CÁLCULO
PROPOSICIONAL
VARIABLE PROPOSICIONAL
Es aquella que puede representar a una
proposición simple o compuesta pero su
valor de verdad es desconocido, mientras no
se especifiquen los valores de verdad de las
proposiciones involucradas.
Las variables proposicional se las representa
con las ultimas letras minúsculas del
alfabeto español, ejemplo: p, q, r, etc.
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FORMA PROPOSICIONAL
Son estructuras constituidas por variables
proposicionales y relacionadas con los
operadores lógicos.
Se las representa con las letras mayúsculas
del alfabeto español A,B, C….D.
Ejemplo:
3
FORMA PROPOSICIONAL
Observaciones
Las formas proposicionales no tienen valor
de verdad conocido y, por lo tanto, no serán
consideradas proposiciones.
Si
cada
variable
proposicional
es
reemplazada por una proposición simple o
compuesta, la forma proposicional se
convierte en una proposición.
4
FORMA PROPOSICIONAL
Ejemplo
Dada la siguiente forma proposicional.
Construya la Tabla de verdad de una forma
proposicional.
5
FORMA PROPOSICIONAL
Debido a la presencia de las 3 variables proposicionales p, q y r,
existirán 23 proposiciones posibles en la tabla de verdad de A.
Cuando las variables proposicionales p, q y r toman los valores de
verdad 1, 0 y 1, respectivamente,
se puede apreciar que la
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proposición resultante es verdadera.
Ejemplo:
Construir la tabla de vedad para las siguientes
formas proporcionales
B :  p  (q  p   q
Solución:
p
q
 p  (q  p)  q
V
V
F
V
V
F
F
V
F
F
V
F
V
V
F
V
V
F
F
V
F
F
F
V
F
F
F
V
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Ejemplo:
Construir la tabla de vedad para las siguientes
formas proporcionales
C :  p  (q  r )  ( p  r )  q 
Solución:
p
q
r
 p 
V
V
V
F
F
V
V
V
V
V
V
V
F
F
F
V
V
V
V
V
V
F
V
F
F
V
V
V
F
F
V
F
F
F
F
F
V
V
F
F
F
V
V
V
V
V
V
V
V
V
F
V
F
V
V
V
F
F
F
V
F
F
V
V
V
V
F
V
F
F
F
F
F
V
F
F
V
F
F
F
8
( q  r )
 ( p  r ) 
q

TAUTOLOGÍAS, CONTRADICCIONES
Y CONTINGENCIAS:
Dada la estructura lógica de una forma proposicional:
 Es Tautología, si los valores de su tabla de verdad
todos son verdaderos
 Es Contradicción, si los valores de su tabla
verdad, todos son falsos.
de
 Es Contingencia, si los valores de su tabla de
verdad hay valores verdaderos y falsos
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Ejercicio: Determinar si la siguiente forma
proposicional es tautológico, consistente o
contradictorio.
[~ (p  q)  (~ q ~ p)] p
[~ (p  q)  (~ q  ~ p)]  p
p
q
V
V
F
V
V
F F F
V V
V
F
F
V
V
V F F
V V
F
V
F
V
V
F F V
V F
F
F
V
F
V
V V V
V F
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Cálculo Proposicional
 Determina el valor de verdad de las siguientes expresiones, si
se sabes que:




(V)
(F)
(V)
(F)
p: María es doctora.
q: María es casada.
r: María vive con sus padres.
s: María viajará a España.
(q  r)  s
(F  F)  F
V F
F
(p  r)  (p  q)
(V  V)  (V  F)
V F
V
EJERCICIOS
1. Si se sabe únicamente que P es verdadero, ¿Qué puede
afirmarse del valor de verdad de cada una las proposiciones
siguientes?
 PΛQ
R→P
S→~P
 RѴP
P→Q
R → (S → P)
 RΛP
P→PѴS
P Ѵ S → (Q Λ ~ P)
 SѴ~P
~P→QΛR
QΛ~P→RΛQ
2.- Determinar cuáles de las siguientes proposiciones son
tautologías:
 PΛQ→PΛR
(P → Q ) → ( ~ Q →P )
 P→PΛQ
(P ↔ Q) Λ (P Λ ~ Q)
 P Λ ~ (Q Ѵ P)
P Λ ~ ((P Ѵ Q) Ѵ R)
 (P → (Q Ѵ ~ P)) → ~ Q
P Ѵ (~ P Ѵ R)
RECORDEMOS:
Las
formas
proposicionales
pueden
ser
conectadas con operadores lógicos para formar
nuevas formas proposicionales. Dadas A y B,
los símbolos:
IMPLICACIÓN LÓGICA
Sean A y B dos formas proposicionales, se dice que
A implica lógicamente a B, denotado por AB , si y
sólo si AB es una tautología.
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EJEMPLO DE IMPLICACIÓN LÓGICA
Dada las siguientes formas
demostrar que A implica a B
A: p  q
B: p  q
proposicionales,
Solución: Unimos con la condicional (p  q)  (p  q) y
construimos la tabla:
El resultado es tautología, se ha demostrado que A implica a B.
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EQUIVALENCIA LÓGICA
Se dice que dos proposiciones son equivalentes,
si tienen iguales valores de verdad.
Se lo representa por “
operador lógico.

” pero no es un
Ejjercicio: Demostrar que las siguientes formas
proposicionales son equivalentes
A: p  q
B:pq ,
Solución: se construye la tabla
de verdad y luego se verifica los
resultados
Resp: si son equivalentes
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p  q ~p ∨ q
p
q
V
V
V
V
V
F
F
F
F
V
V
V
F
F
V
V
Principales leyes lógicas o Tautologías:
Entre estas se tiene :
1.  de identidad:
p p y p p
2.  Ley de contradicción :
~ ( p   p)
3.  Ley del Tercio excluido:
pp
4.  Ley Del Modus Ponens:
 p  ( p  q )  q
5.  Ley de Sim plificación :
a) p  q  p
b) p  q  q
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Principales Leyes Lógicas
6..Ley de ModusTollens:
( p  q)  q   q
7.  Ley del Si log ism o hipotètico
( p  q)  (q  r )  ( p  r )
8.  Ley del Si log ism o Disyuntivo:
( p  q)  q   q
9.  Ley del Absurdo:
a )  p  (q   q )   p
b) (  p  q )  (  p   q )  p
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Equivalencias Notables
1.  Ley de involución: ( Doble negación) :
 ( p)  p
2.  Ley de Idem potenc
ia :
a) p  p  p
b) p  p  p
3.  Ley Conm utativa :
a) p  q  q  p
b) p  q  q  p
c) p  q  q  p
4.  Ley Asociativa:
a) ( p  q)  r  p  (q  r )
b) ( p  q )  r  p  ( q  r )
c) ( p  q)  r  p  (q  r )
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Equivalencias notables:
5.  Leyes Distributivas :
a) p  (q  r )  ( p  q)  ( p  r )
b) p  ( q  r )  ( p  q )  ( p  r )
c) p  (q  r )  ( p  q)  ( p  r )
d ) p  (q  r )  ( p  q)  ( p  r )
6.  Ley de D´Morgan:
a)  ( p  q)   p  q
b)  ( p  q )   p   q
7.  Leyes de Com plem ento :
a) p  q  V
b)  (  p )  p
c) p   p  F
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Principales leyes lógicas
8.  Leyes delCondicional :
a) p  q   p  q
b)  ( p  q )  p   q
c) ( p  q )  q   p
9.  Ley del Bicondicional :
a) ( p  q)  ( p  q)  (q  p)
b) ( p  q )  ( p  q )  (  p   q )
10.  Leyes de Identidad:
a) p  V  V
b) p  V  p
c) p  F  p
d) p  F  F
11.  Ley de Absorsión:
a) p  ( p  q)  p
b) p  ( p  q )  p
c) p  ( p  q )  p  q
d ) p  ( p  q)  p  q
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Principales leyes lógicas
12.  Ley de Transposición :
a) ( p  q)  (q   p)
b) ( p  q )  (  q   p )
13.  Ley de Exportación :
a) ( p  q)  r  p  (q  r )
b)( p1  p 2  p3  ....p n )  r   ( p1  p 2  p3  ....p n )  ( p n  r )
14.  Elem entosNeutros :
a) p  T  p
b) p  T  T
d) p  C  C
c) p  C  p
T  Tautolog ía ; C  Contradicción
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CUANTIFICADORES
Función Proposicional:
Es todo enunciado abierto, que tiene la propiedad de convertirse
en una proposición al ser sustituido la variable “x” por una
constante específica. Se les denota asi:
P(x) ; q(x) ; etc.
Ejemplo:
Sea : p(x): x+5=12 ; donde si reemplazamos x por 3 , la
expresión es falsa; si reemplazamos x por 7, la expresión es
verdadera. Esto escribimos asi:
P(3): 3+5=12
es falsa
P(7): 7+5=12
es verdadera.
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TIPOS DE CUANTIFICADORES
1.- Cuantificador Universal:
Es toda función proposicional presedida por el Prefijo “Para Todo”,
que está denotado por:

Así por ejemplo:
x  R : x 2  0
Se lee: “Para todo x perteneciente a los reales, x2es mayor o igual
a cero”
2.- Cuantificador Existencial
Es toda función proposicional presedida por el prefijo “Existe algún
x”, que está denotado por : x : se lee : " Existe a lg ún x"
Ejemplo: x  R : 2 x 2  8  0
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Negación de los Cuantificadores:
Dada una función proposicional , tal como : P(x), entonces
si esta función proposicional está cuantificada y se
niega,entonces, se cumple la siguiente igualdad:
 x  A : p( x)  x  A :  p( x)
Dada una función proposicional, tal como : P(x), entonces,
si esta función proposicional está cuantificada en forma
existencial y se niega, entonces, se cumple la igualdad:
 x  A : p( x)  x  A :  p( x)
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Circuitos lógicos
Llamados también redes lógicas. Son como su nombre
indica, redes que representan posiciones lógicas.
Estas redes se presentan como redes en serie o
como redes en paralelo
 Una Conexiónen serie seasocia con la CONJUNCIÓN
pq :
/p
/q
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 Una Conexiónen paralelo se asocia con la DISYUNCIÓN
.
pq :
P/
q/
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Circuitos lógicos
Describir simbólicamente el circuito
r
p
~q
q
~r
1. r y ~q están conectados en paralelo :
2. P y (r y ~q) están conectados en serie:
3. q y ~r están conectados en serie:
p  (r ~ q)
y
Luego se simboliza:
r v ~q
p  (r ~ q)
q~r
q  ~ r Están conectados en paralelo,
p  (r ~ q) (q ~ r)
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Circuitos lógicos
Determinar el circuito equivalente al circuito:
~p
~p
q
q
p
~p
Solución
El circuito se simboliza por:
~ p  q  p  ~ p  q ~ p
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Circuitos lógicos
Solución
~ p  q  p  ~ p  q ~ p
Simplificamos utilizando las leyes lógicas y las equivalencias
notables.
~ p  p  q  ~ p ~ p  q
Asociativa
T  q  ~ p  q
Ley del tercio excluido , Idempotencia.
T  ~ p  q
~ pq
Elemento neutro para
la conjunción
~p
El circuito equivalente es:
q
29
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USMP U N I V E R S I D A D DE SAN MARTIN DE PORRES