Fundamentos de Lógica
¿Qué es una proposición?
¿Cuáles son los conectivos lógicos?
¿Cómo utilizar las tablas de verdad?
¿Qué es una tautología?
¿Qué es una contradicción?
Proposiciones
Una proposición es una declaración sobre la que se puede
decidir su veracidad o falsedad. Es decir, es un
enunciado verdadero o es un enunciado falso, pero no
puede ocurrir ambas cosas.
Por ejemplo
SON PROPOSICIONES
“El 2 es un número primo”.
“ 25 es divisible entre 3 ”.
“ 6 + 5 = 10 ”.
“El aula A1-205 está en el
2do piso”.
NO SON PROPOSICIONES
“ Pare inmediatamente!”
“¿15 y 18 tienen la misma
cantidad de divisores?”.
“ En realidad, ¿a qué se refiere?”.
“ Lávalo”.
Proposiciones.
Llamaremos proposiciones a aquellas frases
del lenguaje natural, las cuales podamos
afirmar que son verdaderas o falsas.
Ejemplos de proposiciones:
Dos es par
Tres es mayor que diez
Tres más cuatro es nueve
Una proposición es simple o atómica, si ninguna
parte de ella es a su vez una proposición.
Ejemplos de proposiciones simples o atómicas:
“Dos es un número par".
"Tres es mayor que cuatro".
"Tres más cinco es mayor que cuatro".
Se usan letras minúsculas p, q, r, s,...etc., para denotar
proposiciones simples o atómicas.
La propiedad fundamental de una proposición, es que
ella puede ser verdadera o falsa, pero no ambas cosas
a la vez.
El valor de verdad de una proposición simple depende
exclusivamente del enunciado de la proposición.
“Dos es un número par".
"Tres es mayor que cuatro".
"Tres más cinco es mayor que cuatro".
Es verdadero.
Es Falso.
Es verdadero.
Algunos enunciados o proposiciones son
compuestos, es decir, están formados de
proposiciones simples y de conectivos que
los unen.
2 es un número entero y es positivo
Si llueve, el piso se moja
Si es un entero, entonces es real
Si estudio y hago los ejercicios, entonces
apruebo y paso de curso
El valor de verdad de una proposición
compuesta depende completamente del valor
de verdad de cada proposición simple y del
modo como se les reúne o conecta para
formar la proposición compuesta.
Proposiciones
¿Cuáles de los siguientes enunciados son proposiciones?
(Explica por qué lo son o no lo son)
1) “ El trabajo en grupo es lo más fácil que existe”.
2) “ 2 es divisor de 15”.
3) “ ¿Fuiste a la manfestación del sábado?”.
4) “ El aula A1-205 de la Unimet tiene más de 50 mts.
cuadrados”.
5) “ x + 3 es un entero positivo”.
6) “ Tranquilícese”.
Respuestas: Sólo son proposiciones los
enunciados dados en 2 y 4
Conectivos
Negación. Es aquel conectivo que niega la
proposición,
y
normalmente
se
utiliza
anteponiendo “no”, o anteponiendo la frase es
falso que.
Simbólicamente la negación se puede representar en
lenguaje matemático, de tres formas diferentes:
I.- Anteponiendo el símbolo “” .
“ p” significa “no p”.
II.- Sobreponiéndole una barra “ p “
III.- Anteponiendo el símbolo “” .
“ p” significa “no p”.
Notación
Para denotar o representar las proposiciones se usan letras
minúsculas: p, q, r, s, ...
p: “El aula A1-204 está en el 2do piso”
q: “El aula A1-204 es iluminada”
r: “El 5 es un entero par”
s: “La Tierra es el único planeta con vida en el universo”
t: “El aula A1-204 no está iluminada”
u: “Un decenio tiene 10 años”
Negación
El enunciado “No se cumple p” es una proposición llamada
“la negación de p” y se denota por p.
Ejemplo
p: Nuestro salón está en el 2do piso.
p : Nuestro salón no está en el 2do piso.
p : No es cierto que nuestro salón esté en el 2do piso.
Si p es verdadera entonces p es falsa. En cambio, si p es
falsa, p es verdadera.
La tabla de verdad de la negación es:
p
p
V
F
F
V
Notación
Las proposiciones se combinan mediante conectivos,
por ejemplo, “y”, “o”, “pero”, “si ... entonces”…
Por ejemplo
p: “El aula A1-204 está en el 2do piso”;
q: “El aula A1-204 es iluminada”.
pueden combinarse como:
“El aula A1-204 está iluminada y está en el 2do piso”
“Si el aula A1-204 está iluminada entonces se encuentra en
el 2do piso”
Conjunción. Es
aquel conectivo que une dos
proposiciones, incluyéndolas obligatoriamente a
ambas.
Se utiliza “y” como conectivo de conjunción.
"dos es par y tres es impar
Simbólicamente la conjunción “y” se representa en
lenguaje matemático con el símbolo 
y 

Conectivos
La proposición resultante de conectar dos ó más
proposiciones se denomina proposición compuesta.
Ejemplo
r : “El aula A1-205 está en el 2do piso pero es iluminada”
r es la proposición compuesta
“p y q”
s: “Si el aula A1-204 está iluminada entonces se encuentra en el
2do piso”
s es la proposición compuesta “Si q entonces p” ”
Conectivos
La conjunción de p y q es la proposición “p y q”
que se denota por “p  q”.
La conjunción es verdadera, únicamente cuando ambas
proposiciones que la componen son verdaderas.
Ejemplo
Sea p: “2 divide a 68”
q: “2 divide a 25”.
p  q : “ 2 es divisor de 68 y de 25”.
Valor de verdad:
p  q es falsa
Disyunción. Es aquel conectivo que une dos
proposiciones ofreciendo una alternativa entre una
proposición o la otra, así como también ofrece la
posibilidad que sean ambas.
"dos es mayor que siete o siete es mayor que dos".
La proposición está compuesta por las proposiciones
simples
"dos es mayor que siete"
junto con
" siete es mayor que dos",
conectadas por la palabra "o“, que constituye el
conectivo de disyunción, y su símbolo es “”
Conectivos
La disyunción de p y q, es la proposición “p o q”, que se denota
por “p  q”. El “o” se usa en el sentido inclusivo; como en
“La solución de (x–2).(y+2) = 0 es x = 2 o y = -2”.
La disyunción es falsa, únicamente, cuando ambas
proposiciones son falsas.
Ejemplo:
Sean p: “3 divide a 6” q: “3 divide a 7”
p  q : “ 3 divide a 6 ó a 7”
Valor de verdad: p  q es verdadera.
Tablas de verdad
Las tablas de verdad de los dos conectivos
anteriores son:
p
q
pq
pq
V
V
V
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
F
F
F
pyq
poq
DISYUNCIÓN EXCLUYENTE
• Es la disyunción pero que su valor de verdad acepta una sola
proposición como verdadera.
• No pueden ocurrir las dos proposiciones al mismo tiempo.
• Ejemplo: Me caso con Rosita o con Doris
• Hoy a las 3 voy al Parque Arauco o al Alto Las Condes.
• Su notación es: 
p  q
Valores de verdad
Disyunción excluyente
q
p q
V
V
V
F
F
V
F
V
V
F
F
F
p
Implicación o Condicional
Es aquél conectivo en el que se establece una
condición para que se cumpla la otra
proposición.
normalmente se establece como:
“Si se cumple p, entonces se cumple q”
p

q
Conectivos
La implicación es la proposición “Si p entonces q ”,
que se denota por p  q
A p se le llama hipótesis (o antecedente) y
a q se le llama tesis (o consecuente).
La proposición p  q, se puede leer también como
Si p, q
p sólo si q
p es suficiente para q
q es necesaria para p
p implica q
q se deduce de p
Conectivos
Ejemplo:
p: “Los polvos de jardín contienen veneno”
q: “Los polvos de jardín son de colores brillantes”.
La proposición p  q puede estar expresada como:
“Si los polvos de jardín contienen veneno entonces son de colores brillantes”;
“Los polvos de jardín contienen veneno sólo si son de colores brillantes”;
“Son necesarios los colores brillantes para los polvos de jardín que contienen
veneno”;
“Los polvos de jardín son de colores brillantes si contienen veneno”.
Conectivos
“Si p entonces q ” es verdadera, cada vez que la condición p
es verdadera obliga a que la condición q también sea verdadera.
Es decir, con el cumplimiento de p, se promete el cumplimiento
de q.
La implicación es falsa, únicamente, cuando el antecedente es
verdadero y el consecuente es falso. En este caso, a pesar de
“estar dadas las condiciones”, no se cumple la promesa.
La tabla de verdad para la implicación es
p
q
pq
V
V
V
V
F
F
F
V
V
F
F
V
Conectivos
Ejemplo:
p: “La respuesta automática se puede enviar”
q: “El sistema de archivos está lleno”.
p  q :
“Si la respuesta automática no se puede enviar, el archivo está lleno”.
q  p :
“La respuesta automática no se puede enviar cuando el archivo está lleno”.
q  p :
“La respuesta automática no se puede enviar si el archivo está lleno”.
pq:
“Si la respuesta automática se puede enviar, el archivo no está lleno”.
Conectivos
Ejercicio
Si x = 1, ¿cuál es el valor de la variable x después de ejecutarse
cada una de las siguientes instrucciones?
a) si 2 + 2 = 4 entonces x:=x + 1
b) si (1+1=3) or (2+2=3) entonces x:=x + 1
c) si (2+3=5) and (4+3=7) entonces x:=x + 1
d) si x < 3 entonces x:=x + 1
¿ x = ??
Respuesta:
a) x = 2
c) x = 2
b) x = 1
d) x = 2
Bicondicional o doble implicancia.
Es aquel conectivo de la forma:
“se cumple p si y solamente si se cumple q”.
p q
Esto significa que también se cumple la
situación inversa,
es decir que como se cumple q, también se
cumple p.
Conectivos
La proposición “p si y sólo si q” se denomina bicondicional y se
denota por “p  q”
Es verdadera cuando p y q tienen los mismos valores de
verdad, es decir, es verdadera si ambas componentes son
verdaderas o ambas son falsas.
Una manera de abreviar “si y sólo si” es “sii”.
“p si y sólo si q”
se puede expresar como
“p es condición necesaria y suficiente para q”.
Ejemplo
p : 24 es un número par.
q : 24 es divisible por 2.
p  q : “ 24 es un número par si y sólo si 24 es divisible entre 2”.
Conectivos
• La tabla de verdad para el bi-condicional es
p
q
p q
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
F
V
Verdad lógica o Tautología.
Son aquellas proposiciones que siempre son
verdad, sin importar los valores de verdad de
las proposiciones que la componen.
Consideremos la proposición ((p  q)  p)
p
q
pq
(pq)p
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
F
V
V
V
V
F
Tautología y contradicción
Una tautología es una proposición compuesta que
es verdadera para todos los valores de verdad de las
proposiciones que la componen.
Por ejemplo: p  p
“ Soy un hombre o no soy un hombre”
Una contradicción es una proposición compuesta que
es falsa para todos los valores de verdad de las
proposiciones que la componen.
Por ejemplo: p  p
“Soy un hombre pero no soy un hombre”
Contingencia
Son aquellas proposiciones que pueden ser verdad o falso,
dependiendo de los valores de verdad de las proposiciones que le
componen.
Contradicciones
Son aquellas proposiciones que
siempre son falsas, sin importar los valores
de verdad de las proposiciones que la
componen.
Verdades lógicas usuales
Ley de Idempotencia
ppp
ppp
Ley Asociativa
(p  q )  r  p  (q  r)
(p  q)  r  p  (q  r)
Ley Conmutativa
pqqp
p q  q  p
a  (b + c )  (a  b) + (a  c)
Ley Distributiva
p  (q  r)  (p  q)  (p  r)
p  (q  r)  (p  q)  (p  r)
Ley de Identidad
pF p
pV V
pV p
pF F
Leyes de DeMorgan
(p  q )  p  q
(p  q )  p  q
Implicancia
p  q pq
p  q  (p  q )  ( q  p )
Ley de Absorción
p  (p  q)  p
p  (p  q)  p
Leyes del Complemento
p p V
p p F
p p
V
F
F
V
p  q pq
(p  q )  (p  q )
p  q  (( p  q )  ( q  p )
( p  ( q  q ))  p
Algunas equivalencias
•
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A  A  F
A  A  T
A  A
ABBA
ABBA
A  (B  C)  (A  B)  (A  C)
A  (B  C)  (A  B)  (A  C)
A  (A  B)  A
A  (A  B)  A
Contradicción
Tautología
Doble negación
Conmutatividad
Conmutatividad
Distributividad
Distributividad
Absorción
Absorción
Utilizando las equivalencias lógicas
p  qpq
p  qpq
Implicancia
p  q  p q
Negación
p  qpq
DeMorgan
Utilizando las equivalencias lógicas
(p  q )  (p  q )  q
(p  q )  (p  q )
Implicancia
p  q   p   p  q   q 

distribución

( p  p )  q  p   p  q  q  q 
F

( q  (p  p ) ) 
F

( q 
V )  q
F  q  q
q
q
distribución
Ejercicios
1) Halla los valores de verdad de las proposiciones si sabes que
p  q es falsa.
a) p  q
b) q  p
c) p  p
d) p  q
Piensa un rato y justsiica tus respuestas
2) Halla los valores de verdad de p, q, r, s, t
( p  q )  r  ( s  t ) sea falsa.
para que la proposición
3) Construye una tabla de verdad para cada una de las
proposiciones
¿Cuáles de estas proposiciones
a) ( p  ¬q )  q
es una tautología?
b) ( p  q )  ( p  q )
c) q  (¬p  ¬q)
¿Puedes construir una
contradicción a partir de alguna de
ellas? ¿Cuál?
Formalización
La formalización es el proceso en el que se traducen proposiciones
del lenguaje cotidiano al lenguaje formal o simbólico.
4) Expresa las siguientes proposiciones usando p, q y los conectivos.
Sean p: “La temperatura está sobre los 17°C”
q: “ Llueve”
a)
b)
c)
d)
La temperatura está sobre los 17°C pero llueve.
Ni la temperatura supera los 17°C ni llueve.
No es cierto que llueva con la temperatura superior a los 17°C.
Llueve cuando la temperatura está sobre los 17°C.
e)
f)
Que la temperatura esté sobre los 17°C es suficiente para que no llueva.
O bien llueve o bien la temperatura es superior a 17°C.
Formalización
5) Sean p: “El mensaje es revisado para buscar algún virus”
q: “ El mensaje fue enviado desde un sistema desconocido”
Expresa las siguientes proposiciones usando p, q y los conectivos.
a) El mensaje se revisa para buscar algún virus siempre que se haya enviado
desde un sistema desconocido.
b) El mensaje fue enviado desde un sistema desconocido pero no revisó para
buscar ningún virus.
c) Cuando el mensaje no es enviado desde un sistema desconocido no se
revisa para buscar ningún virus.
d) El mensaje fue enviado desde un sistema desconocido pero no se reviso
para buscar ningún virus.
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Proposicion