662) y Fermat (1601-1665)
mantenida en 1654, a raíz de un problema propuesto a Pascal
por un tal Caballero de Merè,
Surgimiento de la Teoría de
Probabilidades
1713 aparece la famosa Ars Conjectandi de Jacobo Bernoulli
Un siglo después la monumental Theorie Analytique des Probabilités
de P.S. Laplace (1812).Fue un extraordinario continuador de las
teorías iniciadas por otros por ejemplo las probabilidades de
Bernoulli y De Moivre, pero no se detiene a analizar con demasiado
cuidado los fundamentos.
Muchos autores han contribuido al desarrollo de la teoría desde el
tiempo de Laplace; entre los más importantes están Chebyshev,
Markov, Von Mises y Kolmogorov
Por otra parte la definición conjuntista de Kolmogorov (1933),
actualmente la más aceptada no es más que la abstracción y
axiomatización de tal definición intuitiva.
Concepciones Filosóficas de la noción
Enfoque clásico : “La teoría del azar consiste en reducir todos los
acontecimientos del mismo tipo a un cierto número de casos igualmente posibles, es
decir, que estos sean tales que nos dejen igualmente indecisos acerca de su existencia”.
Laplace
Enfoque frecuencial: La probabilidad según Von Mises:
P( A )

lim
n  
fA

lim
n  
nA
n
Enfoque Bayesiano: J.M. Keynes, Jeffreys, Savage (1961) y
en particular el italiano De Finetti establecen una probabilidad
como grado de creencia, o subjetiva, o bayesiana.
Saber Sabio
Desde la Teoría de la medida .Borel (1898):
Función de conjunto -aditiva :
Una función  : C  R se dice -aditiva sí y sólo sí
a)
 ( )  0

b)
Para todo sucesión  Ai i 1  C tal que Ai  A j    i  j
con 

i 1
Ai  C
es
 

   Ai  
 i 1


 (A )
i
i 1
Medida : Una función se dice -aditiva sí y sólo sí :
a)  es -aditiva
b)  ( A )  0
A  C
En este sentido la probabilidad es una medida tal que la medida del
espacio total es uno.
Saber Sabio
Axiomática de Kolmogorov (1933)
Al par (, A), donde A  P() es una -álgebra de subconjuntos
de A se le denomina espacio medible o probabilizable. A los
elementos de A se les denomima conjuntos medibles.
Sea (, A) un espacio medible : Definimos una función P que va a
ser una medida normada sobre A , mediante una aplicación
de A en R que cumple con los siguientes axiomas:
1. P() = 1
2.
 A  A es P(A)  0
3.
Para toda sucesión An nN  A tal que Ai  A j    i  j es
 

P   An  
 n 1


 P(A
n 1
n
)
Hábitad de la noción
Para permitir a los alumnos el paso de la percepción empírica,
conceptos paramatemáticos, al enfoque científico, conceptos
matemáticos, se debe tener en cuenta el concepto de azar y
los obstáculos epistemológicos con los que está ligado.
Estos aparecen a través de las dudas históricas de: Pascal ,
Bernoulli, D¨Alembert , Laplace, Cournot , Poincaré .
Es muy importante que los profesores de matemática hayan
evaluado sus propias concepciones, y las hayan confrontado
con las de los matemáticos del pasado, para que no sean
tomados por sorpresa ante tal o cual comportamiento del
alumno que se enfrenta en esta etapa a las dificultades de
comprensión.
Algunas definiciones del azar
Jacques Bernoulli (publicado 1713)
“Si todo lo que es futuro no sucediera con certitud, no veo cómo el
Creador Supremo podría conservar intacta la gloria de su
omnipotencia.”
Laplace (publicado en 1814)
“Hemos de pensar el estado presente del universo como el efecto de su
estado anterior y como la causa del que va a seguirle.........”
La idea contemporánea es la de un desorden complejo que
estructura el orden mediante unas regulaciones cuya resultante
es previsible dentro de un marco probabilístico.
El saber a enseñar
¿Cómo se introduce la noción de Probabilidad en la
enseñanza?
Siglo XX
Actualidad
Textos Universitarios
“Fundamentos de Estadística para negocios y Economía” (1962)
de J. Neter; W. Wasserman, G. A. Whitmore, da el concepto de
probabilidad, basándose en tres postulados:
1) 0  P (Oi)  1
2) Las probabilidades de todos los resultados básicos deben sumar
uno.
3) P (Oi o Oj) = P (Oi) + P (Oj).
Calculus (1967) Tom Apóstol
Para los espacios muestrales finitos la probabilidad es
simplemente una medida que asigna el valor 1 al espacio completo.
Textos del Tercer Ciclo
La noción aparece recién en los textos de este nivel desde
la implementación de la Ley Federal de Educación
(1994) se observan tres opciones:
Introducen la noción con situaciones adidácticas
llevando al alumno a construir el concepto clásico de
probabilidad.
A partir de la experimentación llevando a la idea
frecuencial del concepto sin tener en cuenta las
condiciones bajo las cuales se debe realizar.
Se presenta la noción desde la teoría de conteo
presentando previamente los distintos arreglos que
pueden darse en un conjunto finito numerable de
datos.
Contenidos Educativos y Renovación Curricular
En el nivel inicial:
“Hay que introducir nuevos tópicos”
En EGB 1 y 2:
noción de suceso
se le asignan números, en determinadas condiciones , que miden
su probabilidad.
Se aborda la noción clásica de probabilidad.
En EGB 3:
Conceptos de: azar, posibilidad, imposibilidad, grados de
probabilidad.
Los alumnos podrán explorar las relaciones entre la probabilidad
empírica y teórica, mediante situaciones de juego,
experimentales o usando modelos de simulación.
Desde el Ministerio de Cultura y
Educación de la Nación
Materiales de Apoyo para la capacitación docente, Educación
General Básica( EGB)
Contenidos Básicos para la Educación Polimodal
Conclusiones
La inclusión de esta noción en los CBC de matemática es una de las
novedades más importantes de las propuestas del Ministerio de
Cultura y Educación de la Nación Argentina (1995 y rectificada en
1997). Por lo que hay poca experiencia para abordar las situaciones
de enseñanza – aprendizaje.
Reconocemos que los alumnos y las alumnas enfrentan el
aprendizaje a partir de los conocimientos previos y deben sortear el
obstáculo, el nuevo contenido, para poder avanzar.
Conclusiones
También reconocemos que el error, que puede producirse, es
una muestra de concepciones no aclaradas e incompletas que
debe servir para construir los nuevos saberes.
Se sugiere la experimentación, la anotación y la
comprobación de resultados, como así también el contraste
entre éstos y los valores anticipados.
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