Una proposición es un enunciado u oración declarativa
de la cual se puede afirmar que es falsa o verdadera pero
no ambas cosas a la vez
Ejemplos:
¿ Son los siguientes enunciados proposiciones?.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
La tierra es cuadrada.
¿Habla usted francés?.
¿Qué hora es?.
Buenas tardes
1+1=3.
!Ayúdeme por favor!.
7 es mayor que 9.
Luisa estudia medicina.
Los conectivos lógicos son las palabras como y, o, no, si…entonces,
que permiten combinar proposiciones simples para producir otras,
llamadas proposiciones compuestas.
Sus símbolos son:
~


negación
conjunción
disyunción
disyunción exclusiva
condicional
bicondicional
Negación
p
~p
V
F
F
V
Conjunción
p : Martha estudia medicina
q : Luisa estudia ingeniería
p
q
V
V
V
F
F
V
F
F
pq
Conjunción
p
q
pq
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
F
F
Disyunción
p : Martha estudia medicina
q : Luisa estudia ingeniería
p
q
V
V
V
F
F
V
F
F
pq
Disyunción
p
q
pq
V
V
V
V
F
V
F
V
V
F
F
F
Disyunción exclusiva
p: El niño va al circo
q : El niño va al parque
p
q
V
V
V
F
F
V
F
F
p
q
Disyunción exclusiva
p
q
p
q
V
V
F
V
F
V
F
V
V
F
F
F
Cuál será el valor de verdad de:
•Si 4<6 entonces 16<36 V
•Si 4<6 entonces 16>36 F
•Si 4>6 entonces 16<36 V
•Si 4>6 entonces 16>36 V
Implicación o condicional
p
q
V
V
V
V
F
F
F
V
V
F
F
V
p
q
p: El triángulo es equilátero
q: El triángulo es equiángulo
p
q
V
V
V
F
F
V
F
F
p
q
Doble implicación, bicondicional
o equivalencia
p
q
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
F
V
p
q
Una tautología es una proposición cuyo valor de verdad es verdadero
independientemente de los valores de verdad de las proposiciones que
la componen.
Si la proposición es una equivalencia, se dice que las dos proposiciones
que ella conecta son lógicamente equivalentes. Si es una implicación,
la primera proposición implica lógicamente a la segunda.
Ejemplo:
 ( p )  p
p
p
V
F
F
V
 ( p )  ( p )  p
V
F
V
V
Ejemplos de tautologías:
1)
( p  q )  (q  p )
2)
( p  q )  ( q   p )
4)
( p  q )  ( q   p )
5)
( p  q )  ( p  q )
6)
7)
[( p  q )  ( q  r )]  ( p  r )
[( p  q )  ( r  s )]  [( p  r )  ( q  s )]
Un predicado es una frase en la cual intervienen variables,
se transforma en proposición al ser reemplazadas las variables
por constantes.
Ejemplos:
p1 ( x ) :
x tiene las orejas largas
p2 ( x ) :
x persigue a los conejos
p3 ( x ) :
x tiene la cola corta
p4 ( x ) :
a
x
le da rabia
La muerte de Tarzán
Nos dan las siguientes proposiciones:
a) Los perros que tienen las orejas largas, tienen la cola corta.
b) A los perros que persiguen a los conejos, nunca les da rabia.
c) Los perros que no persiguen a los conejos, tienen la cola larga.
Hipótesis: Tarzán murió de rabia.
Pregunta: ¿Cómo tenía las orejas Tarzán?.
Desarrollo:
Como
( p  q )  ( q   p )
entonces a), b), y c) se pueden
escribir en la forma
 p 2 ( x )   p1 ( x )
p 4 ( x )   p3 ( x )
 p3 ( x )   p 2 ( x )
Por lo tanto:
p 4 ( x )   p1 ( x )
Para x= Tarzán
p4 ( x )
es verdadera, de donde se desprende que
 p1 ( x ) es verdadera. Por lo tanto
Tarzán tenía las orejas cortas
El dilema de la música
Si voy a cine o trasnocho, entonces, me enfermo.
Si voy a cine o me enfermo, entonces, sufro mucho.
Si escucho música en la noche, entonces, trasnocho.
Hipótesis: !Yo no sufro!.
Pregunta: ¿Escuché música en la noche?.
Desarrollo:
Sean:
p : voy a cine
q : trasnocho
r : me enfermo
s : sufro
h : Escucho música
Las hipótesis nos conducen a las siguientes proposiciones.
( p  r)  s
( p  q)  r
Como s es falso
r
pr
es falso. Por lo tanto
h q
es falso, luego
pq
es falso y
es falso, de donde
q es falso, y por lo tanto h es falso, luego:
|No escucho música!
p
El estado de ánimo
Si no tomo leche y fumo, entonces, no crezco.
Si tomo leche o no crezco, entonces, me pongo triste.
Si estoy melancólico, entonces, fumo.
Hipótesis: !Estoy contento!.
Pregunta: ¿Estaré melancólico?.
Desarrollo:
Sean:
p : Tomo leche
q : Fumo
r : Crezco
s : Estoy triste
h : Estoy melancólico
Las hipótesis nos conducen a las siguientes proposiciones.
( p  q )   r
( p  (  r ))  s
Como s es falso p  (  r )
r
h q
es falso, luego
es verdadera. Por lo tanto  p  q
es falso y
es falso, de donde
q es falso, y por lo tanto h es falso, luego:
|No estoy melancólico|
p
LA SELECCION IDEAL
El entrenador de la Selección Colombia de fútbol ha llamado
a los siguientes cuatro jugadores: Adolfo, Bernardo, Carlos
y Diego para que jueguen en los puestos de Portero, Defensa
Central, Medio Campo y Puntero Derecho aunque no necesariamente en correspondencia con el orden enunciado. Después
de observarlos en varios entrenamientos ha llegado a las
siguientes conclusiones:
Si Adolfo no es defensa central, Carlos no juega en el
medio campo.
Si Bernardo juega en el Medio Campo o en la punta
derecha, Adolfo es defensa central.
Si Carlos no es Portero, Bernardo es puntero derecho.
Si Diego juega en el medio campo, Bernardo no es
defensa central.
Si Diego no es defensa central, Bernardo es defensa central.
¿En que puesto debe jugar cada uno?.
Solución :
Sean:
A=Adolfo,
B=Bernardo,
C=Carlos
y
D=Diego
p(x)= x es portero
dc(x)= x es defensa central
mc(x)= x juega en el medio campo
pd(x)= x es puntero derecho.
Así el problema escrito en forma simbólica se transforma en:
• dc(A)  mc(C)
(2) (mc(B)  pd(B))  dc(A)
(3) p(C)  pd(B)
(4) mc(D)  dc(B)
(5) dc(D)  dc(B)
Si mc(D) es V entonces dc(B) es V, luego dc(B) es F y
en (5) tenemos que dc(D) es F, luego dc(D) es V lo cual
es imposible ya que mc(D) es V, por lo tanto mc(D) es F.
Supongamos que mc(C) es V, entonces mc(C) es F por (1),
luego dc(A) es F y por lo tanto dc(A) es V, de donde dc(B)
es F y dc(D) es F, pero esto implica que (4) es F, lo cual es
una contradicción. De donde mc(C) es F.
Supongamos que mc(B) es V, entonces dc(A) es V por (2),
Luego dc(D) es F y dc(B) es F, lo cual nos conduce a una
contradicción por (4), por lo tanto mc(B) es F.
De lo anterior se deduce que mc(A) es V.
Por otra parte, como mc(B) y dc(A) son F, entonces por (2)
se tiene que pd(B) es F. Luego de (3) podemos concluir que
p(C) es F, de donde p(C) es V.
Como pd(B) es F, pd(A) es F y pd(C) es F entonces
pd(D) es V y por exclusión tenemos que dc(B) es V.
De lo anterior se concluye que:
Adolfo debe jugar en el medio campo
Bernardo debe jugar de defensa central
Carlos debe jugar de portero
Diego debe jugar de puntero derecho.
Dado el predicado p(x) el enunciado
x
p( x)
Se lee “para todo x p(x)”, y es verdadero si el conjunto
de verdad de p(x) es el universo completo.
El símbolo

se denomina el cuantificador universal
Ejemplos:
1)
2)
n
n
3)
x,
x
n n
2
r
r
x 0
2
es
un
número
r 2
2
par
Dado el predicado p(x) el enunciado
x
p(x)
Se lee “existe x tal que p(x)”, y es verdadero si el conjunto
de verdad de p(x) no es vacío.

se denomina el cuantificador existencial
x
x
2)
n
n
( n  1)  n  ( n  1)
3)
r
r
r r20
El símbolo
Ejemplos:
1)
x 20
2
2
2
2
2
EJERCICIO:
Escribir las siguientes proposiciones en forma simbólica:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Existe un número primo que no es impar.
Existe en Colombia una inteligencia superior.
Todos los que no están de acuerdo conmigo son terroristas.
Existe un número natural que es el menor de todos
Todo número real positivo es un cuadrado.
Todos los perros ladran.
Dada la proposición condicional p(x) el enunciado
! x
p( x)
Se lee “existe un único x tal que p(x)”, y es verdadero si el conjunto
de verdad de p(x) consta exactamente de un solo elemento.
La negación de la proposición  x ,
x
p( x)
p( x)
La negación de la proposición  x ,
x
es:
p( x)
es:
p( x)
EJERCICIO:
Escribir la negación de las proposiciones dadas en el ejercicio anterior
EJERCICIO:
Escribir la negación de las siguientes proposiciones:
1)
x 
2)
x 
3)
x 
y 
y 
y 
xy 
1
(x  y) 
2
(x  y) 
2
x  y
2
2
x  2 xy  y
2
2
Definición
Un conjunto es una colección de objetos.
Ejemplos
A = {a, e, i, o, u}
B = {blanco, gris, negro}
C = {2, 4, 6, 8, 9}
D = {x|x es un país de América Latina
Extensión y Comprensión
Cuando un conjunto es descrito por un propiedad que
comparten sus elementos se dice que está determinado por
comprensión. Cuando damos una lista explícita de los
elementos del conjunto, decimos que está determinado por
extensión.
Conjuntos determinados por extensión y por
Comprensión
A = {x|x es un número primo menor que 50}
A = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47}
B = {x|x es un entero mayor que -3}
B = {−2, −1, 0, 1, 2, 3, . . . }
C = {x|x es un número par y primo}
C = {2}
Consideremos el conjunto
D = {x | x es par, primo y mayor que 5}
El conjunto que no tiene elementos se conoce como
el conjunto vacío y se acostumbra a notar por
∅ o { }.
OJO {∅} NO es el conjunto vacío, es un conjunto con
un elemento.
A B
si
x  A  x  B
B
U
A
A B
si
A B
y
A B
Conjunto Potencia o conjunto de Partes
Sea A un conjunto. Definimos la colección
P(A) := {X | X ⊆ A}.
Se conoce como el conjunto de Partes de A, o
el conjunto Potencia de A.
Ejemplos:
Sea A = {a, b}.
P(A) = {∅, {a}, {b}, {a, b}}.
Sea A = {a, b, c}.
P(A) = {∅, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}}.
Si A ⊆ B entonces P(A) ⊆ P(B).
Si A es un conjunto finito con n elementos, entonces
P(A) tiene
2
elementos.
n
B  { x  U |x  A  x  B}
A
U
A
A
B
B
B  { x  U |x  A  x  B}
A
U
A
A
B
B
B  A  { x  U | x  B  x  A}
U
A
B
B A
A  {x  U |x  A }
C
A
A
C
Algunas propiedades de las operaciones
entre conjuntos
1) A  A  A
2) A  A  A
3) A    A
4) A    
5) A  A  
C
6) A  A  U
C
7) A  B  B  A
8) A  B  B  A
Algunas propiedades de las operaciones
entre conjuntos
15)( A )  A
C C
16)   U
C
17) A  B  B  A
C
C
18) A  A  
19) A    A
6) A  A  A
C
21) A  B  B  A  A  B
22)( A  B )  F  A  ( B  F )
DIAGRAMAS DE VENN
Construimos un Diagrama de Venn, tratando en lo posible
que exista la mayor cantidad de intersecciones entre los diferentes
conjuntos.
Ejemplo: Sean los siguientes cuatro conjuntos:
A = {1,3,5,7,9}, B ={1, 2}, C={2,4,6,9} y D={ 5, 6}
DIAGRAMAS DE VENN
Ahora, procedemos a efectuar las operaciones:
1) A U B
Para determinar A U B buscamos los elementos que están dentro del circulo
amarillo más los que están dentro del azul.
1
3
5
7
2
9
A U B = {1, 3, 5, 7, 9} U { 1, 2} = {1, 2, 3, 5, 7,9}
DIAGRAMAS DE VENN
2) A U C
Para determinar A U C buscamos los elementos están dentro del circulo
amarillo más los que están dentro del rosado.
1
3
5
2
7
9
4
6
A U C = {1, 3, 5, 7, 9} U {2, 4, 6, 9} = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9}
DIAGRAMAS DE VENN
3) B U D
B U D contiene los elementos que están dentro del circulo azul
más los que están dentro del violeta.
1
5
2
6
B U D = {1, 2} U {5, 6} = {1, 2, 5, 6}
DIAGRAMAS DE VENN
3) A U B U D.
Contiene los elementos que están dentro de los círculos amarillo,
azul y violeta.
1
3
5
2
7
9
6
A U B U D = {1, 2, 3, 5, 6, 7, 9}
5
1
3
5
2
7
10
9
9
4
6
8
1
A
U
B
C