Rectas en el plano
cartesiano
Por Eugenio Skerrett
Gráfica
El plano cartesiano provee
para más que marcar puntos
aislados. Se pueden trazar
conjuntos de puntos.
Gráfica: dibujo de los valores de
la relación entre variables.
Gráfica
La relación de variables se
presenta con una regla,
fórmula o como se le conoce
comúnmente, ecuación.
La línea recta
Ésta es la gráfica de una
ecuación de primer grado. Por
ésto, a las mencionadas
ecuaciones se les dice
“lineales”.
La línea recta
Ejemplo: y = 2x – 5
Observa que y se relaciona con x de forma
particular; es decir, según cambia x cambiará
la y.
x es la variable independiente por que se le
asignará cualquier valor.
y es la variable dependiente por que tomará
valores según indica la regla o ecuación.
Trazado de la recta: método de la
tabla de valores
Para dibujar la recta basta con tener
los pares ordenados para marcar en
el plano. Éstos los obtendremos de la
ecuación. Sustituyendo cualquier
valor en x obtendremos su pareja y.
Cuando lo hacemos así , estamos
construyendo una “tabla de valores”.
Trazado de la recta: método de la
tabla de valores
y = 2x – 5; basta con sustituir unos cuantos
valores x en la ecuación para obtener los
respectivos y; así obtenemos la tabla de
valores:
para x = – 1;
Tabla de valores
y = 2(– 1) – 5
Coteja la tabla de
x y
y=–2–5=–7
valores a un lado y
para x = 0
–1 –7
las sustituciones al
y = 2(0) – 5
otro.
0 –5
y=–5
para x = 1
1 –3
y = 2(1) – 5
y=2–5=–3
Trazado de la recta: método de la
tabla de valores
Aunque para este ejemplo utilizamos tres
valores de x, en realidad con dos es suficiente.
De acuerdo con la Geometría necesitamos
solamente dos puntos para dibujar una recta.
Así que con dos valores de x determinamos sus
respectivos de y , de manera que tenemos las
coordenadas de dos puntos.
Para nuestro ejemplo obtuvimos tres pares
ordenados buenos para tres puntos. Entonces
podemos dibujar la recta.
y
8
7
6
5
4
3
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
2
1
x
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
1
2 3
4
5
6
7
8 9
Trazado de la recta: método de la
tabla de valores
Recalcamos que solamente se necesitan
dos puntos para dibujar una recta. Es
lógico que los más indicados son los que
sus valores de x son 0 y 1. Para nuestro
ejemplo serían: (0, – 5) y (1, – 3). En
otras palabras, en la tabla de valores solo
escribimos 0 y 1 bajo la x y sustituimos
en la ecuación para obtener los
correspondientes valores de y.
Trazado de la recta: método de la
tabla de valores
y = 2x – 5; basta con sustituir los valores 0 y 1
en la x de la ecuación para obtener los
respectivos y; así obtenemos la tabla de
valores:
para x = 0
Tabla de valores
y = 2(0) – 5
y=–5
x y
para x = 1
0 –5
y = 2(1) – 5
y=2–5=–3
1
–3
y
8
7
6
5
4
3
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
2
1
x
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
1
2 3
4
5
6
7
8 9
Trazado de la recta: la forma
pendiente – intercepto
Existe otra forma de dibujar una recta. Primero veamos
algo. En nuestro ejemplo tenemos una ecuación
despejada para y: y = 2x – 5. Cuando una ecuación
lineal se presenta de esta manera se dice que está en
la forma pendiente – intercepto. En general:
y = mx + b
pendiente
intercepto
Trazado de la recta: la forma
pendiente – intercepto
La pendiente es la inclinación de la recta:
m = ∆y (desplazamiento vertical, “arriba” o “abajo”)
∆x (adelanto horizontal)
Si la pendiente en la ecuación es negativa, la recta será
descendente (hacia abajo) y si es positiva en la
ecuación, la recta será ascendente (hacia arriba). Hay
que reconocer que la pendiente es una razón. Se
refiere a desplazamientos arriba o abajo en y contra
avance o adelanto en x.
Trazado de la recta: la forma
pendiente – intercepto
El intercepto es el punto en el eje de y donde la
recta lo interseca (cruza). En forma correcta se
le debe llamar “intercepto en y”, por su
significado.
En nuestro ejemplo y = 2x – 5. Entonces, m = 2
y b = – 5; es decir la pendiente es 2, el
intercepto es – 5.
Trazado de la recta: la forma
pendiente – intercepto
1.
2.
Ahora podemos dibujar la recta así:
Marcar el intercepto – en nuestro ejemplo, éste
es – 5. Marcamos – 5 en el eje de y.
Determinar la pendiente – en nuestro caso,
es 2 es decir, 2/1. Por lo tanto, a partir del
intercepto, – 5, “subimos” (es positiva) dos
unidades y adelantamos una.
y
8
7
6
5
4
3
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
2
1
x
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
1
2 3
4
5
6
7
8 9
Determinación de la ecuación de la
recta
Por otro lado podemos determinar la
ecuación de una recta. Para ésto,
basta con observar la recta, además
de recordar la forma pendiente –
intercepto. Entonces, procedemos al
inverso de lo que hemos hecho, para
formar la ecuación.
y
8
7
6
5
4
3
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
2
1
x
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
1
2 3
4
5
6
7
8 9
y = – 2+ 5 x
4
y = 5x – 2
4
Resumen
La gráfica de una ecuación de primer grado es
una linea recta. Por ésto es que también se le
llama ecuación lineal. La forma pendiente
intercepto es muy útil para dibujar la recta,
sea por tabla de valores o por inspección de la
pendiente y el intercepto en el eje y, además
de que permite determinar la ecuación dada
una recta.
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El plano cartesiano y gráficas de ecuaciones