ELEMENTOS DE
ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
Profr. Eliud Quintero Rodríguez
Introducción


La Estadística es una ciencia que
facilita la solución de problemas en
los cuales necesitamos conocer
características sobre el
comportamiento de algún suceso o
evento.
Nos permite inferir el
comportamiento de sucesos iguales o
similares sin necesidad de que estos
ocurran.


Esto nos da la posibilidad de tomar
decisiones acertadas y a tiempo,
así como realizar proyecciones del
comportamiento del suceso.
Sólo se realizan los cálculos y el
análisis con los datos obtenidos de
una muestra de la población y no
con toda la población.

Actualmente el INEGI es el encargado de
concentrar y publicar la información estadística del
estado y del país.
Conceptos básicos


Estadística:
Es la ciencia que se encarga de recolectar,
organizar, resumir y analizar datos para
después obtener conclusiones. Se divide en
Estadística Descriptiva y Estadística Inferencial.
Estadística descriptiva:
Se encarga de la recolección,
organización, presentación y
análisis de los datos de una
población.

Estadística inferencial:
Se encarga de analizar la información
presentada por la estadística descriptiva
mediante técnicas que nos ayuden a conocer,
con determinado grado de confianza, a la
población. Lo que nos permite tomar
decisiones.

Población:
Conjunto definido de TODOS los INDIVIDUOS, de
donde se observa cierta característica.
Al número de integrantes de la población se llama
tamaño de la población y se representa con la
letra N.
Las poblaciones pueden ser finitas o infinitas.


Población Estadística:
Conjunto de TODOS los DATOS que se obtienen al
realizar la medición de una variable en los
elementos de una población.
Muestra:
Subconjunto de una población, que intenta reflejar
las características de la población lo mejor posible.
El número de individuos que integran la muestra,
llamado tamaño de la muestra se representa con
la letra n.

Individuo:
Es el elemento de la población o de la muestra que
aporta información sobre lo que se estudia.
Variable:
Característica o propiedad de los individuos que se
desea estudiar y se puede medir o calificar;
cambia o varía con el tiempo en un individuo dado,
o cambia o varía de elemento a elemento.
Ej. Edad, peso, sexo, estado civil, número de hijos, etc.


Dato:
Valor que se obtiene al realizar la medición de la
característica de la variable en estudio.
Pueden ser univariados, bivariados o multivariados.
La naturaleza de los datos pueden ser datos
cuantitativos o datos cualitativos.


Datos Cuantitativos (números):
Valores obtenidos al medir peso,
estatura, temperatura, número
de hijos.
Datos Cualitativos (categorías):
Se obtienen al calificar la
característica en cuestión como
el sexo, estado civil, grado
máximo de estudios.

Variable Dicotómica:
Sólo puede tomar dos valores (sí – no, 0 – 1, hombre –
mujer, bueno – malo, encendido – apagado).
En la variable CUANTITATIVA se pueden distinguir
dos tipos: continua y discreta.


Variable Continua:
Si la variable puede tomar cualquier
número real entre dos valores dados
(decimal o entero).
Ej. El peso de un individuo.
Variable Discreta:
Si la variable sólo puede tomar
números enteros.
Ej. El número de hijos de un individuo.
Escalas de Medición

Escala Nominal

Escala Ordinal

Escala de Intervalo

Escala de Razón

Escala Nominal:
Está asociada a variables cualitativitas y es
denominada de este modo si no se pueden hacer
operaciones aritméticas entre sus valores, pues éstos
son únicamente ETIQUETAS.
Ejemplo: sexo, código postal, estado civil, número
telefónico, número al correr en un maratón, deporte
favorito, carrera a estudiar, etc.

Escala Ordinal:
Los valores de la variable que tienen un ORDEN con
un nivel específico, pero no se pueden hacer
operaciones aritméticas entre ellas.
Ejemplo:
Pésimo – Malo – Regular – Bueno – Excelente
Primaria – Secundaria – Preparatoria - Licenciatura

Escala de Intervalo:
En ella existe un orden entre los valores de la
variable y además una NOCIÓN DE DISTANCIA
aunque no se puedan realizar operaciones.
El cero o punto de inicio no es único, es más bien un
punto de referencia.
Ejemplo: Escalas de temperatura, la edad de la
Tierra, la línea del tiempo de la humanidad.

Escala de Razón:
La magnitud tiene SENTIDO FÍSICO, existe el cero
absoluto, existe orden, se puede determinar
cuántas veces es mayor uno que otro.
Ejemplo: peso, estatura, edad, distancia, dinero, etc.
Fuentes de información

Encuesta:
Recopilar los datos mediante el uso
de cuestionarios o entrevistas.

Experimento:
Procedimiento utilizado en la
investigación científica para obtener
información que permita conocer el
comportamiento de algún proceso.
Fuentes de Información

Investigación Documental:
Procedimiento para obtener
datos mediante la consulta de
información ya escrita y
concentrada en documentos
que se localicen en libros o
revistas en bibliotecas,
hemerotecas, o en centros
virtuales.
Redondeo de datos, notación
científica y cifras significativas.

Redondeo:
El redondeo de datos es un
procedimiento que consiste en escribir un
número que representa a una cantidad
con menos cifras de las que tiene
realmente para tener una idea rápida de
la cantidad.
Notación Científica


Es una manera de escribir en forma breve cifras
muy grandes o pequeñas. La forma general es
n
a x 10 , en donde “a” es un número entre 1 y 9,
“n” es un número entero.
Ejemplo:
4
El número 25 000 se escribe 2.5 x 10 , o el
4
número 0.00025 se escribe como 2.5 x 10 .
Cifras Significativas


A los dígitos exactos que se utilizan para escribir
una cifra, a parte de los ceros para localizar el
punto decimal, se les llama cifras significativas.
Ejemplos:
 3.22
tiene 3 cifras significativas.
-3
 0.0032 = 3.2 x 10 tiene 2 cifras significativas.
-3
 0.00320 = 3.20 x 10 tiene 3 cifras significativas.



La cifra 3.22 se encuentra realmente entre
3.215 y 3.225.
La cifra 0.0032 es un valor que se encuentra entre
0.00315 y 0.00325.
La cifra 0.00320 se encuentra entre las cifras
0.003195 y 0.003205
Orden de datos


La ordenación es el proceso mediante el cual los
datos están acomodados de tal manera que se
establece un orden (ascendente o descendente)
entre ellos.
Hay dos métodos comunes:
•
Listado en orden ascendente
• Método de tallo y hojas
Ejemplo

Considera que la variable de estudio es el peso de
25 estudiantes. Los pesos se encuentran en la
siguiente tabla:
Peso de 25 estudiantes (en kg)
40
56
52
63
57
43
44
62
50
66
48
42
44
56
63
51
55
50
55
51
49
52
59
45
58
Listado en orden ascendente

El proceso consiste en ordenarlos de menor a mayor
Peso de 25 estudiantes (en kg)
Peso de 25 estudiantes (en kg)
42
56
52
63
57
40
45
51
55
59
40
44
62
50
66
48
43
44
56
63
51
55
50
55
51
49
52
59
45
58
42
48
51
56
62
43
49
52
56
63
44
50
52
57
63
44
50
55
58
66
Método de tallo y hojas

Si los números de los datos están formados por
dos dígitos, se hace una columna con el primer
dígito (decenas) y a la derecha de cada uno
de ellos se escribe, en fila, sólo el segundo
dígito (unidades) de cada uno de los datos
que tengan el mismo primer dígito.

Datos sin ordenar:
2,0,8,9,4,3,4,5
1,6,5,2,2,0,9,0,6,5,7,1,8
2,3,6,3
4
5
6

Datos ordenados:
4
5
6
Peso de 25 estudiantes (en kg)
42
56
52
63
57
40
44
62
50
66
0,2,3,4,4,5,8,9
0,0,1,1,2,2,5,5,6,6,7,8,9
2,3,3,6
48
43
44
56
63
51
55
50
55
51
49
52
59
45
58
Doble tallo


Una variante de este método es en lugar de dividir
en un grupo las decenas, se divide en dos grupos. El
primero abarcando los dígitos del 0 al 4 y el
segundo del 5 al 9.
El ejemplo anterior
queda:
4
4
5
5
6
6
0,2,3,4,4
5,8,9
0,0,1,1,2,2,
5,5,6,6,7,8,9
2,3,3
6
Caso de variables cualitatitivas

El procedimiento es:
 Se
identifican todos los valores diferentes y se
acomodan en columna.
 Se
agrega una segunda columna en donde se van
registrando, mediante una línea vertical, la veces
que aparece el valor dado.
Ejemplo

Considera que la variable de estudio es el color de
playera de 25 estudiantes.
Los colores se encuentran en la siguiente tabla:
rosa
gris
azul
blanco
blanco
café
azul
negro
rosa
blanco
rosa
gris
gris
azul
azul
blanco
café
blanco
café
blanco
rosa
negro
blanco
gris
verde
Color
rosa
gris
azul
blanco azul
blanco café
negro
rosa
blanco
rosa
gris
gris
azul
café
blanco blanco
azul
blanco rosa
gris
blanco café
negro verde
Frecuencia
Azul
IIII
Blanco
Café
IIII II
III
Gris
Negro
IIII
II
IIII
I
Rosa
Verde
Tabla de Frecuencia de Datos


Una vez que se tenga ordenados los datos, se
acomodan en la “Tabla de distribución de
frecuencias o tabla de frecuencias”.
La tabla es básicamente una tabla de valores
x-y, dónde “x” representa el dato y “y”
representa la frecuencia.


La frecuencia es el número de veces que aparece
cada dato.
Hay dos clases de tablas de frecuencias:
 Para
datos NO agrupados.
 Para datos agrupados.
Tabla de frecuencias para
datos NO agrupados

Está formada por dos columnas: una para la
variable “xi” y la otra para su frecuencia “f”, a
esta frecuencia se le llama frecuencia absoluta o
frecuencia observada.
Ejemplo

Tabla de frecuencias de los pesos en kg de 25
alumnos.
Peso de 25 estudiantes (en kg)
40
45
51
55
59
42
48
51
56
62
43
49
52
56
63
44
50
52
57
63
44
50
55
58
66
xi
f
xi
f
40
1
52
2
42
1
55
2
43
56
2
44
1
2
57
45
1
58
1
1
48
1
59
1
49
1
62
1
50
2
63
51
2
66
2
1
Total
25
Frecuencia relativa y acumulada



Por lo regular, se agregan dos columnas: la de la
frecuencia relativa “fr” y la de la frecuencia
acumulada “fa”.
La frecuencia relativa se obtiene mediante el
cociente de la frecuencia y el número total de
datos, esto es fr = f/n.
La frecuencia acumulada se obtiene sumando las
frecuencias anteriores a las frecuencias de un dato
dado.
Ejemplo
1/25
xi
f
fr
fa
0.04
fa
1
52
2
0.08
14
1
0.04
2
55
2
43
1
3
56
2
16
18
44
2
0.04
0.08
0.08
0.08
5
57
1
0.04
45
1
0.04
6
58
1
0.04
19
20
48
1
0.04
59
1
0.04
21
49
1
0.04
7
8
62
1
0.04
22
50
2
10
63
2
51
2
0.08
0.08
12
66
1
0.08
0.04
24
25
Total
25
1
xi
f
fr
40
1
42
2/25
Siempre es 1
Siempre
es el
número
total
Intervalo de clase
En ocasiones es conveniente acomodar los
datos en pequeños grupos de igual tamaño,
llamados intervalos de clase.
 El punto medio o marca de clase “xi”, se
obtiene con:
Marca de clase = Límite inferior + límite superior
2


El tamaño del intervalo se obtiene mediante
la diferencia de los límites superior e inferior.
Ejemplo
Límite inferior
Límite superior
Intervalo de clase
38 – 42
43 – 47
48 – 52
53 – 57
58 – 62
63 – 67
Lím inf + Lim sup
2
Punto medio “xi”
40
45
50
55
60
65
Límite verdadero del intervalo

Frontera de clase o límite verdadero del intervalo:
Intervalo de clase
37.5 – 42.5
40 – 2.5 42.5 – 47.5
47.5 – 52.5
52.5 – 57.5
57.5 – 62.5
62.5 – 67.5
40 + 2.5
Punto medio “xi”
40
45
50
55
60
65
Tabla de intervalos con
límites verdaderos
Usando símbolos de
Está incluido
No está incluido
desigualdad


Usando paréntesis
y
No está incluido
corchetes
Está incluido
Intervalo de
clase
Punto
medio “xi”
Intervalo de
clase
Punto
medio “xi”
37.5 ≤ x < 42.5
40
[37.5 , 42.5)
40
42.5 ≤ x < 47.5
45
[42.5 , 47.5)
45
47.5 ≤ x < 52.5
50
[47.5 , 52.5)
50
52.5 ≤ x < 57.5
55
[52.5 , 57.5)
55
57.5 ≤ x < 62.5
60
[57.5 , 62.5)
60
62.5 ≤ x < 67.5
65
[62.5 , 67.5)
65
El tamaño del intervalo es de 5



Si por alguna razón no es fácil decidir el ancho del
intervalo y el número de ellos, se pueden utilizar las
siguientes fórmulas:
K = 1 + 3.3 log (n)
 Donde K = número aproximado de clases
n = número de datos.
Amplitud de los intervalos = Rango / K
 Donde Rango = diferencia entre el dato mayor
y el dato menor.
Ejemplo


Para el ejemplo de los datos de los pesos de 25
alumnos, el valor de K:
K = 1 + 3.3 log (n) = 1 + 3.3 log (25) = 5.6.
Por lo tanto se requieren aproximadamente 6
intervalos.
Y la amplitud de los intervalos sería:
Amplitud = Rango / K = (66 – 40) / 5.6 = 4.64.
Aproximadamente 5 unidades es la amplitud de los
intervalos.
Tabla de distribución de
frecuencias para datos agrupados
Datos sin agrupar

Se elabora con los intervalos de clase, sus puntos
medios y las frecuencias correspondientes para
cada uno de los intervalos.
Datos agrupados
xi
f
52
2
40
1
55
2
42
1
56
43
1
44
Punto medio
“xi”
f
2
Intervalo de
clase
57
1
38 – 42
40
2
58
1
43 – 47
45
2
4
45
1
59
1
48 – 52
50
8
48
1
62
1
53 – 57
55
5
49
1
63
2
58 – 62
60
3
50
2
66
1
63 - 67
65
3
51
2
Total
25
Total
25

Se agregan las columnas de frecuencia relativa “fr”
y frecuencia acumulada “fa”:
Intervalo
de clase
38 – 42
Punto
medio “xi”
40
43 – 47
48 – 52
53 – 57
58 – 62
45
50
55
60
63- 68
65
Total
f
2
4
8
5
3
3
25
fr
0.08
0.16
0.32
0.20
0.12
0.12
1
Fa
2
6
14
19
22
25
2/25
4/25
8/25

Por último se agregan las columnas:
 Frecuencia porcentual, “f%” ó “%f”, se obtiene
multiplicando la frecuencia relativa “fr” x 100.
 Frecuencia relativa acumulada “fra”, se obtiene
sumando las frecuencias relativas anteriores a un
dato dado.
 Frecuencia porcentual acumulada, “f%a”, se
obtiene sumando las frecuencias porcentuales
acumuladas a un dato dado.
Tablas de frecuencias absoluta, 0.08 x
100
relativa y acumulada
Intervalo Punto medio
de clase
“xi”
38 – 42
40
43 – 47
45
48 – 52
50
53 – 57
55
58 – 62
60
63- 68
65
Total
0.08 x
100
2/25
f
fr
f%
fa
fra
f%a
2
4
8
0.08
0.16
0.32
2
6
14
0.08
0.24
0.56
8
24
5
3
3
0.20
0.12
0.12
8
16
32
20
12
19
22
25
0.76
0.88 88
1 100
25
1
12
100
56
76
Gráfica de Datos


Existen dos tipos de gráficas mas usuales:
 Polígono de Frecuencias
 Histograma
Otros gráficos:
 Gráfica de barras
 Pictograma
 Gráfico Circular o de pastel.
Polígono de Frecuencias


Es la representación mediante un gráfico de
línea. En él se muestra la distribución de
frecuencias y está formado por segmentos de
línea que unen los puntos correspondientes a la
frecuencia de cada una de las clases.
El eje “x” representa el dato “xi”
y el eje “y” las frecuencias.
Ejemplo
Intervalo de
clase
Punto medio
“xi”
f
38 – 42
40
2
43 – 47
45
4
48 – 52
50
8
53 – 57
55
5
58 – 62
60
3
63 - 68
65
3
Total
25
9
8
7
6
5
f 4
3
2
1
0
Polígono de Frecuencias
35
40
45
50
55
xi
60
65
70

El eje “y” puede ser sustituido por las frecuencias
relativas o porcentuales.
Polígono de Frecuencia Relativa
0.35
0.3
0.25
fr 0.2
0.15
0.1
0.05
0
35
40
45
50
55
xi
60
65
70
Polígono de Frecuencia Porcentual
35
30
25
% f 20
15
10
5
0
35
40
45
50
xi
55
60
65
Histograma
14
Es la representación gráfica de
los datos mediante una sucesión
de rectángulos.
 Está formado por rectángulos cuya anchura
representa a cada uno de los intervalos y la
altura corresponde a la frecuencia.
 En el eje “x” estarán los límites verdaderos, los
puntos medios y en el eje “y” las frecuencias.

12
10
8
6
4
2
0
0.95
2.95
4.95
Ejemplo
Histograma
9
8
7
6
5
f
4
3
2
1
0
Intervalo de
clase
Punto medio
“xi”
f
38 – 42
40
2
43 – 47
45
4
48 – 52
50
8
53 – 57
55
5
58 – 62
60
3
63 - 68
65
3
Total
35
40
45
50
55
xi
60
65
25

También podemos usar la frecuencia relativa y la
frecuencia porcentual.
Histograma con frecuencias relativas
0.35
0.3
fr
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
35
40
45
50
xi
55
60
65
Histograma con frecuencias porcentuales
35
30
25
20
%f
15
10
5
0
35
40
45
50
55
xi
60
65
Pirámide Poblacional

Una variante en el histograma es colocar en el
eje “x” de tal manera que las columnas
quedarán en forma horizontal, es muy común
en datos poblacionales.
Ojiva


Es la representación gráfica de las frecuencias
acumuladas mediante un gráfico de línea. Se
muestra la distribución de frecuencias
acumuladas de los datos.
En el eje “x” estarán los puntos medios y en el
eje “y” las frecuencias acumuladas.
Ejemplo
Intervalo
de clase
38 – 42
43 – 47
Punto
medio “xi”
40
45
f
fr
fa
2
4
0.08
0.16
2
6
48 – 52
53 – 57
58 – 62
63- 68
50
55
60
65
8
5
3
3
0.32
0.20
0.12
0.12
14
19
22
25
25
1
Total
Ojiva
30
25
25
22
20
19
fa 15
14
10
6
5
2
0
0
35
40
45
50
xi
55
60
65

Usando la frecuencia acumulada y la frecuencia
porcentual.
Intervalo
de clase
Punto medio
“xi”
f
fr
f%
fa
fra
f%a
38 – 42
43 – 47
48 – 52
53 – 57
40
45
50
55
2
4
8
5
0.08
0.16
0.32
0.20
8
16
32
20
2
6
14
19
0.08
0.24
0.56
0.76
8
24
56
76
58 – 62
63- 68
60
65
3
3
25
0.12
0.12
1
12
12
100
22
25
0.88 88
1
100
Total
Ojiva con frecuencia relativa acumulada
1
0.9
0.8
0.7
0.6
fra 0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0.88
0.76
0.56
0.24
0.08
0
35
40
45
50
xi
55
60
Ojiva con frecuencia porcentual acumulada
100
90
80
70
60
f%a 50
40
30
20
10
0
88
76
56
24
8
0
35
40
45
50
xi
55
60
Gráfico Circular



También es llamado gráfico de pastel.
Sólo se representan datos de frecuencias relativas
o frecuencias porcentuales.
Se debe dividir el área del círculo de manera
proporcional a las frecuencias.
13%
13%
17%
PERRO
PAJARO
HAMSTER
57%
GATO

Agregaremos una columna a nuestra tabla de
frecuencias “Frecuencia relativa al círculo”,
multiplicando (fr)(360°), para mostrar la parte
proporcional de círculo medida en grados que
corresponde a cada intervalo.
Ejemplo 1
Intervalo
de clase
38 – 42
43 – 47
Punto medio
“xi”
40
45
2
4
0.08
0.16
28.8°
57.6°
48 – 52
53 – 57
58 – 62
63- 68
50
55
60
65
8
5
3
3
0.32
0.20
0.12
0.12
115.2°
72°
43.2°
25
1
Total
f
fr
0.08 x
360°
(fr ) (360°)
43.2°
360°
0.16 x
360°
Gráfico Circular 40
8%
60
12%
65
12%
55
20%
45
16%
50
32%
Ejemplo 2
Color
Azul
Blanco
Café
Gris
Negro
Rosa
Verde
Frecuencia
Conteo
IIII
IIII II
III
4
7
IIII
II
IIII
I
3
4
2
4
1
Color de Playera
Azul
Negro
Blanco Café
Rosa
Verde
Gris
4%
16%
16%
8%
28%
16%
12%
Otros Gráficos
La gráfica de barras se traza similar al
Histograma, sólo que las barras se dibujan
separadas unas de otras.
 La escala en el eje “x” es para mostrar
categorías o intervalos de números NO
consecutivos.

Frecuencia absoluta
60
50
40
30
20
10
0
PERRO
PAJARO HAMSTER
GATO
Carrera
Alumnos
Medicina
8
Mecánica
11
Civil
8
Agronomía
3
Físico - Matemáticas
3
Leyes
6
Contaduría
11
Elección de Carrera
8
11
11
8
3
3
6
Pictograma

Similar al de barras, sólo que se sustituyen por
figuras, generalmente relacionadas con la variable
estudiada.
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Elementos de Estadística descriptiva