Lógica
 Proposición
– Expresión de la que tiene sentido decir si es
verdadera o falsa.
 Ejemplos
– 1 + 4 = 5 (Verdad)
– La Pampa es una nación. (Falso)
– 8 + 23 (no es proposición)
– María (ídem anterior)
1
Proposición Atómica
 Una proposición es atómica si no puede ser
descompuesta en proposiciones más
simples.
 Las proposiciones atómicas son indicadas
de manera afirmativa.
 Ejemplos:
– La casa es grande.
(es atómica)
– La casa no es grande.
( no es atómica)
– Hoy es viernes y tenemos clase. (no es atómica)2
Proposición Molecular
 Una proposición es molecular si no es
atómica, es decir, si puede ser descompuesta
en proposiciones más simples.
 Una proposición molecular se forma al unir
proposiciones atómicas utilizando
conectivos lógicos o términos de enlace.
3
Conectivos Lógicos
Conectivo
Simbolización
y
^
o
v
no
(sobre la proposición)
4
Proposiciones Moleculares
 Ejemplos
– Vamos en bicicleta o vamos a pie.
– No es cierto que Juan llegó temprano
– Juan no llegó temprano
– Luis es arquitecto y Martín es médico.
– La medalla no es de plata y el diploma parece
falso.
– Matías aprobó pero Lucas no.
5
Simbolización
 Se utilizarán letras minúsculas para
simbolizar las proposiciones atómicas.
 Ejemplo:
– El Sr.Domínguez es el gerente.
Si se considera
p = “El Sr.Domínguez es el gerente”
esta proposición puede ser simbolizada como p.
6
Simbolización
 Para simbolizar un proposición
– Identificar las proposiciones atómicas
– Simbolizar las proposiciones atómicas
encontradas.
– Utilizar los conectivos lógicos para
relacionarlas.
7
Simbolización
 Ejemplos
– Vamos en bicicleta o vamos a pie.
p : “Vamos en bicicleta”.
q : “Vamos a pie”
Simbolización: p v q
– No es cierto que Juan llegó temprano
p = “Juan llegó temprano”.
Simbolización : p
8
Simbolización
 Ejemplo
– La medalla no es de plata y el diploma
parece falso.
p : “La medalla es de plata”.
q : “El diploma parece falso”
Simbolización: p ^ q
9
Simbolización
 Ejemplo
– Matías aprobó el examen pero Lucas no.
r = “Matías aprobó el examen”.
s = “Lucas aprobó el examen”
Simbolización : r ^ s
10
Tabla de Verdad
 La tabla de verdad de una proposición
molecular muestra todas las posibles
combinaciones de valores de verdad de las
proposiciones atómicas que la componen.
11
Negación
p
p
V
F
F
V
 Indique el valor de verdad de:
– El número 9 no es divisible por 3.
– No es cierto que los perros vuelan.
12
Conjunción
p
q
p ^ q
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
F
F
 Indique el valor de verdad de :
– 6 es un número par y divisible por 3.
–(2+5=7) y(2*3=9)
13
Disyunción
p
q
p v q
V
V
V
V
F
V
F
V
V
F
F
F
 Indique el valor de verdad de :
– 2 es primo o es impar.
– (2 + 3 = 4 ) o (2 * 2 = 5)
14
Construcción de tablas de verdad
 ¿Cuántas filas tiene la tabla?
– 1 proposición

2 valores (V o F)
– 2 proposiciones

4 valores de verdad
– 3 proposiciones

8 valores de verdad
– .........
– n proposiciones

2n valores de verdad.
15
Ejemplos
 Construir las tablas de verdad de las
siguientes proposiciones
p^q
(pvq)^ p
(p ^ r ) v ( p ^ q)
16
Ejercicio
 Sabiendo que p y q son proposiciones
verdaderas y que r y s son proposiciones
falsas, determinar el valor de verdad de las
proposiciones moleculares siguientes:
(p ^ q ) v (r ^ p ) v
(q
v
p)
^ (r
v
s)
v
(q
s
^ r)
17
Ejercicio
 Sabiendo que
(p v q ) ^ ( p ^ s) es verdadera
indicar, de ser posible, el valor de verdad de
las proposiciones atómicas que la componen
18
Ejercicio
 Sabiendo que
( p ^ q ) v ( p v q ) es falsa
indicar, de ser posible, el valor de verdad de
las proposiciones atómicas que la componen
19
Proposiciones moleculares
 Según su valor de verdad pueden ser
– Tautología
– Contradicción
– Contingencia
20
Tautología
 Una proposición molecular es una
tautología si es cierta, cualesquiera sean
los valores de verdad de las proposiciones
atómicas que la componen.
 Ejemplo: p v p
21
Contradicción
 Una proposición molecular es una
contradicción si es falsa, cualesquiera sean
los valores de verdad de las proposiciones
atómicas que la componen.
 Ejemplo: p ^ p
22
Contingencia
 Se dice que una proposición molecular es
una contingencia si al construir la tabla de
verdad el resultado final que se obtiene, es
una combinación valores de verdad
verdaderos y falsos.
 Ejemplo: p ^ q
23
Ejemplos
 Indicar para cada una de las siguientes
proposiciones si se trata de una tautología,
contradicción o contingencia
(p^q) v(pvq)
( q ^ p ) ^ (q ^ p)
24
Equivalencia Lógica
 Se dice que dos proposiciones son
lógicamente equivalentes si poseen los
mismos valores de verdad (para los mismos
valores de verdad de sus variables)
 Ejemplo:
pq  pq
25
Ejemplo:
pq  pq
p
q
pvq
pvq
V
V
V
F
V
F
V
F
F
V
V
F
F
F
F
V
p
q
p
q
p^q
V
V
F
F
F
V
F
F
V
F
F
V
V
F
F
F
F
V
V
V
26
Leyes de De Morgan
 La negación de una disyunción es equivalente a la
conjunción de las negaciones de las proposiciones
involucradas.
(p v q)  ( p ^ q )
 La negación de una conjunción es equivalente a la
disyunción de las negaciones de las proposiciones
involucradas.
(p ^ q)  ( p v q)
27
Proposición condicional
 Dadas dos proposiciones p y q, la
proposición "si p entonces q" se llama
proposición condicional y se escribe
pq
donde p es llamada antecedente o hipótesis,
y q consecuente o tesis.
28
Proposición condicional
 Ejemplo:
Si resolvemos la tarea entonces aprenderemos la
lección
p = "resolvemos la tarea"
q = "aprenderemos la lección"
Simbolizando: p  q
29
Proposición condicional
 Ejemplo:
Si vamos a la fiesta entonces no nos
acostaremos temprano
p = "vamos a la fiesta"
q = "nos acostaremos temprano"
Simbolizando: p  q
30
Tabla de verdad del condicional
p
q
pq
V
V
V
F
V
V
V
F
F
F
F
V
La implicación de p a q es falsa únicamente en el caso
de que el antecedente p sea verdadero y que el
consecuente q sea falso
31
Proposición Condicional
 Existen distintas formas de leer un
condicional:
– “Si p entonces q”.
– “q es una condición necesaria para p”
– “p es una condición suficiente para q”.
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Distintas formas de indicar una
proposición condicional
 Ejemplo:
p : El entero x es múltiplo de 4
q : El entero x es par
– Si el entero x es múltiplo de 4, entonces es par
– Que el entero x sea múltiplo de 4 es suficiente
para que sea par
– Que el entero x sea par es necesario para que
sea múltiplo de 4.
33
Proposición condicional
 La contrapositiva de la proposición
condicional p  q es la proposición
qp
 Muestre la equivalencia lógica:
pq  qp
34
Proposición condicional
 La recíproca de la proposición
condicional p  q es la proposición
qp
 ¿Son lógicamente equivalentes?
?
pq  qp
35
Proposición bicondicional
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
pq
V
F
F
V
 Observando la tabla notamos que el bicondicional
distingue si ambas proposiciones tienen el mismo valor
de verdad, o valores de verdad distintos.
36
p  q  (p  q) ^ (q  p)
p
q
pq
qp
(p  q) ^ (q  p)
V
V
V
V
V
V
F
F
V
F
F
V
V
F
F
F
F
V
V
V
37
Razonamiento
 A partir de un conjunto de proposiciones tomadas
como base de argumentación se deduce una
conclusión.
38
Ejemplo de razonamiento
 Si llueve entonces no iremos a caminar.
Llueve. Por lo tanto no iremos a caminar.
p = “llueve”
q = “iremos a caminar”
( (p q) ^ p )  q
Para demostrar que el razonamiento es
correcto hay que ver si esta proposición es
una tautología
39
Tabla de verdad de ( (p q) ^ p )  q
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
p q
(p q) ^ p
( (p q) ^ p )  q
V
F
V
V
V
F
F
F
V
V
V
V
La tabla indica que el razonamiento es correcto
independientemente de las proposiciones utilizadas
40
Forma general de razonamiento
 p1 
p 2  ...  p k   c
 El razonamiento será válido si la expresión
anterior es una tautología
41
Ejemplo: Demostrar si el siguiente
razonamiento es correcto
 “Si estudio todos los temas y estoy inspirado
entonces aprobaré el examen. No estoy inspirado.
Por lo tanto, no aprobaré el examen.”
 Simbolización:
p = “estudio todos los temas”
q = “estoy inspirado”
r = “aprobaré el examen”
¿ Es una falacia ?
[( (p ^ r )  q) ^ r ]  q
42
Resumen
 Un razonamiento es una fórmula condicional
p1 ^ p2 ^ … ^ pk 
c
 Las proposiciones p1,p2,..pk son las premisas del
razonamiento
 La proposición c es la conclusión del razonamiento
 El razonamiento es una forma válida si
p1 ^ p2 ^ … ^ pk 
c es una tautología.
 El razonamiento es una forma inválida o falacia si
p1 ^ p2 ^ … ^ pk 
c no es una tautología.
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Notación
 El razonamiento p1 ^ p2 ^ … ^ pk  c
también puede escribirse como
p1
p2
…
pk
c
44
Ejemplo: decir si se trata de un
razonamiento válido o no
 Si Rumas evitó la maldición entonces, o
bien engañó a las criaturas o bien construyó
el castillo.
 Si Rumas engañó a las criaturas, entonces
no construyó el castillo
 Por lo tanto: si Rumas evitó la maldición,
entonces engañó a las criaturas.
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Atómica