Por Irene Valenzuela
Transformada de Laplace
y
Teoría de Control
1. Un poco de Historia del control
• Ejemplos históricos:
- La idea de que un reloj de agua pudiera realizar una función automática se le
ocurre a Platón. Los alumnos de Platón tenían ciertas dificultades para levantarse
por la mañana, lo cual era fuente de discusiones todos los días. Por lo cual Platón
diseña un sistema de alarma basándose en una Clepsydra. En el vaso de la
Clepsydra se ubicó un flotador encima del cual se depositan unas bolas. Durante la
noche se llenaba el vaso y al amanecer alcanzaba su máximo nivel y las bolas caían
sobre un plato de cobre. Y así los alumnos terminarían por levantarse.
el caudal suministrado al depósito b es
constante por lo cual este tardará en
llenarse un tiempo determinado y fijo al final
del cual las bolas caen sobre la bandeja
ejerciendo la función de alarma.
http://automata.cps.unizar.e
s/animhistoria/22.html
-
Otro ejemplo es el reloj de agua diseñado en el siglo III por H. Diels:
El agua hace subir
el émbolo que va
señalando las
horas, para ello
se necesita un flujo
constante.
http://automata.cps.unizar.es/animhistoria/11.html
-
Hasta el siglo XVII se desarrollan innumerables mecanismos basados en el
control como dispensadores de grano y vino o reguladores para molinos de
viento.
• La Revolución Industrial:
- Los mecanismos reguladores se desarrollan en la Revolución Industrial. Gracias,
en gran parte a la introducción de la máquina de vapor en sus vidas. Esto, conllevó
que se necesitasen distintos artilugios para controlar sus aplicaciones.
En 1778, James Watt diseñó controlador centrífugo para la velocidad de su máquina
de vapor, cuyo tipo es aún usado con pequeñas modificaciones.
http://automata.cps.unizar.es/animhistoria/4444.html
Aunque ya existiesen sistemas de control aún no existía una Teoría de Control
Automático, dado que ni siquiera existían las herramientas matemáticas necesarias
para ello.
• El desarrollo teórico:
Al mismo tiempo que Watt se dedicaba a perfeccionar su regulador
de bolas, Laplace y Fourier (basandose en la trasformada Z)
desarrollaban los métodos de Transformación Matemática, tan
utilizados y asumidos en la Ingeniería Eléctrica y por supuesto en la
actual Ingeniería de Control. (explicaremos algo de ellos más
adelante)
En el siguiente medio siglo se produjeron significativas
contribuciones en el campo del control automático. Durante las dos
décadas anteriores a la II Guerra Mundial ocurrieron importantes
desarrollos en la aviación y en la electrónica. Nyquist realizó su
clásico trabajo sobre la estabilidad de sistemas lineales
retroalimentados, aunque enfocado a redes de comunicaciones,
siendo durante la II Guerra Mundial que la gente interesada en
control automático descubrió de nuevo sus ideas. El trabajo de
Hazen, fue el primer intento de desarrollar alguna teoría sobre
servomecanismos.
La palabra servo fue entonces usada por primera vez, y es derivada
de la palabra latina “servus” que significa esclavo, la cual expresa
justamente la función de aquellos mecanismos de control que fueron
diseñados para mover los timones de barcos y aviones, obedeciendo
fielmente las órdenes enviadas por los pilotos de las naves.
• Las guerras mundiales:
Durante las guerras mundiales el desarrollo de los sistemas de control realimentados se
transformaron en una forma de supervivencia. Se exigió el desarrollo de una serie de
nuevos componentes de control y de una teoría de control completamente nueva,
necesaria por los complejos sistemas propuestos,.Debido al secreto militar, las
publicaciones fueron muy limitadas y solo hasta 1945 se conocieron los adelantos que
se habían logrado. En la cuarta y quinta décadas del siglo pasado fueron introducidos el
concepto de función de transferencia de frecuencia y el uso de cálculo de
transformaciones.
Desarrollos durante las guerras:
Control de barcos.
Entre los primeros desarrollos estaba el diseño de sensores
para controlar sistemas a lazo cerrado. En el año 1910
E.A.Sperry inventó el giróscopo que utilizó en la estabilización
y dirección de barcos y más tarde en control e aviones.
Desarrollo de armas y puntería para cañones.
Un problema muy importante durante el periodo de las dos guerras fue lograr exactitud
en la puntería de cañones hacia barcos y aviones en movimiento. Con la publicación de
“Teoría de los Servomecanismos” por parte de H.L.Házen en 1934, se inició el uso de la
teoría matemática del control en la solución los problemas planteados. Los visores de
bombardeo Norden desarrollados durante la Segunda Guerra Mundial, utilizaban
sincrorepetidores para relevar la información sobre altitud y velocidad del avión, y
perturbaciones debidas al viento sobre los visores de bombardeo, a los fines de
asegurar un despacho exacto del sistema de armas.
• Era del control moderno:
De 1945 a 1950 se consolidaron los avances realizados durante la guerra, se publicaron los primeros
libros sobre servomecanismos y algunas universidades del mundo empezaron a ofrecer cursos sobre
control automático. La teoría desarrollada hasta fines de los años cuarenta estaba relacionada con
sistemas lineales continuos. El análisis y la síntesis de sistemas de control eran basados en el método
de tanteos. Alrededor de 1950, Evans introdujo su llamado método del lugar de raíces. Más o menos al
mismo tiempo se desarrollaron los computadores digitales, cambiando el interés de los sistemas
continuos a los sistemas discretos.
Desde 1955 a la fecha, la ingeniería de control ha experimentado un desarrollo sin precedentes. Los
computadores analógico y digital han alcanzando grandes niveles de perfeccionamiento y su
disponibilidad es prácticamente universal. La mayoría de las universidades del mundo han desarrollado
excelentes programas de ingeniería de control y ésta es una de las más populares áreas de
investigación. Se han generado nuevas formas de control y se tiende a la optimización de los sistemas.
2. Algo de teoria:
•
Transformada de Laplace:
La Transformada de Laplace de una función f(t) definida (en matemáticas y, en particular, en
análisis funcional) para todos los números reales t ≥ 0 es la función F(s), definida por:
siempre y cuando la integral esté definida.
La Transformada de Laplace cumple una serie de propiedades:
1.
Linealidad
2.
Potencia n-ésima
3.
Seno:
4.
Coseno:
5.
Seno hiperbólico:
6.
Coseno hiperbólico:
7.
Logaritmo neperiano:
8.
Raiz n-ésima:
9.
Derivación
10.
Integración
A continuación se presenta una tabla con
las transformadas-antitransformadas mas
comunes
f(t)
L {f(t)} = F(s)
1
A
Ak/s
2
At
A/s2
3
Atn
An!/sn+1
4
Aeat
A/ s-a
5
Asen wt
Aw/ s2 + w2
6
Acos wt
As/ s2 + w2
7
Asenh wt
Aw/ s2 - w2
8
Acosh wt
As/ s2 -w2
Pierre-Simon Laplace
Laplace creó una curiosa fórmula para
expresar la probabilidad de que el Sol
saliera por el horizonte. Él decía que la
probabilidad era de (d + 1) / (d + 2), donde
d es el número de días que el sol ha salido
en el pasado. Laplace decía que esta
fórmula, que era conocida como la Regla
de Sucesión de Laplace, podía aplicarse
en todos los casos donde no sabemos
nada, o donde lo que conocíamos fue
cambiado por lo que no. Aún es usada
como un estimador de la probabilidad de
un evento, si sabemos el lugar del evento,
pero sólo tenemos muy pocas muestras de
él.
• Transformada Z:
De forma alternativa, en los casos en que x[n] está definida únicamente para n ≥ 0,
la transformada Z unilateral de define como
–
En el procesamiento de señales, se usa esta definición cuando la señal es causal.
Por eso un ejemplo de la TZ es la función de generación de probabilidades, donde
x[n] es la probabilidad que toma una variable discreta aleatoria en el instante n, y la
función X(z) suele escribirse como X(s), ya que s = z−1. Las propiedades de las
transformadas Z son útiles en la teoría de la probabilidad.
La Transformada Z inversa se define
–
donde es un círculo cerrado que envuelve el origen y la región de convergencia
(ROC). El contorno, , debe contener todos los polos de .
Un caso especial y simple de esta integral circular es que cuando es el círculo
unidad obtenemos la transformada inversa de tiempo discreto de Fourier:
_
La TZ con un rango finito de n y un número finito de z separadas de forma uniforme
puede ser procesada de forma eficiente con el algoritmo de Bluestein. La
transformada discreta de Fourier es un caso especial de la TZ, y se obtiene limitando
z para que coincida con el círculo unidad.
3. Ejemplos de Control
• Resolución de circuitos eléctricos:
Suponemos que v(t) es una función escalón:
• Control de velocidad:
Teniendo el sistema abajo descrito,
Por medio de las ecuaciones de Newton hacemos suma de fuerzas
en la masa:
(Renombramos la v como y para no
llevar a confusión)
A través de las propiedades y de las tablas de transformadas de Laplace , convertimos
el sistema de ecuaciones diferenciales en un sistema geométrico de mayor sencillez:
Sustituyendo ahora V(s) por Y(s) obtenemos:
Despejando por último las variables conseguimos una fórmula mucho
mas sencilla de calcular:
La teoría de control comenzaría a trabajar ahora ya que podemos
introducir el valor o tipo de función deseado de U(s) y obtener la
función Y(s) necesaria para cumplir esa condición. Viceversa también
funciona…¡Por Supuesto!
EJEMPLO NUMÉRICO:
m = 1000kg
b = 50Nsec/m
u = 500N
Se conoce que las condiciones iniciales son 0
U = 500, entonces (por la teoría de Laplace) : U(s) = 500/s
Y la función Y(s) quedaría,tomando como 0 los valores iniciales:
Y(S) = 500/s(1000s+50)
Reduciendo la ecuación a dos funciones transformadas de Laplace, tenemos:
Y(s) = 10/s – 10/(s+0.5)
Y aplicando las anti-transformadas obtenemos:
Y(t) = 10-10e
-0.5 t
Esta es la función de Y(t) para que U(t) pueda
ser de 500 N
• Control de Rumbo:
Primero analizamos el sistema dado con las fuerzas y ángulos:
Para simplificar el problema suponemos que el avión viaja a altitud y
velocidad constante, esto es algo irreal por supuesto, pero nos ayuda
a simplificar el problema en este ejemplo.
Entonces aplicando las ecuaciones se obtiene:
Donde los parámetros que aparecen son los siguientes:
α = ángulo de
q = inclinación
= ángulo de
inclinación
= ángulo de
deflación
= densidad del
aire
S = área de la
= longitud de la
cuerda
m = masa del
U = velocidad de
CT = coeficiente
CD = coeficiente
CL = coeficiente
vuelo
de impulsion
de resistencia
de sustentacion
CW = coeficiente
CM = coeficiente
de peso
de inclinación
= ángulo de
vuelo
ataque
superficie de
viento
avión
in = momento de
inercia
normalizado
Para facilitar el manejo de las ecuaciones vamos a introducir datos de los parámetros
Obteniendo:
Dejando solo las funciones dependientes del tiempo.
Aplicando ahora la Transformada de Laplace al sistema, tomando las
condiciones iniciales iguales a 0, nos encontramos con:
Este sistema es mucho mas sencillo de resolver que el de arriba, por lo
tanto aplicar Laplace ha sido una gran idea.
Si nuestro objetivo era encontrar la ecuación respecto al tiempo que debe de cumplir
el ángulo de inclinación para conseguir un ángulo de deflación dado. Operando con el
sistema podemos llegar a conseguir:
Una vez obtenida esta ecuación es muy sencillo conocer el resultado
buscado, simplemente introducimos la función transformada de ángulo
deseado y despejamos la otra función. Y por anti-transformadas…YA
ESTÁ,PROBLEMA RESUELTO!!
EJEMPLO NUMÉRICO:
Queremos conocer que función debe de cumplir el ángulo theta a través
del tiempo para que el ángulo de deflación cumpla:
(t) = t
Por lo que su función transformada es:
(s) = 1/s 2
Llevando esto a la ecuación que teníamos de antes y separándola en distintos sumandos para
obtener formas de transformadas de Laplace y aplicar entonces las anti-transformadas,
conseguimos está sencillez:
Más ejemplos de aplicación de Laplace a la teoría de control en:
http://www.engin.umich.edu/group/ctm (ejemplos de sistemas de control usando Laplace)
ó
http://chem.engr.utc.edu/Webres/Stations/controlslab.html (experimentos con sistemas de
control)
4. Aplicaciones actuales del control
•
Grandes estructuras espaciales. Es frecuente
escuchar que el despliegue de una antena o
telescopio en el espacio ha ocasionado algunos
problemas técnicos, algunos de ellos sumamente
costosos o incluso que han inutilizado
completamente la estructura. Estos despliegues y
acoplamientos de componentes deben basarse en
el control.
•
Robótica. Existe la importancia de desarrollar
métodos eficientes de visión artificial, por ejemplo.
Pero la Teoría del Control está también en el centro
de gravedad en este campo. El desarrollo de la
robótica depende de manera fundamental de la
eficiencia y robustez de los algoritmos
computacionales para el control de los robots. No
resulta difícil imaginar la complejidad del proceso
de control que hace que un robot camine y que lo
haga de manera estable o sea capaz de coger con
sus "manos" un objeto.
Control de la combustión. Se trata de un tema
relevante en la industria aeronáutica y aeroespacial en
las que se hace imprescindible controlar las
inestabilidades en la combustion que, normalmente,
viene acompañada de perturbaciones acústicas
considerables. En el pasado se ha realizado el énfasis
en los aspectos del diseño, modificando la geometría
del sistema para interferir la interacción, combustiónacústica o incorporando elementos disipativos. El
control activo de la combustión mediante mecanismos
térmicos o acústicos, es un tema en el que casi todo
está por explorar
Control de Fluidos. Se trata de un problema
con mucha importancia en aeronáutica puesto
que la dinámica estructural del avión (en sus
alas, por ejemplo) está acoplada con el flujo del
aire en su entorno. Aunque en los aviones
convencionales se puede en gran medida
ignorar este acoplamiento, es probable que los
aviones del futuro tengan que incorporar
mecanismos de control para evitar la aparición
de turbulencias en torno a las alas. Desde un
punto de vista matemático casi todo está por
hacer, tanto en lo que
respecta a la modelización,
al controly a los aspectos
computacionales.
Control de Plasma. La obtención de
reacciones de fusión controladas es uno
de los mayores retos para resolver los
problemas energéticos del planeta. En la
actualidad, una de las vías más
prometedoras es el de los tokomaks:
máquinas en las que se confina el plasma
mediante mecanismos electromagnéticos.
El problema fundamental es mantener el
plasma, de muy alta densidad, a una
temperatura muy alta en la configuración
deseada durante intervalos de tiempo
prolongados a pesar de sus
inestabilidades. Esto se realiza a través
de sensores mediante los cuales se
obtiene la información necesaria para
efectuar cambios rápidos y precisos de
las corrientes que han de compensar las
perturbaciones del plasma.
Economía. Las Matemáticas están jugando hoy en día
un papel activo en el mundo de las finanzas. En efecto,
la utilización de modelos matemáticos para predecir las
fluctuaciones de los mercados financieros es algo
común (mucha gente sueña con predecir los
movimientos en Bolsa y poder volverse un “poco” rico).
Se trata frecuentemente de modelos estocásticos en los
que la Teoría del
Control ya existente
puede ser de gran
utilidad a la hora
de diseñar
estrategias
óptimas de
inversión y consumo.
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Teoria de Control