Instituto Tecnológico de Costa Rica
Escuela Ingeniería en Electrónica
Curso: Métodos Numéricos
Método de Bairstow
Profesor:
Ing. Marvin Hernández C
II Semestre 2008
Agenda
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INTRODUCCIÓN
PRESENTACIÓN DEL MÉTODO
CARACTERÍSTICAS
EJEMPLOS
INTRODUCCIÓN
El método de Bairstow es utilizado para
encontrar las n-raíces de un polinomio. El
método de Bairstow es un proceso
iterativo relacionado con los métodos de
Müller y Newton-Raphson.
Es importante que recuerde la forma
factorizada de un polinomio:
f 5 ( x )  ( x  1)( x  4 )( x  5 )( x  3 )( x  2 )
Método de Bairstow
El método de Bairstow es un proceso
iterativo relacionado con los métodos
de Müller y Newton-Raphson
f 5 ( x )  ( x  1)( x  4 )( x  5 )( x  3 )( x  2 )
Se basa en…
 Por lo general, en esta aproximación
el proceso matemático depende de
dividir el polinomio entre un factor
(que no sea raíz). Por ejemplo, el
polinomio general
f n ( x )  a 0  a 1 x  a 2 x  ...  a n x
2
n
Se divide por un factor x-t
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
Y se tiene un polinomio de menor grado
fn-1(x) = b1+b2x+b3x2+…….+bnxn-1
Con residuo R=b0
Los coeficientes se calculan por una relación de
recurrencia bn=an; bi=ai+bi+1t para i=n-1 a 0
Si t es una raíz, b0 será cero
Para raíces complejas se divide el polinomio entre un
factor cuadrático x2-rx-s
Para el polinomio original la división dará
fn-2(x)=b2+b3x+…+bn-1xn-3+bnxn-2 ; R=b1(x-r)+b0
 Como en la división sintética normal
la relación de recurrencia mostrada
abajo se utiliza para la división entre
el factor cuadrático
bn  a n
b n 1  a n 1  rb n
in2a0
b i  a i  rb i  1  sb i  2
 Bairstow muestra que las derivadas parciales pueden
obtenerse por división sintética de las b en forma
similar al camino en el cual las b en sí mismas fueron
derivadas:
c n  bn
c n 1  b n  1  rc n
c i  b i  rc i  1  sc i  2
i  n2a1
Si x2-rx-s es un divisor exacto:






Las raíces complejas se determinan con la fórmula cuadrática.
Así, lo que se hace es determinar r y s para que el factor sea
un divisor exacto del polinomio (residuo cero).
Se busca que b0 y b1 tiendan a cero. Éstos son funciones de r y
s y se usa expansión en serie de Taylor.
b1(r+Δr, s+Δs)=b1+(∂b1/∂r)Δr+(∂b1/∂s)Δs
b0(r+Δr, s+Δs)=b0+(∂b0/∂r)Δr+(∂b0/∂s)Δs que se evalúan en r
ys
La ecuación anterior se iguala a cero con lo que:
(∂b1/∂r)Δr+(∂b1/∂s)Δs = -b1 y (∂b0/∂r)Δr+(∂b0/∂s)Δs = -b0
 Entonces, las derivadas parciales se obtienen
por división sintética de las b. Así, las
derivadas pueden sustituirse en las ecuaciones
anteriores junto con las b para dar:
c 2  r  c 3  s   b1
c1  r  c 2  s   b 0
 Bairstow muestra que las derivadas parciales pueden
obtenerse por división sintética de las b en forma
similar al camino en el cual las b en sí mismas fueron
derivadas:
c n  bn
c n 1  b n  1  rc n
c i  b i  rc i  1  sc i  2
i  n2a1
 Para mejorar los valores iniciales
de r y s. en cada paso, el error
aproximado en r y s puede ser
estimado como en:
 a ,r 
r
100 %
r
y
 a ,s 
s
s
100 %
 Cuando ambos errores estimados
fallan bajo un criterio especificado de
paro, , los valores de las raíces
pueden determinarse como:
x 
r
r  4s
2
2
Ejemplos:
 Ejercicio 7.5 a Chapra, Canale
Tenemos que
f(x) =0,7x^3-4x^2+6,2x-2
Obtenemos como solución tres valores de
raíces
x1=0.4357, x2=2.0 y x3= 3.278
Tabla de Valores
ITERACIÓN
r
s
Nuevo r
Nuevo s
Δr
Δs
1
1
-1
1.085
-0.1128
1.085
0.887
2
1.085
-0.1128
2.49
-0.67
0.402
-0.556
3
2.49
-0.876
2.426
-0.876
-0.064
-0.206
4
2.426
-0.876
2.43
-0.87
0.0076
0.0045
 Obteniendo finalmente un
acercamiento a los valores de raíces:
 x1= 1.999
 x2= 0.4357
 x3 = 3,278
 Ejercicio 7.3(Chapra, Canale)
Tenemos que
f(x)=x^5-(3.5)x^4+(2.75)x^3+(2.125)x^2+(3.875)x+1.25
Averiguando r y s después de 4 iteraciones se
obtiene que:
εa,r =55.23%
εa,r =824.1 %
x1=0.5 y x2=-1
Quedando como cociente el polinomio:
f(x)=x^3-4x^2+(5.25)x-2.5
Utilizando el mismo método después de
cinco iteraciones:
x3=1+0.499i x4=1-0.499i
Ahora el cociente es un polinomio de
primer grado que puede ser
directamente evaluado para
determinar la quinta raíz:
x5= 2
Ejercicio 7.5 (Chapra, Canale)
b) f ( x )  9 . 34  21 . 97 x  16 . 3 x  3 . 704 x
Utilizando:
2
3
bn  a n
c n  bn
b n 1  a n 1  rb n
c n 1  b n 1  rc n
para determinar los valores de b.
Con
r  2
s   0 .5
Reacomodando la ecuación:
f ( x )   3 . 704 x  16 . 3 x  21 . 97 x  9 . 34
3
2
b 3   3 . 704
b 2  16 . 3   2   3 . 704
b1
b0
  8 . 892
  21 . 97   2 8 . 892     0 . 5   3 . 704    2 . 334
 9 . 34   2   2 . 334     0 . 5 8 . 892   0 . 226
c 3   3 . 704
c 2  8 . 892   2   3 . 704   1 . 484
c 1   2 . 334   2 1 . 484     0 . 5   3 . 704    2 . 3346
Obteniendo el
 r y el  s :
c 2  r  c 3  s   b1
1 . 484  r    2 . 334  s  2 . 334
c1  r  c 2  s   b 0
 2 . 334  r  1 . 484  s   0 . 226
Resolviendo el sistema:
 r   0 . 9047
 s   1 . 5752

r  2    0 . 9047
s 
  1 . 0953
  0 . 5     1 . 5752    2 . 0752
Asi podemos obtener el % de error
E a ,r 
r
* 100
r
E a , r  82 . 6 %
E a ,s 
s
* 100
s
E a , s 75 . 9 %
Aplicado a una segunda iteración:
 r   0 . 179
 s   0 . 042
r  2 . 05
s   1 . 08
Aplicado a una tercera iteración:
 r   0 . 053
 s   0 . 0165
r  2 . 103
s   1 . 096
Tabla 1. Valores de r,Δr, s y Δs
Iteración
r
Δr
s
Δs
1
1.0953
-0.9047
-2.0752
-1.5752
2
2.05
-0.179
-1.08
-0.042
3
2.103
-0.053
-1.096
-0.0165
Asi las raíces son:
x1 
r
r  4s
2
2
x 1  2 . 29
x 2  2 . 29
x 3  1 . 14956
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