CINEMÁTICA
Repaso
Ejercicio: Sea el movimiento definido por la siguiente
ecuación r = 2t i + 8j en unidades del S.I. Dibujar los
vectores posición en los instantes 0, 2, 4 y 6
segundos.
y
t (s)
0
2
4
6
r (m)
8 j (0,8)
4 i + 8 j (4,8)
8 i + 8 j (8,8)
12 i + 8 j (12,8)
10
5
5
10
x
Ejercicio: Determinar las ecuaciones paramétricas y de la
trayectoria del siguiente movimiento expresado por la
ecuación:
r(t) = [(t – 2)·i + (2t2 + 4t –3 )·j] m
•
•
•
•
•
•
•
•
Ecuaciones paramétricas:
x=t–2
;
y = 2t2 + 4t –3
Despejando “t”de la 1ª ecuación: t = x + 2
Y sustituyendo en la segunda:
y = 2 (x + 2)2 + 4·(x + 2) –3
y = 2 (x 2 + 4x + 4) + 4·(x + 2) –3
y = 2 x 2 + 8x + 8 + 4x + 8 –3
Ecuación de la trayectoria:
y = 2 x 2 + 12x + 13
Ejercicio: Determina el valor del vector posición del vector
: r(t) = [3t · i + (2t2 – 6) · j] m en los instantes de tiempo t
= 0, 2, 4, 6 s y calcula el módulo de dichos vectores y la
ecuación de la trayectoria.
t (s)
r(t) (m)
r(t) (m)
———
0
–6j
(–6)2
= 6,00
2
6i+ 2j
————
62 + 22
——————
= 6,32
4
12 i + 26 j
122 + 262 = 28,64
——————
6
18 i + 66 j
182 + 662 = 68,41
• Despejando “t” de x = 3 t  t = x/3, y
sustituyendo en y = 2 t2 – 6 queda:
y = 2(x/3)2 – 6;
y = 2x2/9 – 6
Ejercicio: Representa gráficamente la ecuación
anterior: (0,–6); (6,2); (12,26); (18,66).
y
50
25
5
10
15
x
y = 2x2/9 – 6
Ejercicio: Cuál será el vector desplazamiento y cuánto
valdrá su módulo en la ecuación anterior:
r(t) = 3t · i + (2t2 – 6) · j en unidades del S.I entre los
instantes t = 2 s y t = 4 s.
•
r1 (t =2 s) = (6 i + 2 j) m
r2 (t= 4 s) = (12 i + 26j) m
• r = r2 – r1 = x i +  y j + z k =
• [(12 – 6) i + (26 – 2) j] m
•
•
r = (6 i + 24 j) m
———–
———–
2
2
r=  6 + 24 m = 36 + 576 m = 24,74 m
Espacio recorrido (s)
• Es una magnitud escalar que mide la longitud de
trayectoria recorrida.
• NO hay que confundir
con el vector desplazamiento, aunque en trayectorias rectilíneas y
que no cambien de sentido el movimiento
s = r
• En el S.I. la unidad será el m.

Velocidad media (vm = vm)
•
r x i +  y j
vm = — = —————
t
t
•
x
y
vm = —— i + —— j
t
t
vm = vmx i + vmy j
• El módulo del vector vm toma el valor:
———————
vm=  vmx2 + vmy2
Ejercicio: Calcular la velocidad media entre los instantes t =
2s y t = 5, así como su módulo en el movimiento: r(t) =
[(2t2 – 4) · i + (1 – 4t) · j] m
r1 (t =2 s) = (4 i – 7 j) m
r2 (t =5 s) = (46 i – 19 j) m
r (2s5s) = r2 – r1 = (42 i – 12 j) m
r (42 i – 12 j) m
vm (2s5s) = — = —————— = (14 i – 4 j) m/s
t 5 s – 2 s
—————————
vm (2s5s)=  (14 m/s)2 + (– 4 m/s)2 = 14,56 m/s

Velocidad instantánea (v = v)
• Es el valor límite que toma la velocidad media cuando
los intervalos de tiempo t van aproximándose a 0.
Ejemplo: Calcular la velocidad instantánea aproximada ( t = 0,1 s) en el instante t = 2s, así como su
módulo en el movimiento: r(t) = [3t i + (2t2–6) j] m
• Sea  t = 0,1 s, suficientemente pequeño: deberemos
conocer la posición en r1 (t =2 s) y en r2 (t =2,1 s)
• r1 (t =2 s) = (6 i + 2 j) m
• r2 (t =2,1 s) = (6,3 i + 2,82 j) m
• r = r2 – r1 = (0,3 i + 0,82 j) m
•
r (0,3 i + 0,82 j) m
vaprox (t=2 s) = — = ——————— = (3 i + 8,2 j) m/s
t
0,1 s
•
————
vaprox (t=2 s)=  32 + 8,22 m/s = 8,73 m/s
Ejercicio: Calcular la velocidad instantánea más aproximada
en el instante t = 2s, así como su módulo en el
movimiento: r(t) = [3t · i + (2t2 – 6) · j] m
• Si queremos calcular v (t=2 s) de forma más aproximada
deberemos tomar un  t aún menor, por ejemplo 0,01 s, y
conocer la posición en r1 (t =2 s) y en r3 (t =2,01 s).
• r1 (t =2 s) = (6 i + 2 j) m
• r3 (t =2,01 s) = (6,03 i + 2,0802 j) m
• r = r3 – r1 = (0,03 i + 0,0802 j) m
•
r (0,03 i + 0,0802 j) m
vaprox (t=2 s) = — = ———————— = (3 i + 8,02 j) m/s
t
0,01 s
•
—————
2
3 + 8,022 m/s
vaprox (t=2 s)= 
= 8,56 m/s
Componentes cartesianas de la
velocidad instantánea v
•
r
x i +  y j + z k
v = lim — = lim ————————
t0 t
t0
t
•
dr
dx
dy
v = —— = —— i + —— j
dt
dt
dt
•
v = vx i + v y j
Velocidad instantánea (cont.)
• La dirección de v es tangente a la trayectoria en
el instante en el que calculemos la velocidad.
• El sentido es el del movimiento.
Ejemplo: Calcular la expresión del vector velocidad del
movimiento anterior:
r(t) = [3t · i + (2t2 – 6) · j] m y la velocidad en los
instantes 0, 2, 4 y 6 s así como su módulo.
•
r
x i +  y j + z k
v = lim — = lim ————————
t0 t t0
t
•
3(t+t) – 3t
[2(t+t)2–6 – [2t2–6]
v = ————— i + ————————— j =
t
t
•
3t + 3 t – 3t
[2t2 + 4t t + 2(t)2–6]–[2t2–6]
= —————— i + ————————————— j =
t
t
• v = dr/dt = 3 i + 4t j
ya que t  0
Ecuación de la
velocidad
Ejemplo (continuación): Calcular la expresión
del vector velocidad del movimiento anterior
r(t) = [3t · i + (2t2 – 6) · j] m y la velocidad en los
instantes 0, 2, 4 y 6 s así como su módulo.
• Ecuación de la velocidad: v = 3 i + 4t j
t (s)
v(t) (m/s)
0
3i
2
3i +
4
3 i + 16 j
6
3 i + 24 j
8j
v(t) (m/s)
—2
3
———
32 + 82
———–
32 + 162
———–
32 + 242
=3
= 8’54
= 16’28
= 24’19
Aceleración media (am = am)
• La definición es similar a la de la velocidad, si bien
tiene un significado totalmente distinto, pues indica
la variación de velocidad con el tiempo.
•
v vx i +  vy j + vz k
am = — = —————————
t
t
• am = amx i + amy j + amz k
• En el S.I. la unidad será el m/s2
Aceleración instantánea (a = a).
•
v
vx i + vy j + vz k
a = lim — = lim —————————
t0 t t0
t
•
dv
dvx
dvy dvz
a = —— = —— i + —— j + —— k
dt
dt
dt dt
•
a = ax i + ay j + az k
• La dirección y el sentido de a son los mismos
que los del vector incremento de velocidad
v ya que t es un escalar.
Ejemplo: Calcular la expresión del vector acelera-ción del
movimiento anterior r(t) = 3t·i + (2t2–6)·j, cuyo vector
velocidad era v = 3 i + 4t j en los instantes 0, 2, 4 y 6 s
así como su módulo.
• Ecuación del movimiento
(de la posición): r(t) = 3t·i + (2t2–6)·j
• Ecuación de la velocidad: v = 3 i + 4t j
• Ecuac. de la aceleración: a = dv/dt = 4 j
• Para todos los valores de tiempo
a = 4 j m/s2, ya que se observa que a no
depende de “t”.
•
—
2
a (m/s ) = 42 m/s2 = 4 m/s2
Componentes intrínsecas de la aceleración
• Únicamente en los movimientos rectilíneos a tiene
la misma dirección y sentido que v. En general, a
tiene una dirección y sentido hacia dentro de la
curva, con lo que normalmente se descompone en
dos vectores at (acel. tangencial) y an (acel.
normal) tangente y perpendicular a la
trayectoria.
Componentes intrínsecas de la
aceleración (at y an)
• a = at + an = at ·ut + an·un
siendo ut y un los vectores unitarios tangente y
perpendicular a la trayectoria en el punto en el que
calculamos la aceleración.
2
• a =a = lim ——
v dv
v
=
——
;
a
=a
=
——
t
t
n
n
t0 t
dt
R
• siendo R el radio de curvatura de la trayectoria.
• Suele llamarse v = v at= dv/dt ; an= v2/R
•
Igualmente llamamos a = a= 
———
2
at + an2
Ejemplo: Un coche de carreras toma la salida en una pista circular
de 1 km de radio. El módulo de la velocidad aumenta según la
ecuación: v(t) = 7 t, en unidades del SI. Calcula: a) la aceleración
tangencial; b) la aceleración normal y el módulo del vector a a
los 6 s.
a)
dv 7(t+t) – 7t 7t + 7 t – 7t 7 t
at = —— = ————— = —————— = —— = 7 m/s2
dt t
t
t
at = 7 ut m/s2
b)
v2
49 t2 m2·s-2
an = —— = ————— = 0,049 t2 m/s2
R
1000 m
an (t= 6 s) = 0,049 ·62 m/s2 = 1,76 m/s2 ; an = 1,76 un m/s2
————
—————
2
2
a (t= 6) =  at + an =  72 + 1,7642 m/s2 = 7,2 m/s2
Movimiento Rectilíneo Uniforme
M.R.U.
Se cumple que a = 0
at = 0
an = 0
Ecuación escalar del movimiento.
• Como el movimiento es rectilíneo, lo más sencillo es
situarlo en el eje de las “x” con lo que:
• v = vx · i = k · i r = x · i = (x0 + vx · t) · i
• Eliminando i de ambas miembros de las ecuaciones
nos queda:
vx = k
;
x = x0 + vx· t
• que se les denomina ecuaciones escalares.
Representación gráfica x/t.
x(m)
• Al representar “x” frente a
“t” se obtiene una recta
cuya pendiente es “v” (v =
tg ) y la ordenada en el
origen es x0.
x

x0
t
t(s)
Representación gráfica v/t
• Al representar “v”
frente a “t” se obtiene
una recta horizontal
ya “v” es constante y
no varía con “t”.
v(m/s)
vx = k
t(s)
Movimiento Rectilíneo
Uniformemente acelerado
M.R.U.A
Se cumple que a = k · ut
at = k = a
an = 0
Como la dirección no varía ut puede coincidir con
cualquier vector unitario i, j o k.
Ecuaciones escalar del movimiento.
• Como el movimiento es rectilíneo, lo situaremos en
uno de los ejes, por ejemplo el “x” con lo que:
• v = vx · i = a t + v0 = (ax · t + v0x) · i
r = x · i = (x0 + v0x · t + ½ · ax · t2 ) · i
• Eliminando el vector unitario i quedan las ecuaciones
escalares:
• vx = ax · t + v0x
x = x0 + v0x · t + ½ ax · t2
• Si el movimiento sucede en el eje “y” vertical (caída
libre) y tomando g = 9’8 m/s2, ay = –g (sentido hacia
abajo) y las ecuaciones serán:
vy = v0y– g · t ; y = y0 + v0y · t – ½ g · t2
Ecuación vx = f(x).
Despejando “t en la ecuación vx = ax · t + v0x :
vx –vox
t = ————
ax
y sustituyendo en x = x0 + v0x · t + ½ ax · t2
vx –vox 1
(vx –vox)2
x = x0 + v0x · ——— + — ax · ————2
ax
2
ax
2 ax( x – x0) = 2 vx·vox – 2 vox2 + vx2 + vox2 – 2 vx·vox
Despejando vx:
vx2 = vox2 + 2 ax( x – x0)
Representación gráfica a/t
aX (m/s2)
• Al representar “a” frente
a “t” se obtiene una recta
horizontal ya “a” es
constante y no varía con
“t”.
ax = k
t(s)
Representación gráfica v/t
• Al representar “v”
frente a “t” se obtiene
una recta cuya
pendiente es “ax” (ax =
tg ) y la ordenada en
el origen es v0x.
Vx (m/s)
vx

v0x
t
t(s)
Representación gráfica x/t
• Al representar “x”
x(m)
frente a “t” se obtiene
una parábola cuya
pendiente “v” varía
con el tiempo y que
vale 0 cuando el
movimiento cambia
de sentido (v = tg ) y
la ordenada en el
origen es x0.
Vx= 0
x

x0
t
t(s)
Composición de movimientos
• Se basan en dos principios:
• P. de Independencia: Cuando un móvil tiene dos
movimientos simultáneos, su cambio de posición
es independiente de considerarlos simultáneos o
sucesivos.
• P. de superposición: La posición, velocidad y
aceleración vienen dados por la sumas vectorial
de los movimientos parciales.
• Si los movimientos transcurren en ejes distintos,
se pueden considerar independientes. El tiempo
es la única magnitud común para ambos.
Composición de dos movimientos
uniformes perpendiculares.
• La ecuación de velocidad será:
v = vx · i + vy · j , siendo vx y vy constantes.
• La ecuación de la posición será:
r = x · i + y · j = (x0 + vx· t) · i + (y0 + vy· t) · j
• En la práctica se tienen dos ecuaciones
independientes con el “tiempo” común:
• vx = k ; vy = k’ ; x = x0 + vx· t ; y = y0 + vy· t
• Despejando “t” en una ecuación y sustituyendo en la
otra se obtiene la ecuación de la trayectoria:
•
vy
y = y0 + —– · (x – x0) Ec. de una recta
vx
Tiro parabólico
• Es una composición de dos movimientos: un MRU
en el eje horizontal (de las “x”) y un MRUA (caída
libre) en el eje vertical (de las “y”).
Ecuaciones del movimiento:
a = – g · j ; v = v0x · i + (v0y – g · t) · j
r = (x0 + v0x · t) · i + (y0 + v0y · t – ½ g · t2) · j
v0x = v0 · cos  ; v0y = v0 · sen 
Normalmente tomaremos x0 = 0 e y0 = h con lo que:
v = v0 · cos  · i + (v0 · sen  – g · t) · j
r = v0·cos  · t · i + (h + v0·sen  · t – ½ g · t2)· j
Ejemplo: Una persona lanza piedras horizontalmente
desde lo alto de un acantilado de 25 m de altura. Si
pretende que caigan a 30 m de la base del acantilado,
calcula: a) la velocidad con que debe lanzar las piedras;
b) el tiempo que tardan en caer éstas.
a) v0 = 13,28 m/s
b) t = 2,26 s
i. x = x0 + vx· t
ii. y = y0 + v0y · t + ½ ay · t2
iii. vy = ay · t + v0y
Tiempo de impacto con el suelo (y = 0):
Ejemplo: Un futbolista chuta hacia puerta con una velocidad de 15
m/s. Calcula: a) el alcance para un ángulo de tiro de 30º, 45º y 60 º;
b) el tiempo que el balón permanece en el aire en cada tiro; c) la
altura máxima en cada caso.
i. x = x0 + vx· t
ii. y = y0 + v0y · t + ½ ay · t2
iii. vy = ay · t + v0y
Alcance (x para y=0).
Tiempo en el aire, t para y=0
Altura máxima (y para vy = 0).
a)
x(= 30º) = 19,9 m
b)
t (= 30º) = 1,53
x(= 45º) = 23,0 m x(= 60º) = 19,9 m
t (= 45º) = 2,16 s; t (= 60º) = 2,65 s
c) y (= 30º) = 2,87 m y (= 45º) = 5,74 m y (= 60º) = 8,61 m
MOVIMIENTOS CIRCULARES
Movimientos circulares
• El vector posición r va cambiando continuamente
de dirección y sentido pero no así su módulo:
r= R (radio)
• Periodo (T): Es el tiempo que tarda en dar una
vuelta completa. Se mide en segundos.
• Frecuencia (): Es el número de vueltas que da
por unidad de tiempo. Se mide en herzios = s–1.
•
T = 1/ 
Movimiento Circular Uniforme
M.C.U.
Se cumple que a  0
at = 0 (v = cte)
an = k (como v = cte  R = cte)
Ejemplo: Las aspas de un molino giran con velocidad
angular constante. Si dan 90 vueltas por minuto, calcula:
a) la velocidad angular en radianes por segundo; b) la
velocidad lineal de un punto de las aspas que se
encuentra a 0,75 m del centro; c) el ángulo girado en 10 s.
• a)
90 vueltas
min
2  rad
 = ————— · ——— · ———— = 3  rad/s
min
60 s
vuelta
• b)
3  rad
v =  · R = ———— · 0,75 m = 7,1 m/s
s
• c)
3  rad
 =  · t = ———— · 10 s = 30  rad = 15 vueltas
s
Relación entre ecuaciones lineales
y angulares.
•
•
•
•
MRU
v = k (constante)
Ecuación e = f(t):
e = e0 + v · t
•
•
•
•
MCU
 = k (constante)
Ecuación  = f(t):
 = 0 +  · t
e =·R
v =·R
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Elementos del movimiento