Estadística Administrativa I
Período 2014-2
Teorema del límite central
Uso de la distribución muestral de medias
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Teorema del Límite Central
2
Si todas las muestras de un tamaño en particular
se seleccionan de cualquier distribución muestral
de medias se aproxima a una distribución normal.
Esta aproximación mejora con muestras grandes.
Teorema del Límite Central
› Si la población tiene una forma sin sesgo, entonces, en el caso de
cualquier tamaño de muestra, la distribución muestral de las medidas,
también será sin sesgo.
› Si se tiene una población con algún tipo de sesgo, utilizando más de
30 muestras se podrá generar una distribución de medias sin sesgo.
› NOTA: Este concepto es útil para el desarrollo de los temas de
Intervalos de confianza y Prueba de hipótesis.
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Teorema del Límite Central
› En el ejemplo anterior, el cálculo de la Media de la Distribución de
Medias generó un resultado bastante aproximado con relación a la
Media Poblacional.
› Ambos resultados al redondearlos nos generó un valor igual; sin
embargo, en el cálculo real, los datos no son iguales.
 = 7.33
 = 7.26
0.07
› Para establecer el error de estas diferencias, se utiliza una fórmula
que recibe el nombre de “error estándar de la media” que se basa en
la desviación estándar.
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Error estándar de la media
El nombre completo de esta medida es “Desviación
estándar de la distribución muestral de medias”,
significa que calcula la desviación estándar de las
medias resultantes en todas las muestras.
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Error estándar de la media

 =

› Cuando se incrementa el tamaño de la muestra, el error estándar de
la media se reduce debido a la mejor aproximación.
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Ejemplo…
Scrapper Elevator Co. Tiene 20 ejecutivos de ventas que
distribuyen su producto en Estados Unidos y Canadá. La
cantidad de elevadores vendidas el mes pasado se muestran
en la tabla de la derecha.
VENDEDOR
Juan
Yesenia
VENTAS
2
3
VENDEDOR
Pedro
Marcia
VENTAS VENDEDOR
3
Raquel
3
Roberto
VENTAS
2
4
Rebeca
Marvin
Antonia
3
7
5
Elías
Francisco
Tomás
2
3
3
Fernando
Leonardo
Rubén
2
4
3
Esteban
3
Ramiro
3
Teresa
5
Lucrecia
2
Cruz
5
7
Ejemplo…
Realizar las siguientes actividades
– Calcular la media y la varianza de la población
– Elegir 5 muestras aleatorias de 5 ejecutivos cada una
– Calcular la media de la distribución de medias
– Calcular el error estándar de la media
8
… Ejemplo
MEDIA POBLACIONAL
67
=
= 3.35
20
Varianza poblacional
9
… Ejemplo
3. Determinar 5 muestras aleatorias de 5 elementos
(ejecutivos) cada muestra
Muestra
#
1
2
3
4
5
x1
2
2
3
3
2
Datos de la muestra
x2
x3
x4
3
2
3
3
3
4
3
3
5
5
2
5
7
3
4
Esta la nueva muestra
x5
3
3
2
2
5
n=5
10
… Ejemplo
4. DISTRIBUCIÓN DE MEDIAS
Muestra
#
1
2
3
4
5
x1
2
2
3
3
2
Datos de la muestra
x2
x3
x4
3
2
3
3
3
4
3
3
5
5
2
5
7
3
4
x5
3
3
2
2
5
 =
2.6
3.0
3.2
3.4
4.2
3.28
La media de todas las medias es 3.28 contra 3.35 de
la media de la población.
11
… Ejemplo
5. Error estándar de la media

1. Media de la población = 3.35
2. Desviación estándar de la población
 =  2 = 1.6275 = 1.2757
3. Error estándar de la media*

1.2757
 =
=
= 0.5705

5
* Desviación estándar de la distribución muestral de medias
12
Uso de la distribución
muestral de las medias
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Para utilizar la distribución muestral de medias ya
se debe conocer la población; solo es de extraer
muestras y asumir que la distribución seguirá el
comportamiento de la distribución de probabilidad
normal con dos condiciones.
Uso de la distribución de muestras de las
medias
1.Cuando se sabe que las muestras se toman de poblaciones
regidas por la distribución normal. En este caso, el tamaño de la
muestra no constituye un factor.
2.Cuando se desconoce la forma de la distribución de población o
se sabe que no es normal; pero, la muestra contiene por lo menos
30 observaciones. En este caso, el teorema del límite central
garantiza que la distribución muestras de las medias sigue una
distribución normal.
14
Cálculo del valor de z de X cuando se
conoce la desviación estándar de la
población
15
=
−


El valor de z se apoya en el error estándar (no en la desviación estándar)
Ejemplo 1. . .
› Una población normal tiene una media de 60 y una
desviación estándar de 12. Usted selecciona una muestra
aleatoria de 9. Calcular la probabilidad de que la media
muestral sea mayor que 63.

63 − 60
63 − 60
> 63 =   >
= >
12
12

9
= >
63−60

= >
=   > 0.75 = 0.5 − 0.2734
= 0.2266

4
16
Ejemplo 2 . . .
› Una población normal tiene una media de 75 y una
desviación estándar de 5. Usted selecciona una muestra
aleatoria de 40. Calcular la probabilidad de que la media
muestral sea menor que 74.

74 − 75
74 − 75
< 74 =   <
= <
5
5
6.325
40
= <
74−75
.
= <
=   < −1.26 = 0.5 − 0.3962
= 0.1038
−
0.791
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Ejercicios del libro de texto
› Pagina 284
– Ejercicio 17
– Ejercicio 18
› Página 285 - 288
–
–
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–
–
–
Ejercicio 19
Ejercicio 23
Ejercicio 25
Ejercicio 27
Ejercicio 33
Ejercicio 35
Ejercicio 37
18
19
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