Derivadas. Técnicas de
derivación.





Tasa de variación media. Derivada de una
función en un punto. Interpretación
geométrica.
Derivadas laterales
Continuidad y derivabilidad
Función derivada
Reglas de derivación
Tasa de variación media.
 Dada la función f en [a,b], se llama tasa de variación media de f en [a,b]
 Ejemplo.- Un automóvil se mueve según
la función e(t) = 2.t 2; donde t es el tiempo
en segundos y e(t) el espacio que recorre
dicho móvil en línea recta en metros.
Calcular la velocidad media (tasa de
variación)
durante
los
10
primeros
segundos
e 10   e  0 
10  0

200  0
10  0
 20 m
s
 Hay que observar que la tasa media de f en
[a,b], es la pendiente de la recta secante a
f(x) en los puntos (a,f(a)) y (b,f(b))
f b   f  a 
ba
Si existe TVI(a), lo denominamos DERIVADA DE f(x) EN EL PUNTO a, y se
denota por f ’(a)
Derivada de una función en un punto.
 Dada una función f definida en [a,b], se llama derivada de f en el punto a, a:
f   a   lim
b a
f b   f a 
ba
 lim
f a  h  f a 
h 0
h
Cuando existe, decimos que la función f es derivable en x = a.
 Ejemplo.- Un automóvil se mueve según la
función e(t) = 2.t 2; t es el tiempo en segundos
y e(t) el espacio en metros. Calcular la
velocidad instantánea (t’(a)) en el segundo 5
lim
e 5  h   e 5
h 0
h
2  5  h   2  5
2
 lim
h 0
 lim  20  2 h )   20 m
h 0
2

h
s
 Hay que observar que f’(a) (si existe) es la
pendiente de la recta tangente a f(x) en el el
punto (a,f(a))
Derivadas laterales
 Denominamos derivadas laterales (izquierda y derecha) de f en x = a,
a los límites:

f   a   lim
f a  h  f a
h 0

f   a   lim
f a  h  f a
h 0
h
La función f es derivable en x = a si y solo si f ’(a-) = f ’(a+):
Ejemplo.- Existe la derivada de f en x = 1, siendo f la función
x 1
 x si
f x   2
si
x
Teniendo en cuenta que

f  1   lim
h 0
f 1


lim
h 0
x 1
1  h   1
1
h
1  h 
2
1
2
2
h
Se deduce que f no es derivable en x = 1
h
Derivabilidad y continuidad
 Si f es derivable en x = a, entonces f es continua en x = a.
Hay que observar que:
Si f es continua en x = a, no tiene por que ser derivable en x = a.
Si f no es continua en x = a, f no es derivable en x = a
Ejemplo.- Estudiar la continuidad y derivabilidad de la función valor
absoluto.
 x
f x  x  
 x
si
x0
si
x0
f es continua ya que
lim   h   f (0 )  lim h  0
h 0
h 0
Sin embargo no es derivable en x = 0, ya que

f   0   lim
h 0
h
h
  1  1  lim
h 0
h
h
 f 0


Funciones derivables
 Si f es derivable en todo número real, decimos que f es derivable.
Hay que observar que:
Las funciones polinómicas son derivables, al igual que la función sen o cos,
o también las funciones exponenciales.
Sin embargo no lo son por ejemplo la función tan que tiene discontinuidades
de salto infinito, y en esos puntos ni es continua ni derivable
La recta tangente y normal
 Teniendo en cuenta que f ’(a) (si existe) es la PENDIENTE de la
RECTA TANGENTE rtg a la función f, en el punto (a,f(a)), dicha recta
será
rtg : y  f  a   f   a    x  a 
 Y teniendo en cuenta que (-f ’(a))– 1 (si existe) es la PENDIENTE de la
RECTA NORMAL (recta perpendicular a la recta tangente a f) en el punto
(a,f(a)) ) rnor a la función f, en el punto (a,f(a)), dicha recta será
rnor
 1 
: y  f a  
 x  a
 f   a  


La recta tangente y normal
 Ejemplo.- Calcular la recta tangente r y normal s a f(x) = x2 en x = 1
r : y  f 1   f  1    x  1   y  1  2   x  1  
 2x  y 1

1 
s : y  f 1    
  x  1  y  1 
 f   1  


 x  2 y  3
 1
     x  1 
 2
Función derivada
 Dada una función f, llamamos función derivada de f a la que se
obtiene mediante el límite
f   x   lim
f
h 0
x  h  f x
h
 Dada una función f, llamamos función derivada segunda de f a la que se
obtiene mediante el límite
f   x   lim
h 0
f  x  h  f  x
h
 La derivada de la segunda derivada se denomina derivada tercera (f’’’(x)), y
así sucesivamente
Función derivada
 Ejemplo.- Si un objeto se según la ecuación de espacio e(t) = 2.t2 + 5.t + 1
metros (t en segundos), calcular su velocidad y su aceleración instantánea
v  t   e '  t   lim
e t  h   e t 
h 0

h
2 t  h   5 t  h   1  2 t  5 t  1
2
 lim
2
h 0
h
a  t   e ''  t   lim
h 0
4 t  h   5  4 t  5
h
4
 4 t  5
Cálculo de derivadas
 Derivada de la función constante f(x) = k
f   x   lim
h 0
f
x  h  f x
h
 lim
kk
h 0
 lim
h
h 0
0
0
h
Ejemplo.- La derivada de la función f(x) = , será f ’(x) =0
 Derivada de la función identidad f(x) = x
f   x   lim
h 0
f x  h  f x
h
 lim
h 0
xhx
h
 lim
h 0
h
1
h
Ejemplo.- La derivada de la función potencia f(x) = x, será f ‘(x) = 1
Cálculo de derivadas
 Derivada de la función potencia f(x) = xn, con n un número natural
f   x   lim
h 0
f
x  h  f x
h
 lim
x  h
h 0
 n  n 1
 n  n2 2

x

h

h 
 
 x
1
2
 lim
h 0
h
n
x
n

h
n n
  h
n
 nx
n 1
En general, también se cumple para n un número racional
Ejemplo.- La derivada de la función f(x) = x-3, es f ’(x) = (-3) . x-4
Cálculo de derivadas
 Derivada de la raíz cuadrada f(x) = x
f   x   lim
f
x  h  f x
h 0
 lim
h 0
 lim
h 0

 lim
h 0
h
xh 
h


x 
xh 
xh 
1
xh 
xh 

x
x
1
2
x

x

h
x

 lim
h 0
h
h

xh 
x


Cálculo de derivadas
 Derivada de la función de proporcionalidad inversa f(x) = 1/x
f   x   lim
f
x  h  f x
h 0
h
1
 lim x  h
h 0
h

1
x 
x  x  h
 lim
h 0
x  h x
h
 lim 
h 0
h
h  x  h x
 lim 
h 0
1
x  h x

1
x
2
Reglas de derivación
 Si y = k.f(x)
y   lim
y x  h— y x
h 0
 lim
h 0
h
 k  lim
h 0
k  f (x  h) — k  f (x)
f (x  h) — f (x)
h
 k  f  x
Ejemplo.- Si y = 3.x2, será y ‘ (x) = 3.(2.x) = 6.x
h

Reglas de derivación
 Si y = f(x)  g(x)
y   lim
h 0
 lim
h 0
y x  h— y x
h
f (x  h) — f (x)
h
 lim
 f ( x  h)  g ( x  h) —  f ( x)  g ( x)
h 0
 lim
h 0
h
g (x  h) — g (x)
h
Ejemplo.- Si y = x2 + x, será y ‘ (x) = 2.x + 1
 f  x  g x

Reglas de derivación
 Si y = f(x) . g(x)
y   lim
h 0
 lim
y x  h— y x
h
 lim
 f ( x  h)  g ( x  h) —  f ( x)  g ( x)
h 0

h
 f ( x  h)  g ( x  h) —  f ( x)  g ( x  h)   f ( x)  g ( x  h)   f ( x)  g ( x)
h 0
h
g (x  h)  g (x) 
 f (x  h)  f (x)


 lim 
 g ( x  h )   lim  f ( x ) 


h 0
h

0
h
h




 f (x  h)  f (x) 
 lim 
 g ( x )  f ( x )  lim

h 0
h 0
h


 g (x  h)  g (x) 



h


 f  x   g (x)  f (x)  g  x 
Ejemplo.- Si y = (3x2).(x). Será
y ‘ (x) = (6x). (x) + (3x2).[1/(2x)] = (15x2) / (2x)

Reglas de derivación
 Si y = f(x) / g(x)
x

g x
f
y
f
x  y x g x 
f  x   y x   g (x)  y(x)  g  x 
 f x 
f  x  
  g x
g x 
f  x   y(x)  g  x 

 y x  


g ( x)
g ( x)

f  x   g (x)  f (x)  g  x 
 g ( x)
2
Ejemplo.- Si y = (x+1) / (x2). Será
y ‘ (x) = [1.(x2) – (x+1).(2x)] / x4 = - (x+2) / x3
La regla de la cadena
 Si y = ( f º g ) (x) = f(g(x)), se cumple:
y  f  g  x   g  x 
Ejemplo.- Si y = (x2+1), denominando f(g) = g y g(x) = x2+1, será:
y  f   g  x   g   x  
1
2
x 1
2
2x 
x
x 1
2
Derivación implícita
 Si en vez de venir una curva mediante su función o expresión explícita, viene
expresada mediante su ecuación implícita (ecuación algebraica de variables x
e y, con y = y(x)). Entonces, se deriva dicha expresión, teniendo en cuenta las
reglas de aplicación a las derivadas, y despejando y ‘
Ejemplo.- Calcular la recta tangente a la circunferencia de centro el origen de
coordenadas y radio la unidad, que pasa por el punto (2/2, 2/2).
Derivando la ecuación implícita de la circunferencia
x2 + y2 = 1
Obtenemos
2.x + 2.y.y ‘ = 0. Es decir
y ’ = - x/y
Que en el punto (2/2, 2/2), y ‘ = -1, luego la ecuación de la recta será
y – 2/2 = -1. (x-2/2)
es decir
x + y = 2.
Derivadas de las funciones logarítmicas
 Si y = ln x
y   lim
y x  h— y x
h 0
 lim
ln  x  h  — ln x
h 0
h

h
 xh




ln 



1
1 
1 x
1 
 x 
 lim
 lim  ln  1    lim   ln  1   
h 0
h 0 h
h 0 x
x
x
h
h




h 
h 


x



1
1 
1
1
 lim  ln  1    lim  ln  e  
h 0 x
h 0 x
x
x


h 

h
Ejemplo.- Si y = ln (5x+9). Será
y 
5
5x  9
Derivadas de las funciones logarítmicas
 Si y = loga x, como loga x = ln x / ln a, teniendo en cuenta las reglas de
derivación será
y 
1
ln a
  ln x  
1

1
ln a x
Ejemplo.- Si y = log3 (5x+9). Será
y 
 5 


ln 3  5 x  9 
1
Derivadas de las funciones exponenciales
 Si y = ex , tomando logaritmos neperianos será
ln y  ln e  x 
x
y
 1  y  y  e
x
y
 Si y = ax , como y = ex.ln a será
ln y  ln a  x  ln a 
x
y
y
 ln a  y   y  ln a  a  ln a
x
Derivadas de las funciones exponenciales
 Si y = f(x)g(x) , como y = eg(x).ln f(x) será
ln y  ln f

y
y
x
gx
 ln e
f  x  ln g  x 
 f   x   ln g  x  
f  x
g x
 f
x
ln g  x 
 g x
 f   x   ln g  x   g  x   f   x   g   x  
 y  y  


g x


 y  f
x
gx
 f   x   ln g  x   g  x   f   x   g   x  



g
x




Ejemplo.- Si y = 72x. Será
y  7
2x
 2  ln 7
Derivadas de las funciones trigonométricas
 Si y = sen x, aplicando la definición de derivada será
y   lim
y x  h  y x
h 0
 lim
 lim
sen  x  h   sen x
h 0
h
h
sen x  cos  h   sen  h   cos x  sen x
h 0


h
 lim sen x 
cos  h   1
h 0
 lim cos x 
h
sen  h 
h 0

h
 sen x  0  cos x  1  cos x
 Si y = cos x, utilizando el teorema fundamental de trigonometría será
sen x  cos x 1  2  sen x  cos x  2  y  y   0
2
 y  
2
2  sen x  cos x
2 y

sen x  cos x
cos x
  sen x
Derivadas de las funciones trigonométricas
 Si y = tg x = sen x / cos x, utilizando las reglas de derivación será
y 
sen  x  co s x  sen x  co s  x
2
sen x  co s x
2

co s x
2
co s x
 1
2

sec
x
2

 co s x
 
2
2
sen
x
co
s
x
2



tg
x 1
2
2

 co s x co s x
Ejemplo.- Si y = cos(ln x), será
y    sen  ln x  
2
1
x

sen  ln x 
x

Derivadas de las funciones trigonométricas inversas
 Hay que tener en cuenta que como las funciones trigonométricas son
periódicas, las funciones inversas, existirán solamente en un intervalo en el
cual dicha función sea biyectiva
 Si y = Arco sen x, teniendo en cuenta que será sen y = x, será
cos y  y   1  y  
1

1

1
2
cos y
1  sen y
1 x
 Si y = Arc cos x, razonando de forma análoga al resultado anterior será
2
y  
1
1 x
2
 Si y = Arc tg x, será
y 
1
1 x
2
Derivadas de las funciones trigonométricas inversas
Ejemplo.- Si y = Arc sen x, será
1
y 
1—
 x

2
1
2

x
1
2
x— x
2
Derivada como razón de cambio
 Dada una función f(x), si para cada x denominamos:
df(x) = f ‘ (x) . dx (ó df = f ‘ (x) . dx)
será: f ‘ (x) = df / dx
Ejemplo.- Se está hinchando un globo esférico. Si su radio crece a razón de 1
centímetro por segundo, ¿Con que rapidez estará creciendo el volumen cuando
el radio sea de 5 centímetros? Como el volumen viene dado por
V 
4
  r
3
3
Tanto r como V son cantidades que varian con el tiempo, es decir, funciones
4
2 dr
de t, luego la variación del volumen, será dV
   3  r t  
dt
3
dt
Que para r = 5 cm y dr/dt = 1 cm/s., será
dV

4
   3  5  100    314,16 cm / s
2
3
dt
3
Lo que indica que cuando el radio alcanza la longitud de 5 cm. El volumen
aumenta a razón de 314 cm cúbicos por segundo, aproximadamente
Mas ayuda del tema de la página
Matemática de DESCARTES del
Ministerio de Educación y ciencia
(http://recursostic.educacion.es/descartes/web/)
En la siguiente diapósitiva
Mas ayuda del tema de la página
Matemática de GAUSS del Ministerio
de Educación y ciencia
(http://recursostic.educacion.es/gauss/web)
En la siguiente diapósitiva
Mas ayuda del tema de la página
lasmatemáticas.es
Videos del profesor
Dr. Juan Medina Molina
(http://www.dmae.upct.es/~juan/mate
maticas.htm)
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Manuel Sada
(figuras de GeoGebra)
(http://docentes.educacion.navarra.es/msa
daall/geogebra/)
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