1
MAPA DE NAVEGACIÓN
Ejercicios
resueltos
Reglas de los Signos
Índice
Objetivo
General
Problemas
propuestos
Soluciones
Objetivos específicos:
Objetivo 1
Objetivo 2
Objetivo 3
Objetivo 3
Objetivo 5
Objetivo 6
Objetivo 7
Ejemplos
2
Objetivo General
Objetivos Específicos
Ejercicios Resueltos
Objetivo 1 y 2
Objetivo 3 y 4
0bjetivo 5
Objetivo 6
Objetivo 7
Problemas Propuestos
Soluciones a los problemas propuestos
3
Al terminar esta Unidad resolverás ejercicios y problemas en los que
apliques las reglas de los signos.
Índice
4
1.
Recordarás las reglas de los signos para la suma
2.
Recordarás las reglas de los signos para la diferencia
3.
Recordarás las reglas de los signos para la multiplicación
4.
Recordarás las reglas de los signos para la división.
Índice
5
5.- Recordarás el orden en que deben realizarse las operaciones aritméticas y
algebraicas, incluyendo el uso de símbolos de agrupación.
6. Aplicarás las reglas de los signos y los símbolos de agrupación en la
resolución de ejercicios algebraicos. Ver índice objetivo
7. Aplicarás las reglas de los signos y los símbolos de agrupación en la
resolución de problemas de casos reales. Ver índice objetivo
Índice
6
1.) Al sumar (3) + (2)
ambos tienen signo
positivo, por esto el resultado:
es 5 positivo,
aunque el signo + no se escriba.
2.) Al sumar (–16) + (13),
el resultado es – 3,
puesto que al restar 13 de 16
se obtiene 3,
y el número mayor tiene signo negativo.
Objetivos
específicos
7
a) Si se tienen números de igual signo:
Para sumar dos o más números de igual signo, lo
que se tiene que hacer es sumar las cantidades
y al resultado anteponerle el mismo signo.
b) Si se tienen números de signos diferentes:
Para sumar dos números de diferentes signos, se
resta el número menor del número mayor y el
resultado lleva el signo del número mayor.
Ejemplos
8
a) Si se tienen números de igual signo:
Para obtener la diferencia de dos números positivos, lo que se tiene
que hacer es restar las cantidades y al resultado anteponerle un
signo positivo si se resta un número menor de otro mayor que él, y
un signo negativo en caso contrario.
9
Para obtener la diferencia de dos números negativos, lo que se tiene
que hacer es restar las cantidades y al resultado anteponerle un
signo negativo si se resta un número menor de otro mayor que
él, y un signo positivo en caso contrario.
10
b) Si se tienen números de signos
diferentes:
Para obtener la diferencia de dos números
de diferentes signos, se debe sumar al
primero (el minuendo) el opuesto del
número que se resta (el sustraendo). El
opuesto de un número es ese mismo
número, con el signo contrario.
Ejemplos
11
1.) Al restar (8) – (2) ambos tienen signo
positivo
y el resultado es 6
porque 2 es menor que 8.
2.) Al restar (2) – (8) ambos tienen signo
positivo
y el resultado es – 6
porque 8 es menor que 2.
12
3.) Al restar (– 8) – (– 2) ambos tienen
signo negativo y el resultado
es – 6
porque 2 es menor que 8.
4.) Al restar (– 2) – (– 8) ambos tienen
signo positivo y el resultado
es + 6
porque 8 es menor que 2.
13
5.) Para restar (– 8) – (2)
se suma a (– 8) el opuesto de (2),
es decir:
(– 8) – (2) = (– 8) + (– 2) = – 10.
6.) Para restar (8) – (– 2)
se suma a (8) el opuesto de (– 2),
es decir:
(8) – (– 2) = (8) + (2) = 10.
Índice
14
Leyes de los signos para la multiplicación o producto:
El producto de elementos con signos iguales es un elemento
positivo.
El producto de elementos con signos diferentes es un elemento
negativo.
Ejemplos
15
1.
El resultado es positivo porque los dos factores son del
mismo signo.
(– a) (– b) =
ab
2.
El resultado es negativo porque los dos factores son de signos
diferentes.
(a) (– b) =
– ab
16
3.)El resultado es negativo porque los
signos
diferentes.
dos factores son de
(– x) (y) =
– xy
4.) El resultado es positivo porque los
mismo signo.
dos factores son del
(x) (y) =
xy
Objetivos
específicos
17
El cociente de elementos con signos iguales es un elemento
positivo.
El cociente de elementos de signos diferentes es un elemento
negativo.
Ejemplos
18
1.)
El resultado es positivo puesto que los dos
elementos del cociente son del mismo signo.
a÷b=
–a÷–b=
a
b
2.)
El resultado es negativo puesto que los dos
elementos del cociente son de signos diferentes.
–a÷b=
a÷–b=
a
Objetivos
b
específicos
19
Se aplica el siguiente orden:
1.- Primero se evalúan las expresiones dentro de los símbolos de
agrupación, incluyendo paréntesis: ( ), corchetes: [ ], o llaves: { }.
20
Si la expresión contiene paréntesis anidados (un par de
paréntesis dentro de otro par), primero se evalúa la expresión
que está dentro de los paréntesis internos.
2.- Después se evalúan todos los términos que tengan exponentes y
raíces.
21
3.- Luego, se evalúan todas las multiplicaciones o divisiones en el
orden en que se presentan, trabajando de izquierda a derecha.
4.- Por último, se evalúan todas las sumas y restas en el orden en
que se presentan, trabajando de izquierda a derecha.
22
Es importante tener presente que una barra de fracción actúa
como un símbolo de agrupación. Así, cuando se evalúan
expresiones con una barra de fracción, se trabaja por separado
arriba y abajo de la barra de fracción.
23
También es importante recordar que un signo menos precediendo a
un símbolo de agrupación significa que los elementos agrupados
al interior de los paréntesis, corchetes o llaves, deben
multiplicarse por –1 o, lo que es lo mismo, cambiarles el signo
al eliminar el símbolo de agrupación.
Ejemplos
24
1.) Para simplificar la expresión:
3a + {–5x – [– a + (9x – a – x)]}
Primero se empieza por suprimir el paréntesis, por ser el más interno:
= 3a + {–5x – [– a + 9x – a – x]}
Suprimiendo luego el corchete queda:
= 3a + {–5x + a – 9x + a + x}
25
Cuando se suprimen las llaves se tiene:
= 3 a – 5x + a – 9x + a + x
Y, simplificando, queda:
= 5a – 13x
26
2.)
Para simplificar la expresión:
{2a + [a – (a+1)]} ÷ {3a + [a – (2a +3) +2]}
Como la división indicada se representa por una
barra de fracción, al reescribir la expresión
queda:
27
Ahora, se eliminan los paréntesis arriba y
abajo de la barra:

Luego se eliminan ambos corchetes:

Y, finalmente, ambas llaves:
3a   a  2a  3  2
2a  a  a  1
3a  a  2a  3  2

Al reducir el numerador y el denominador se
obtiene la expresión simplificada:
2a   a  a  1
2a  a  a  1
3a  a  2a  3  2

2a  1
2a  1
1
28
En muchas ocasiones, especialmente cuando existen numerosos signos
de agrupación, es conveniente ir reduciendo las expresiones que se
obtienen en cada paso para no terminar con expresiones demasiado
largas, en las que es más fácil equivocarse al reducirlas.
29
Simplificar la expresión:
5{- (a + b) - 3[- 2a + 3b - (a + b) + ( - a - b) + 2( - a + b)] -a}
Eliminando los paréntesis al interior del corchete queda:
= 5{– (a + b) – 3[– 2a + 3b – a – b – a – b –
2a + 2b] –a}
30
Se reduce la expresión que quedó dentro del corchete:
= 5{– (a + b) – 3[– 6a + 3b] – a}
Ahora se eliminan el corchete y el otro paréntesis:
= 5{– a – b + 18a – 9b –a}
31
Y se vuelve a reducir:
= 5{16a – 10b}
Finalmente, se elimina la llave y se obtiene:
= 80a – 50b
Objetivos
específicos
32
Objetivo 1 y 2.
Recordarás las reglas de los
la suma y la diferencia.
signos para
Obtén el resultado
1.)
2.)
6+8+7+1
= 22
– 6x – (– 10x)
= – 6x + 10x
= 4x
33
3.)
– 8 + (– 4)
= – 12
4.)
(–7) + (–2) + (–5)
= – 14
5.)
– 3ab + 2ab
= – 1ab
= – ab
Índice
34
Objetivo 3 y 4.
Recordarás las reglas de los signos para la
multiplicación y la división.
Evalúa:
1.)
(24a) · ( – 3b)
= – 72ab
2.)
72 ÷ (– 8)
=–9
35
3.)
–36 ÷ (– 6)
=6
4.)
(5x) · (4y)
= 20xy
5.)
– 2mn ÷ (– 4mn)

6.)
1
2
– 9abc ÷ 3abc
=–3
Índice
36
Objetivo 5.
Recordarás el orden en que deben realizarse las operaciones
aritméticas y algebraicas, incluyendo el uso de símbolos de
agrupación.
Simplifica las siguientes expresiones:
1.)
x – [3x + 2(– x + 1)]
= x – [3x – 2x + 2]
= x – 3x + 2 x – 2
= –2
37
2.)
- {3x + 8 - [15 + 6x - (-3x + 2) - (5x + 4)] - 9}
= - {3x + 8 - [15 + 6x + 3x - 2 - 5x - 4] - 9}
= - {3x + 8 - [4x + 9] - 9}
= - {3x + 8 - 4x - 9 - 9}
= - {- x - 10}
= x + 10
38
3.)
5a + {a + [ a + 3b + (a + b)] }
= 5 a + { a + [ a + 3 b + a + b] }
= 5a + {a + [ 2a + 4b] }
= 5a + {a + 2a + 4b }
= 5a + {3a + 4b }
= 8a + 4b
Índice
39
Objetivo 6
Aplicarás las reglas de los signos y los símbolos de agrupación en la resolución de
ejercicios algebraicos.
Calcula el valor numérico de las expresiones indicadas:
1.)
 2 x1  3 x2    5 x3  2 x2 
donde: x1  6, x2  2, x3  2
  2  6   3  2     5  2   2  2  
40
  12   6    10   4  
 2   40 
 2  40  42
41
2.)
  x2  4 x3  8x4    2 x1 
donde: x1   4
x2   1
x3  4
x4   2
    4  4  4  8  2    2  1 
  4  16  16   2
 42  2
42
Evalúa las expresiones indicadas:
3.)
8  3
6
 12   7  3   1 2 

2  4   1
 4
 12   6
 4
9
72
9
 4  8  12
43
4.)
2
 6   3 x  

3  2 x   2 
5 x    x  


2  18 x 
6 x  2  6 x 

36 x
6 x  12 x

36 x
18 x
 2
Objetivos
específicos
44
Objetivo 7. Aplicarás las reglas de los signos
resolución de problemas de
en la
casos reales.
1.) En la Ciudad de México la temperatura máxima de un día cualquiera fue
de 30° C y la mínima de 8° C. Encuentra el cambio de temperatura.
El cambio de temperatura es la diferencia entre la temperatura máxima y la
mínima.
Entonces, como 30 – 8 = 22, el cambio de temperatura fue de + 22º C.
45
2.)En tu tarjeta de crédito tienes un adeudo de $ 3,765.00. Vas a
pagar el pago mínimo, que es de $ 755.00, ¿Cuál es tu adeudo
después del pago?
Considerando el adeudo como un saldo negativo, y el pago como
positivo, tienes – 3,765.00 + 755.00 = – 3,010.00,
por lo cual tu adeudo después del pago es de $ 3,010.00
Índice
46
1)
Resta (35) de (– 42)
2)
Obtén: (– 8) – (4)
3) Evalúa: (– 4) – (–12)
47
4) Suma los siguientes números: 2, – 3, 7
5) Resta (– 31) de (– 11)
6) Suma: 3m, –2m, 4m
48
7) Resta: –3(a – 2b + 2c)
de (a – 2b + 2c)
8) Resta: –5(a2 – 2ab)
del resultado de sumar
7(a2 – 2ab) con –9(a2 – 2ab)
49
9)
(12x) · (– 2y)
10) – 6ab ÷ (2ab)
11)
42 ÷ (– 7)
12)
(2z) · ( – 14z)
13)
14)
– 81 ÷ 9
– 6mn ÷ 8mn
50
15)
[3x – 2y + (x – 2y)
– 2(x + y) – 3( 2x + 1)]
16) x –{– (x + y) – 3(x – y)
+2 [– (x – 2y) – 2(–x – y)]}
51
17)
2m – [(m – n) – (m + n)]
18)
– {a + b –2(a – b)
+ 3{– [2a + b – 3(a + b – 1)]}
– 3[– a + 2(–1 + a)]}
52
1.)  3 x1  2 x2   2 x3  4 x1  
donde: x1  2, x2  3, x3  1
2.) x1  6 x2   2 x3   3 x1  8 x4  
donde: x1  2, x2  3, x3  1, x4  1
3.) 2 x1  3 x2   x4  2 x1      x3 
donde: x1  2, x2  3, x3  1, x4  1
53
22.)  6  2   5  7  3 /  3  5    2
23.)
  6 x  3x  x   4   x  2 x   5  3  2    4  6 
24.) 
3ab   2  3ab   ab 
5  2ab    4ab   4ab  ab  
54
25)
En un poblado de Alaska, amaneció a 4º C bajo cero, al
mediodía, la temperatura llegó a los 11º C, y por la noche
descendió a 3º C. Encuentra el cambio de temperatura entre el
amanecer y el mediodía, el cambio entre el mediodía y la noche,
y el cambio entre el amanecer y la noche.
55
26)
Al recibir tu estado de cuenta bancario observas que tienes un
saldo negativo de $1,550.00 pesos, ese día vas a depositar
$5,000.00 pesos. ¿Cuál será tu saldo bancario después de
depositar?
56
27)
Considerando negativa la distancia de regreso, en un día
cualquiera una persona que sale a caminar recorre de ida
primero 10 metros, después regresa 3 metros para recoger el
periódico, vuelve a tomar su camino de ida y avanza 6 metros,
regresa un metro para alcanzar a su vecino y caminar juntos 15
metros más de ida. Encuentra a cuántos metros está de su casa.
57
28)
Vas a la tienda, compras 4 kilogramos de tierra y pagas
con un billete de 500 pesos. Cada kilogramo cuesta
$22.50. ¿Cuánto dinero te queda? El dinero que te queda
lo repartes para hacer otras 4 compras. Suponiendo que
repartirás el dinero equitativamente, ¿cuánto tendrás
disponible para cada una?
Índice
58
Suma y Resta
Multiplicación y División
Orden de Operaciones
Regla de los Signos
Aplicaciones de las Reglas
Índice
59
Suma y Resta
1.) – 77
5.)
20
2.)
– 12
6.)
5m
3.)
8
7.)
4(a – 2b + 2c)
8.)
3(a2 – 2ab)
4.)
6
Soluciones
60
Multiplicación y División
9.) 24xy
12.) 28z
10. ) 23
13.)
9
11.) 6
14.)
– 3/4
Soluciones
61
Orden de Operaciones
15.) 4x + 6y + 3
16.)
3x – 10y
17.) 2m + 2n
18.)
2a – 9b – 6
Soluciones
62
Reglas de los Signos
19.)
1
20.)
35
21.)
16
22.)
7
23.)
4 x
24.)
8
4
2
17
Soluciones
63
Aplicación de las Reglas
25.) Del amanecer al mediodía: + 15º C
Del mediodía a la noche: – 8º C
Del amanecer a la noche: + 7º C
26.) $ 3,450.00
27.) 27 metros
28.) $ 102.50
Soluciones
64
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Regla de signos