Estadística Descriptiva
TEMA 5: DISTRIBUCIONES DE
DOS O MÁS VARIABLES
5.1-TABLAS ESTADÍSTICAS DE DOBLE ENTRADA
n individuos
X : x1 , … , xi , … , xk
k modalidades distintas
Y : y1 , … , yi , … , yp
p modalidades distintas
5.1-TABLAS ESTADÍSTICAS DE DOBLE ENTRADA
Frecuencia Absoluta Conjunta
La Frecuencia absoluta conjunta de X = xi , Y = yj ; se define
como el número de individuos
que presenta simultáneamente X
Propiedades
p
= x iy Y = y j
k
(1) n    n ij nij
i 1
k
p
i 1
j 1
j 1
(2)   f  1 Relativa Conjunta
Frecuencia
ij
La Frecuencia relativa conjunta de (xi , yi) se define como la
proporción de individuos que presenta simultáneamente X = xi
Y = yj
n ij
f ij 
n
5.1-TABLAS ESTADÍSTICAS DE DOBLE ENTRADA
Frecuencia Absoluta Marginal de X = xi
La Frecuencia absoluta marginal se define como el número de
individuos que presentan la modalidad xi de X.
p
ni. = n ij
j 1
Frecuencia Absoluta Marginal de Y = yj
La Frecuencia absoluta marginal se define como el número de
individuos que presentan la modalidad yj de Y.
k
n.j =  n ij
i 1
5.1-TABLAS ESTADÍSTICAS DE DOBLE ENTRADA
Frecuencia Relativa Marginal de X = xi
La Frecuencia relativa marginal se define como la proporción de
individuos que presentanPropiedades
la modalidad xi de X.
k
(3) 
i 1
k
(4) 
i 1
p
p
ni .  n   n . j
fi p j  1
fi .  1   f . jj 1
. =  f ij
j 1
Frecuencia Relativa Marginal de Y = yj
La Frecuencia relativa marginal se define como la proporción de
individuos que presentan la modalidad yj de Y.
k
f. j =
f
i 1
ij
5.1-TABLAS ESTADÍSTICAS DE DOBLE ENTRADA
Distribuciones Condicionales
Distribución de X condicionada a Y = yj (X|y = yj)
Propiedades
k
(5) 
n = frecuencia
absoluta de xi condicionada a Y = yj =
i 1
k
(6)  f i j j  1que presentan X = xi de las que
número de individuos
tienen Y = yj i 1
n i j  n .j
j
j
ij
fi j 
j
nij
= frecuencia relativa de xi condicionada a Y = yj =
n.j
proporción de individuos que presentan X = xi de las que
tienen Y = yj
5.1-TABLAS ESTADÍSTICAS DE DOBLE ENTRADA
Distribución de Y condicionada a X = xi (Y|x = xi)
i
ij
Propiedades
= frecuencia
absoluta
de yj condicionada a X = xi =
p
i
número de individuos
n
. presentan Y = yj de las que
(5)  i j  nque
i
tienen X = xi jp1
j
(6)
f
1
nij

i j
i
fi j 
= frecuencia
relativa de xi condicionada a Y = yj =
j 1
ni .
proporción de individuos que presentan X = xi de las que
tienen Y = yj
n
5.2-INDEPENDENCIA Y DEPENDENCIA FUNCIONAL
Independencia
Propiedades
Se dice que X es independiente
de Y si las distribuciones
relativas
de X|y = yj son
idénticas entre si, es
(1) X escondicionadas
independiente de Y si y solo si
las distribuciones
decir:
relativas de X|y = y coinciden con la distribución relativa de X.
f i 1  f i 2    f i j    f i p ,  j  1,  , k
(2) X es independiente de Y si y solo si las columnas de la tabla
de frecuencias absolutas conjunta son proporcionales entre si,
Se incluida
dice quela Y
es independiente
deX.X si las distribuciones
columna
de la marginal de
1
2
j
j
p
relativas condicionadas de Y|x = xi son idénticas entre si, es
(3) X es independiente de Y si y solo si Y es independiente de
decir:
X. La Independencia es recíproca.
f 1 j  f 2 j    f i j    f k j ,  j  1,  , p
(4) X e Y son independientes si y solo si fij = fi. * f.j
1
2
i
k
5.2-INDEPENDENCIA Y DEPENDENCIA FUNCIONAL
Dependencia Funcional
Se dice que X depende funcionalmente de Y si a cada valor
yj de y le corresponde un único valor de X.
Se dice que Y depende funcionalmente de X si a cada valor
xj de x le corresponde un único valor de Y.
5.3- REPRESENTACIONES GRÁFICAS DE DOS VARIABLES
Diagrama de Barras Apiladas
1) Por cada distribución condicionada Y|ni levantamos un
rectángulo de base proporcional a ni, y altura 1 ó 100.
2) Dentro de cada rectángulo (asociado a Y|ni) pintamos tantos
subrectángulos como modalidades de y.
Así, para la modalidad yi , un subrectángulo con la
i
i
misma base
f i j (py i altura
 f ij  100)
j
El gráfico nos muestra:
- Las frecuencias absolutas marginales ni (base del rectángulo).
- Las frecuencias absolutas conjuntas nij (área del subrectángulo).
- Las frecuencias condicionadas (altura del subrectángulo).
5.3- REPRESENTACIONES GRÁFICAS DE DOS VARIABLES
Diagrama de Sectores
1) Se divide el círculo en 2 semicírculos, uno para X|y1 y otro
para X|y2, pero el radio de cada uno será proporcional a la raíz
cuadrada de las frecuencias absolutas marginales
correspondientes.
2) En cada semicírculo se dibujarán tantos sectores como
modalidades de X. Así, para la modalidad xi el ángulo del
sector será proporcional a la frecuencia relativa condicionada.
El gráfico nos muestra:
-Las frecuencias absolutas marginales ( en el radio del semicírculo).
-Las frecuencias absolutas conjuntas(las áreas de los sectores serán proporcionales a nij).
-Las frecuencias relativas condicionadas ( ángulo de los sectores).
5.3- REPRESENTACIONES GRÁFICAS DE DOS VARIABLES
Nubes de Puntos
• Si X e Y son discretas, cada pareja (xi , yi) se representa por
un círculo con centro en (xi , yi) cuya superficie es
proporcional a nij , radio proporcional a (nij)1/2
• Cuando ambas variables son continuas, la representación de
las observaciones recogidas: (x1 , y1) , (x2 , y2) , (xn , yn) sobre
unos ejes coordenadas se denomina nube de puntos.
• Si X y/o Y son variables agrupadas en intervalos, se puede
construir la nube de puntos gordos, considerando las marcas
de clase.
5.3- REPRESENTACIONES GRÁFICAS DE DOS VARIABLES
Estereograma
Si X e Y son continuas se puede representar la distribución
conjunta mediante un Estereograma ( posee tres dimensiones).
Información conjunta : mayor volumen : mayor frecuencia
Serie de paralelepídedos rectangulares.
5.4- CARACTERÍSTICAS DE UNA DISTRIBUCIÓN BIDIMENSIONAL
Distribuciones Marginales
k
x 
x
i
k
 fi .
S 
2
x
 x
 x   fi .
2
i
i 1
i 1
Lo mismo para Y
Distribuciones Condicionadas
k
x |y j 
x
i 1
i
 fi
 x
k
j
j
S
2
x |y j

Lo mismo para Y
i 1
i
 x |y j
 f
2
j
i j
5.4- CARACTERÍSTICAS DE UNA DISTRIBUCIÓN BIDIMENSIONAL
Covarianza
La Covarianza de X e Y se define como:
cov(X, Y)  S x, y 
1
n
x

n
i 1
i

 x yi  y

5.4- CARACTERÍSTICAS DE UNA DISTRIBUCIÓN BIDIMENSIONAL
Momento
El Momento de orden r y s respecto a a y b de X e Y se define
Propiedades
como:
p
k
r
s
X




mr,
s(a,
b)

x

a

y

b
 f ij
(1) mr,0 a, b   m
(a)
i
i
r
i 1
j 1
(2) m 0, s a, b   m (b)
Momento no central de orden r y s:
(3) Sx, y  μ 1,1k  mp 1,1  m 1,0  m 0,1
Y
s
mr, s 

i 1
x i  y j  f ij  mr, s(0,0)
r
s
j 1
Momento central de orden r y s:

p
   x
k
μr, s  mr, s x , y 
i 1
j 1

 x  yi  y
r
i

s
 f ij
FIN
José Antonio Cortegana Camúñez 2001-2002
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