LOGICA Y DEMOSTRACIONES
La lógica es el estudio del razonamiento; en particular,
se analiza si un razonamiento es correcto. La lógica se
centra en las relaciones entre los enunciados y no en el
contenido de un enunciado particular. Por ejemplo,
considérese el siguiente argumento:
Todos las matemáticos utilizan sandalias.
Cualquier persona que utilice sandalias es algebrista.
Por tanto, todos los matemáticos son algebristas.
Todos los matemáticos son algebristas.
PROPOSICIONES
• ¿Cuál de los siguientes enunciados es verdadero o falso?
• a) Los únicos enteros positivos que dividen a 7 son 1 y el
propio 7.
• b) Alfred Hitchcock ganó un Premio de la Academia en
1940 por dirigir Rebecca.
• c) Para todo entero positivo n, existe un número primo
mayor que n.
• d) La Tierra es el único planeta en el universo que tiene
vida.
e) Compre dos boletos para el concierto de rock de
Unhinged Universe para el viernes.
DEFINICION (PROPOSICION)
• Una afirmación que es verdadera o falsa,
pero no ambas, es una proposición.
• Utilizaremos letras minúsculas, como p, q y
r, para representar las proposiciones.
También utilizaremos la notación
• p: 1+1=3
para indicar que p es la proposición 1+1=3.
Definición
Sean p y q proposiciones.
La conjunción de p y q, denotada p  q, es la
proposición p y q.
La disyunción de p y q, denotada p  q, es la
proposición
p o q.
Las proposiciones (como p  q y p  q) resultantes
de combinar proposiciones son proposiciones
compuestas.
EJEMPLO
Si p: 1+1=3,
q: Un decenio tiene 10 años, entonces
la conjunción de p y q es
p 
q: 1+1=3 y un decenio tiene 10 años.

La disyunción de p y q es
p  q: 1+1=3 o un decenio tiene 10 años.
TABLA DE VERDAD   
• El valor de verdad de la proposición
compuesta p q queda definido mediante la
tabla de verdad.
p
v
v
f
f
q
v
f
v
f
p q
v
f
f
f
EJEMPLO
• Si
p: 1+1=3,
q: Minneápolis es la capital de Minnesota,
entonces p y q son falsas y la conjunción
p  q: 1+1=3 y Minneápolis es la capital de
Minnesota es falsa.
EJEMPLO
• Si
p: 1+1=3
q: Un decenio tiene 10 años,
• entonces p es falsa, q es verdadera, y la
conjunción
• p  q: 1+1=3 y un decenio tiene 10 años es
falsa.
EJEMPLO
• Si
p: Benny Goodman grabó música clásica,
q: Los Orioles de Baltimore eran los Cafés
de San Luis,
entonces p y q son verdaderas. Luego
p q: Benny Goodman grabó música
clásica y lo Orioles de Baltimore eran los
Cafés de San Luis es verdadera.
TABLA DE VERDAD   
• El valor de verdad de la proposición
compuesta pq se define mediante la tabla de
verdad
p
v
v
f
f
q
v
f
v
f
p q
v
v
v
f
• Si
p: 1+1=3,
q: Un decenio tiene 10 años,
entonces p es falsa, q es verdadera, y la
disyunción
p q: 1+1=3 o un decenio tiene 10 años es
verdadera.
EJEMPLO
• Si
p: Benny Goodman grabó música clásica,
q: Los Orioles de Baltimore eran los Cafés de San
Luis,
entonces p y q son ambas verdaderas y la
disyunción
p  q: Benny Goodman grabó música clásica o lo
Orioles de Baltimore eran los Cafés de San Luis
también es verdadera.
EJEMPLO
• Si
p: 1+1=3,
q: Minneápolis es la capital de Minnesota,
entonces p y q son falsas y la disyunción
p q: 1+1=3 o Minneápolis es la capital de
Minnesota es falsa.
NEGACION  
• La negación de p, denotada por  p, es la
proposición
no p.
El valor de verdad de la proposición p se
define mediante la tabla de verdad
p
v
f

p
f
v
EJEMPLO
Si p: Cary Grant estelarizó Rear Window,
la negación de p es la proposición
p: No es cierto que Cary Grant haya
estelarizado Rear Window.
EJEMPLO
Sean
p: Blas Pascal inventó varias máquinas calculadoras,
q: la primera computadora digital completamente electrónica
fue construida en el siglo XX.
r: se calculó hasta 1 millón de cifras decimales en 1954.
Representar la proposición
Blas Pascal inventó varias máquinas calculadoras y no es
cierto que la primera computadora digital completamente
electrónica haya sido construida en el siglo XX; o bien se
calculó hasta 1 millón de cifras decimales en 1954, en
forma simbólica y determinar si es verdadera o falsa.
La proposición puede escribirse en forma
simbólica como
(p q)  r.
(p q) r = (V  V)  F
= (V  F)  F
= F F
= F.
Por tanto, la proposición dada es falsa
EJERCICIOS
I DETERMINE SIN SON PROPOSICIONES
1 Mesero, ¿puede traer las nueces? Es decir, ¿puede
servir las nueces a los invitados?
2.La frase “Hazlo de nuevo, Sam” aparece en la
película Casablanca.
II SI p=F, q=V Y r=F, EVALUE
3. ( (p q)) ( p r)
4. (p r) (q r) (r p)
5. ( p   q) p
6. (p q) ( p q)   ((p   q)  (  p   q))
PROPOSICIONES CONDICIONALES
Y EQUIVALENCIA LÓGICA
• Si p y q son proposiciones, la proposición
compuesta, si p entonces q, es una preposición
condicional y se denota
p

q
La proposición p es la hipótesis (o antecedente) y
la proposición q es la conclusión (o consecuente)
EJEMPLO
• Enuncie cada proposición en forma de una proposición
condicional
• (a) María será una buena estudiante si estudia much.
• (b) Juan puede cursar cálculo sólo si está en su
•
segundo, tercer o cuarto año de estudio de
•
licenciatura.
• (c) Cuando cantas, me duelen los oídos.
• (d) Una condición necesaria para que los Cachorros
•
ganen la Serie Mundial es que consigan un
•
lanzador relevista derecho.
(e) Una condición suficiente para que Rafael visite
California es que vaya a Disneylandia.
(a) Si María estudia mucho, entonces será una buena
estudiante.
(b) Si p entonces q, es considerada desde el punto de
vista lógico como igual a p sólo si q. Una formulación
equivalente es
Si Juan cursa cálculo, entonces está en su segundo,
tercer o cuarto año de estudio de licenciatura.
(c) Si cantas, entonces me duelen los oídos
(d) Si los cachorros ganan la serie mundial,
entonces han contratado un lanzador
relevista derecho.
(e) Si Rafael va a Disneylania, entonces
estará visitando California.
TABLA DE VERDAD  
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
p
q
V
F
V
V
EJEMPLO
Sean
p: 1>2,
q: 4<8.
Entonces p es falsa y q es verdadera.
tanto,
p  q es verdadera y
q  p es falsa.
Por
EJERCICIO
Si p=V, q=F y r=V, determine el valor de
verdad de cada proposición.
(a) ( p  q )  r
(b) ( p  q )   r
(c) p   ( q  r )
(d) p  ( q  r )
PROPOSICION BICONDICIONAL
Si p y q son proposiciones, la proposición
compuesta
p si y sólo si q
es una proposición bicondicional y se denota
p  q.
TABLA DE VERDAD   
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
p

V
F
F
V
q
EJEMPLO
La afirmación
1<5 si y sólo si 2<8
puede escribirse de manera simbólica como
p  q
Si definimos
p: 1<5,
q:2<8
Como p=V y q=V, la afirmación es verdadera.
PROPOSICIONES
EQUIVALENTES
Supongamos que las proposiciones
compuestas P y Q están formadas por las
proposiciones p1,...,pn. Decimos que P y Q
son lógicamente equivalentes y escribimos
P Q,
Siempre la proposición P Q sea verdadera
(tautología) para cualquier valor de verdad
de P y Q.
LEYES DE MORGAN
a)   p  q    p   q
a)
p q
V V
V F
F V
F F
b )  p  q    p   q
 p  q   p   q  p  q 
F
F
F
V
F
F
F
V

V
V
V
V
p  q
Descargar

lógica i. ppt.