LEYES DEL ALGEBRA
PROPOSICIONAL
LEY DE LA DOBLE NEGACIÓN
Sea p una proposiciones simples o compuestas,
entonces:
 ( p )  p
2
LEY DE LA IDEMPOTENCIA
Sea p una proposiciones simples o compuestas,
entonces:
a) p  p  p
b) p  p  p
3
LEY DE IDENTIDAD
Sea p una proposiciones simples o compuestas,
entonces:
a) p  V  p
b) p  F  F
c) p  V  V
d) p  F  p
4
LEY DE LA CONTRADICCIÓN
Sea p una proposiciones simples o compuestas,
entonces:
p  p  F
Independiente del valor de verdad que tenga p,
la proposición: (p   p) siempre es falsa.
Ejemplos:
(q   q)
(r   r)
(a  b)   (a  b)
su valor de verdad es F
su valor de verdad es F
su valor de verdad es F
5
LEY DEL TERCER EXCLUIDO
Sea p una proposiciones simples o compuestas,
entonces:
p  p  V
Independiente del valor de verdad que tenga p,
la proposición: (p   p) siempre es verdadera.
Ejemplos:
(q   q)
(r   r)
(a  b)   (a  b)
su valor de verdad es V
su valor de verdad es V
su valor de verdad es V
6
LEY DE D´MORGAN
Si p, q son proposiciones simples o compuestas,
entonces:
a ) ( p  q )  p  q
b) ( p  q )  p  q
Ejercicio: Negar la proposición: “7 es un número primo y
30 es divisible por 5”.
Solución: Cambiamos “y” por “o” y negamos las
proposiciones simples que forman el enunciado, así:
Respuesta: “7 no es un número primo o 30 no es divisible
por 5”.
7
LEY DE LA CONDICIONAL
Si p, q son proposiciones simples o compuestas,
entonces:
p  q  p  q
Ejercicio:
Aplique la ley condicional a las proposiciones siguientes:
a. ( p  q)  r
b. p  (  q   r)
Solución:
a.  (p  q )  r ]   ( p  q )  r
b.  p  (  q   r ) ]   p  (  q   r )
8
LEY CONMUTATIVA
Si p, q, r son proposiciones simples o compuestas,
entonces:
a) p  q  q  p
b) p  q  q  p
c) p  q  q  p
9
LEY ASOCIATIVA
Si p, q, r son proposiciones simples o compuestas,
entonces:
a) ( p  q)  r  p  (q  r )
b) ( p  q )  r  p  ( q  r )
c) ( p  q)  r  p  (q  r )
10
LEY DISTRIBUTIVA
Si p, q, r son proposiciones simples o compuestas,
entonces:
a) p  (q  r )  ( p  q)  ( p  r )
b) p  ( q  r )  ( p  q )  ( p  r )
c) p  (q  r )  ( p  q)  ( p  r )
d ) p  (q  r )  ( p  q)  ( p  r )
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APLICACIÓN DE LAS LEYES DEL ALGEBRA
PROPOSICIONAL
Demostrar que:
 ( p  q )   p   q )]
Solución:
1. Aplicamos la ley de la condicional
 ( p  q )   ( p )   q 
2. Aplicamos ley de D´Morgan
 ( p )   q    ( p)   ( q )
3. Aplicamos Ley de la Doble Negación
 ( p)   ( q )  p  ( q)
Demostrado:  ( p  q )   p  (q)
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APLICACIÓN DE LAS LEYES DEL ALGEBRA
PROPOSICIONAL
Demostrar que:
( p  q)  p es una tautología
Solución:
1. Aplicamos la ley de la condicional
 ( p q )  p
2. Aplicamos ley de D´Morgan
( p   q )  p
3. Aplicamos Ley asociativa
( p  p)   q
4. Aplicamos ley del Tercer excluido
(V)   q
5. Aplicamos ley de la Identidad
(V)
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EJERCICIOS DE LAS LEYES DEL ALGEBRA
PROPOSICIONAL
1.- Demostrar que la siguiente proposición es
una tautología:
[ ( p  q)  (  q)]  (  p)
2.- Demostrar que la siguiente proposición es
una contradicción:
 [ ( p  q )  (  p  q ) ]   [  (  p  q ) ]
 (  p  q )
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CUANTIFICADORES
CUANTIFICADORES
Función Proposicional:
Es todo enunciado abierto, que tiene la propiedad de
convertirse en una proposición al ser sustituido la
variable “x” por una constante específica.
Se denota así: p(x) ; q(x) ; (se lee: p de x; q de x)
Ejemplo:
Sea : p(x): x+5=12 ; donde si reemplazamos x por 3 ,
la expresión es falsa; si reemplazamos
x por 7, la
expresión es verdadera. Esto escribimos así:
P(3): 3+5=12
es falsa
P(7): 7+5=12
es verdadera.
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TIPOS DE CUANTIFICADORES
Cuantificador Universal:
Es toda función proposicional precedida por el Prefijo
“Para Todo”.
Se denotado por:
Ejemplo:

x  R : x  0
2
Se lee: “Para todo x perteneciente a los reales, x² es
mayor o igual a cero”
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TIPOS DE CUANTIFICADORES
Cuantificador Existencial
Es toda función proposicional precedida por el prefijo
“Existe algún x”.
Se denotado por:
Ejemplo:
x
x  R : 2 x 2  8  0
Se lee: “Existe algún x perteneciente a los reales, 2x²
menos 8 igual a cero”
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