Unidad 2: ECUACIONES
DIFERENCIALES DE
ORDEN SUPERIOR
SOLUCIÓN MEDIANTE
SERIES DE POTENCIAS
Introducción

La teoría necesaria para resolver
ecuaciones diferenciales de primer orden
fue presentada en las secciones “Repaso
de series de potencias” y “Solución de
ecuaciones mediante series de potencias”
de la Unidad II. Se presentarán ahora
algunos conceptos necesarios para la
solución de ED de orden dos y superior.
Ecuación diferencial de segundo
orden en forma estándar

Suponga que la ecuación diferencial lineal
de segundo orden a ( x ) y´´  a ( x ) y´  a ( x ) y  0
se escribe en forma estándar y´´  P ( x ) y´  Q ( x ) y  0
al dividir entre a2(x).
2
1
0
Puntos ordinarios y
singulares

Se dice que un punto x0 es un punto
ordinario de la ecuación diferencial
a 2 ( x ) y´´  a1 ( x ) y´  a 0 ( x ) y  0
si P(x) y Q(x) en la forma estándar son
y ´´  P ( x ) y ´  Q ( x ) y  0
analíticas en x0.
Un punto que no es un punto ordinario es
un punto singular de la ecuación.
Soluciones respecto a
puntos ordinarios

Si x=x0 es un punto ordinario de la
ecuación diferencial y´´  P ( x ) y´  Q ( x ) y  0 ,
siempre es posible hallar dos soluciones
linealmente independientes en la forma de
una serie de potencias centrada en x0, es
decir y   C ( x  x ) . Una solución en serie
converge por lo menos en un intervalo
definido por |x-x0|<R, donde R es la
distancia desde x0 al punto singular más
próximo.

n
n
n0
0
Soluciones respecto a
puntos ordinarios…

Se dice que una solución de la forma:

y 

C n ( x  x0 )
n
n0
Es una solución respecto a un punto
ordinario x0.
Soluciones respecto a
puntos singulares
Un punto singular x0 de una ecuación
diferencial lineal a ( x ) y´´  a ( x ) y´  a ( x ) y  0
se clasifica como regular o irregular. La
clasificación depende de las funciones P(x) y
Q(x) en la forma estándar y´´  P ( x ) y´  Q ( x ) y  0 .
 Se dice que un punto singular x0 es un punto
singular regular de la ecuación diferencial si
ambas funciones: p(x)=(x-x0)P(x) y q(x)=(x-x0)Q(x)
son analíticas en x0. Un punto que no es
regular es un punto singular irregular de la
ecuación.

2
1
0
Soluciones respecto a
puntos singulares…
 Teorema
de Frobenius:
Si x=x0 es un punto singular de la ecuación
diferencial, a ( x ) y´´  a ( x ) y´  a ( x ) y  0 entonces por
lo menos existe una solución de la forma:
2
1
0

y  ( x  x0 )
r

n0

C n ( x  xo ) 
n

C n ( x  xo )
nr
n0
donde el número r es una constante por
determinar. La serie converge por lo menos en
algún intervalo 0<x-x0<R.
Soluciones respecto a
puntos singulares…


En el teorema de Frobenius, las palabras por lo menos significa que
no garantiza la posibilidad de hallar dos soluciones en serie del tipo
indicado.
El método de Frobenius es similar al método de coeficientes
indeterminados
de series en la que se sustituye

y
C
n
( x  xo )
nr
n0
en la ecuación diferencial dada y se determinan los coeficientes
desconocidos cn mediante una relación de recurrencia. Sin
embargo, se tiene una tarea más en este procedimiento: antes de
determinar los coeficientes, se debe encontrar el exponente
desconocido r. Si se encuentra que r es un número que no es un
entero negativo, entonces la solución de la correspondiente no es
una serie de potencias.
Ejemplo 1

Resuelva la ED 3xy´´+y´-y=0
Debido a que x=0 es un punto singular de
la ecuación diferencial, se intenta encontrar
una solución de la forma:

y 
y´ 

n0
( n  r )C n x
nr
n0
Con ella:


Cnx
n  r 1

y
y ´´ 

n0
( n  r )( n  r  1) C n x
nr2
Ejemplo 1...

3 xy ´´  y ´  y  3 x  ( n  r )( n  r  1) C n x
nr2

 ( n  r )C

n0

 3  ( n  r )( n  r  1) C n x
n  r 1
n
x


 ( n  r )C
n  r 1

 ( n  r )( 3 n  3 r  2 )C
n0
 x [ r ( 3 r  2 )C 0 x
r
1
n
x
n  r 1

 ( n  r )C
n
x
 Cn x
n
x


C
n
x
 x [ r ( 3 r  2 )C 0 x
1

 Cn x
n  r 1
n0
 ( n  r )( 3 n  3 r  2 )C
n
x
n 1


C
 ( k  r  1)( 3 k  3 r  1)C
 x [ r ( 3 r  2 )C 0 x
1
k 1
x 
 [( k  r  1)( 3 k  3 r  1)C
k 1
 C k ]x
que :
r ( 3 r  2 )C 0  0
y
( k  r  1)( 3 k  3 r  1) C k  1  C k  0
k
k
x ]
k 0
k 0
lo que significa
C


x ]

k
k 0
r
n
n
n0


nr
nr
n 1
r
nr
n0



n0
n  r 1
nr
n0

n0

 Cn x
n0
n0

 ( n  r )( 3 n  3 r  3 )C
x
n0
n0

n

n  r 1
k  0 , 1 , 2 , 3 , ...
n 1
] 0
Ejemplo 1...
Debido a que no se gana nada haciendo
se debe tener :
r (3r  2 )  0
Los dos valores de r que satisfacen
y
r1  2 / 3
Cuando se sustituye
r1  2 / 3 ,
r1  0 ,
son :
en C k  1 
Ck
( k  r  1)( 3 k  3 r  1)
la ecuación
Ck
( 3 k  5 )( k  1)
Ck
( k  1)( 3 k  1)
los dos
r ( 3 r  2 )  0 se obtienen
de recurrenci a diferentes
C k 1 
C k 1 
la ecuación
r2  0
valores de r que satisfacen
dos ecuaciones
C 0  0, entonces
:
k  0 , 1 , 2 , 3 , ...
k  0 , 1 , 2 , 3 , ...
Ejemplo 1...
Debido a que no se gana nada haciendo
se debe tener :
r (3r  2 )  0
Los dos valores de r que satisfacen
y
r1  2 / 3
Cuando se sustituye
r1  2 / 3 ,
r1  0 ,
son :
en C k  1 
Ck
( k  r  1)( 3 k  3 r  1)
la ecuación
Ck
( 3 k  5 )( k  1)
Ck
( k  1)( 3 k  1)
los dos
r ( 3 r  2 )  0 se obtienen
de recurrenci a diferentes
C k 1 
C k 1 
la ecuación
r2  0
valores de r que satisfacen
dos ecuaciones
C 0  0, entonces
:
k  0 , 1 , 2 , 3 , ...
k  0 , 1 , 2 , 3 , ...
Ejemplo 1...
Con:
C k 1 
C1 
C0
C2 
C3 
C4 
Ck
( 3 k  5 )( k  1)
( 5 )( 1)
C1
C0

( 8 )( 2 )
C2
( 2 * 5! )( 8 )
(11 )( 3 )
C3
(14 )( 4 )
C0

( 3 * 5! )( 8 )( 11 )
C0

( 4 * 5! )( 8 )( 11 )( 14 )

Cn 
Con:
C k 1 
C1 
C0
C2 
C3 
C4 
Ck
( k  1)( 3 k  1)
(1)( 1)
C1
( 2 )( 4 )
C2
C0

( 2 * 1! )( 4 )
C0

( 3 )( 7 )
C3
( 4 )( 10 )
( 3 * 1! )( 4 )( 7 )
C0

( 4 * 1! )( 4 )( 7 )( 10 )

C0
( n * 5! )( 8 )( 11 ) *  * ( 3 n  2 )
Cn 
C0
( n * 1! )( 4 )( 7 ) *  * ( 3 n  2 )
Ejemplo 1…

Aquí se encuentra algo que no sucedió cuando se
obtuvieron soluciones respecto a un punto ordinario;
se tiene lo que parecen ser dos conjuntos de
coeficientes diferentes, pero cada conjunto contiene al
mismo múltiplo C0. Si se omite este término, las
soluciones en serie son:
2/3 
y1 ( x )  x
1 

0 
y 2 ( x )  x 1 



n 1


n 1

x 
( n !* 5 ) * 8 * 11 *  * ( 3 n  2 ) 
1
n

x 
( n !* 1) * 4 * 7 *  * ( 3 n  2 ) 
1
n
Ejemplo 1…

y  c1 x
Es evidente que ninguna de estas
soluciones es múltiplo de la otra y por lo
tanto y1 y y2 son linealmente
independientes, así por el principio de
superposición y = c1y1+c2y2 , así, la
solución general de la ecuación diferencial
es:
2/3

1 



n 1

0
x   c 2 x 1 
( n !* 5 ) * 8 * 11 *  * ( 3 n  2 ) 

1
n


n 1
n
x 
( n !* 1) * 4 * 7 *  * ( 3 n  2 ) 
1
Ecuación indicial

En la ecuación diferencial anterior, el
término: r(3r-2) de denomina “ecuación
indicial” y r=2/3 y r=0 se llaman “raíces
indiciales” o exponentes de la singularidad
x=0.
Tres casos posibles

Al utilizar el método de Frobenuis para
resolver la ecuación diferencial de segundo
orden a ( x ) y´´  a ( x ) y´  a ( x ) y  0 se distinguen
tres casos que corresponden a la
naturaleza de las raíces indiciales r1 y r2.
2
 r1
1
0
y r2 son reales y la diferencia r1 - r2 no es
un entero positivo.
 r1 y r2 son reales y la diferencia r1 - r2 es un
entero positivo.
 r1 y r2 son reales e iguales.
CASO I

Si r1 y r2 son reales y la diferencia r1 - r2 no
es un entero positivo.
En este caso existen dos soluciones
linealmente independientes de la ecuación
a ( x ) y´´  a ( x ) y´  a ( x ) y  0 de la forma:
2
1
0

y1 ( x ) 
c
n
x
n  r1
c0  0
n0

y2 ( x) 
b
n0
n
x
n  r2
b0  0
CASO II

Si r1 y r2 son reales y la diferencia r1 - r2 es
un entero positivo.
En este caso existen dos soluciones
linealmente independientes de la ecuación
a ( x ) y´´  a ( x ) y´  a ( x ) y  0 de la forma:
2
1
0

y1 ( x ) 

cn x
n  r1
c0  0
n0

y 2 ( x )  Cy 1 ( x ) ln x 

bn x
n  r2
b0  0
n0
Donde C es una constante que podría ser
cero.
CASO III

Si r1 y r2 son reales e iguales.
En este caso existen dos soluciones
linealmente independientes de la ecuación
a ( x ) y´´  a ( x ) y´  a ( x ) y  0 de la forma:
2
1
0

y1 ( x ) 
c
n
x
nr
c0  0
n0

y 2 ( x )  y 1 ( x ) ln x 

n 1
bn x
nr
Ejemplo 2

Encontrar la solución general de la
ecuación: 2xy´´-y´+2y=0


Partiendo de la sustitución de

y´ 

n0
( n  r )C n x
n  r 1

y
y ´´ 

y 

Cnx
nr
n0
( n  r )( n  r  1) C n x
n0
en la ecuación diferencial, tenemos:
nr2
Ejemplo 2…

2 xy ´´  y ´  2 y  2 x  ( n  r )( n  r  1) C n x
nr2
n0

 2  ( n  r )( n  r  1) C n x


 ( n  r )C
n  r 1



( n  r )C n x
2  ( n  r )( n  r  1) C n x
n0

       
2  ( k  r )( k  r  1) C k x
k 0
Tomando
un término
Ecuación indicial
C 0 ( 2 r  3r )  0
Como C 0  0
2
entonces :
r1 
3
2
,
r2  0

 2 C n x
nr
 0
n
x
nr

 2 C n x
n  r 1
 0
n0
n0

    
 
 
k  n 1


 ( k  r )C
k
x
k 0
de las dos primeras
2[ r ( r  1) C 0 ]  rC 0  0

   

n  r 1
k n
kr
nr
:
 ( n  r )C
k n

 2 C n x
n0



n0
n0
Multiplica ndo por x ambos lados de la ecuación
nr
x
n0
n0

n
n  r 1
sumatorias
kr

 2  C k 1 x
kr
 0
k 1
para igualar los índices :
Ejemplo 2…
Como las raíces no difieren en un entero
(Caso I) la soluciones deben ser de la
forma: y ( x )   c x c  0

1
n  r1
n
0
n0

y2 ( x) 

bn x
n  r2
b0  0
n0
La ecuación de recurrencia para k=1,2,3,…
es:
Ck 
 2 C k 1
( k  r )( 2 k  2 r  3 )
Ejemplo 2…
r 
Con
3
:
2
 2 C k 1
Ck 
(k 
Para :
k 2
)( 2 k  2
3
 3)
2
2
k 1
C1 
C3 
k 4
3
(k 

)( 2 k )
 2 C k 1
( 2 k  3 )( k )
2
C2 
k 3
Si
3
 2 C k 1

C4 
 2C 0
5
 2C1
2

14
35
 2C 2
C0
2

27
945
 2C 3

44
C0
2
C0
10395
y  C 0  C1 x  C 2 x  C 3 x  C 4 x  
2

y1  C 0 
2
5
C0x 
3
2
35
4
C0x 
2
2
945
C0x 
3
2
10395
C0x  
2
2 2
2
2


3
4
y 1  C 0 1  x 
x 
x 
x  
5
35
945
10395


4
Ejemplo 2…
r 0:
Con
bk 
 2 b k 1
( k  0 )( 2 k  2 ( 0 )  3 )
Para :
k 2
b1 
b2 
k 3
( k )( 2 k  3 )
 2 b0
 2 b0
1
 2 b1
2
 2 b2
b3 
k 4
Si
k 1
 2 b k 1

  2 b0

9
b4 
 2 b3
4
9

20
b0
2
b0
45
y  b 0  b1 x  b 2 x  b 3 x  b 4 x  
2

3
4
y 2  b0  2 b0 x  2 b0 x 
2
4
9
b0 x 
3
2
45
b0 x  
4
4 3
2 4


2
y 2  b 0 1  2 x  2 x  x 
x  
9
45


Ejemplo 2…
Con
ello ,
la
solución
de
la
ecuación
diferencia l
es :
y  y1  y 2
2
2 2
2
2
4 3
2 4




3
4
2
y  C 0 1  x 
x 
x 
x     b 0 1  2 x  2 x  x 
x  
5
35
945
10395
9
45




que
correspond e
a
la
forma
inicialmen te
indicada .
Ejemplo 3

Encontrar la solución general de la
ecuación: x3y´´-x2(1+x)y´+xy=0


Partiendo de la sustitución de

y´ 

n0
( n  r )C n x
n  r 1

y
y ´´ 

y 

Cnx
nr
n0
( n  r )( n  r  1) C n x
n0
en la ecuación diferencial, tenemos:
nr2
Ejemplo 3…

x y ´´  x (1  x ) y ´  xy  x
3
2
3
 ( n  r )( n  r  1)C
n
x
n0


 ( n  r )( n  r  1)C
n
x
n  r 1
n0
Tomando
las sumatorias
Ecuación indicial
C 0 ( r  2 r  1)  0
2
entonces :
Como C 0  0
r  2 r  1  ( r  1)  0
2
2
r1  r2  r  1
Obtenemos
dos raíces reales iguales.

 ( x  x )  ( n  r )C n x
2

 ( n  r )C
n0
3
n  r 1
n0

de menor exponente
r ( r  1) C 0 ]  rC 0  C 0  0
       
nr2
n
x
n  r 1

  ( n  r )C n x
n0
en las x, tenemos

 x Cn x
nr
n0
nr2

 Cnx
n0
que para n  0 :
n  r 1
0
Ejemplo 3…
Como las raíces son reales e iguales (Caso
III) la soluciones deben ser de la forma:

y1 ( x ) 
c
n
x
nr
c0  0
n0

y 2 ( x )  y 1 ( x ) ln x 

bn x
nr
n 1
La ecuación de recurrencia con r=1 para los
valores de k=2,3,4,… es:
C k 1 
C k 2
k 1
Ejemplo 3…
Con
C0  C0
y
k 2
C1 
Para :
k 3
k 4
k 5
k 6
Si
C k 1 
C k 2
k 1
C0
1
C2 
C1
C3 
C2
C4 
C3
C5 
C4

C0
2
2

3
C0
6

4
C0
24

5
C0
120
y  C 0  C1 x  C 2 x  C 3 x  C 4 x  
2
y  C0 
C0
x
1
C0
3
x 
2
2
C0
6
4
x 
3
C0
x 
4
24
C0
x 
5
120
2
3
4
5
m



x
x
x
x
x
x
y  C 0 1  x 



   C0 
 C 0e
2!
3!
4!
5!
m 0 m!




y 1  C 0 xe
x
o
y1  C 0 
m 0
x
m 1
m!
Ejemplo 3…

Para encontrar y2, utilizaremos:
Pdx

e

y 2  y1 ( x ) 
Con:
y1
2
dx
 x (1  x )
2
y 1  xe
x
y
P( x) 
x
3

 (1  x )
x
 
1
x
1
Ejemplo 3…
y 2  y1 
e
 y1 
 1 
 
 1  dx
 x


y1
2
xe
x
2
2x
x e
dx  y 1 
dx  y 1 
1
xe
e
ln x  x
xe 
x 2
dx  y 1 
dx  y 1 
x
e
ln x  x
2
x e
2x
dx
1
xx 
2
x
3

2!
Dividiendo
 y1  (
x
4

3!
x
dx
5

4!
:
1
x
1
x

x
2
2

6
 y 1 ln x  y 1 (  x 

 y 1 ln x  xe
x

m 1
3
x

2*2

2*2
m
  ) dx
3
x

3* 6
2
(  1) x
4
120
2
x
x

24
x
 y 1 ln x  xe (  x 
x
x
x
4

4 * 24
3

3* 6
x
x
 )
5 * 120
4
4 * 24
5
x

5
 )
5 * 120
m
( m )m!
que
correspond e
a
la
forma
inicialmen te
indicada .
Ejemplo 4

Encontrar la solución general de la
ecuación: y´´+2y´+xy=0


Partiendo de la sustitución de

y´ 

n0
( n  r )C n x
n  r 1

y
y ´´ 

y 

Cnx
nr
n0
( n  r )( n  r  1) C n x
n0
en la ecuación diferencial, tenemos:
nr2
Ejemplo 4…

xy ´´  2 y ´  xy  x  ( n  r )( n  r  1) C n x
nr2
n0


 ( n  r )( n  r  1)C
n0
Tomando
las sumatorias
x
n
n  r 1

 2  ( n  r )C n x
n  r 1
n0

 2  ( n  r )C n x
n0
de menor exponente
n  r 1

 x Cn x
n0

C
x
n
en las x, tenemos
Ecuación indicial
entonces :
Como C 0  0
r  2 r  1  ( r  1)  0
2
2
r1  0
r2   1
Obtenemos
n  r 1
0
n0
r ( r  1) C 0  2 rC 0  0
      
C 0 ( r ( r  1)  0
nr
dos raíces reales que difieren en un número entero.
que para n  0 :
Ejemplo 4…
Como las raíces son reales y la diferencia
es un entero (Caso II) la soluciones deben
ser de la forma:

y1 ( x ) 

cn x
n  r1
c0  0
n0

y 2 ( x )  Cy 1 ( x ) ln x 

bn x
n  r2
b0  0
n0
La ecuación de recurrencia para r=0 y los
C
C

valores de k=2,3,4,… es:
ya
k ( k  1)
que para k=0 obtenemos la ecuación
indicial y para k=1 C1=0.
k 2
k
Ejemplo 4…
r 0
Para
Para :
k 2
k 3
C4 
k 5
C5 
k 6
Si
C6 
y
Ck 
 C1
0
12
 C2
20
C3
C0

120
0
4
 C4
C0

5
5040
2
Senx  x 
x
y1  C 0
Senx
x
3
3
3!

k ( k  1)
6
y  C 0  C1 x  C 2 x  C 3 x  C 4 x    C 0 
Como
 C k 2
 C0
C2 
C3 
k 4
Ck  0
con

x
5
5!

4
x
C0
x 
3!
7
7!

Entonces :
2
C0
x 
4
C0
5!
7!
Senx
x
x
 1
x 
6
2
3!

x
4
5!

x
6
7!

Ejemplo 4…
Para
Para :
k 3
con
b0  0 ,
k 2
b2 
b5 
k 6
k ( k  1)
2
 b2
0

12
b3
b0
24
0
120
 b4
b6 

30
 b0
720
y  b 0  b1 x  b 2 x  b 3 x  b 4 x    b 0 (1 
2

 bk  2
bk 
y
6
b4 
k 5
b1  0 ,
 b0
 b1
b3 
k 4
Si
r  1
3
1
y 2  0 ln x  x b 0 Cosx
4
x
2
2!

x
4
4!

x
6
6!
  )  b 0 Cosx
Ejemplo 4…
Con
ello ,
la
solución
de
la
ecuación
la
forma
diferencia l
es :
y  y1  y 2
y  C0
Senx
esta
forma
x
 b0
Cosx
x
correspond e
a
inicialmen te
indicada .
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