Dado un triángulo ABC cualquiera:
Siempre se cumple lo siguiente: A + B + C =180º
Si conocemos tres de los parámetros de un triángulo,
siempre podemos hallar los otros tres.
Nomenclatura:
Ley de los senos:
sen ( A )
a
=
sen ( B )
b
=
sen ( C )
c
Se aplica cuando se conocen las medidas de:
a ) Dos lados y uno de los ángulos opuestos a ellos.
b ) Dos ángulos y un lado.
Ejemplo: a =10cm, c =24cm y A = 28º 36´
Demostración de la ley de los senos
Ley de los cosenos:
a 2 = b 2 + c 2 – 2 b c cos ( A )
b 2 = a 2 + c 2 – 2 a c cos ( B )
c 2 = a 2 + b 2 – 2 a b cos ( C )
Se aplica cuando se conocen las medidas de:
a ) Los tres lados.
b ) Dos lados y el ángulo comprendido por ellos.
Ejemplo: a =12cm, c =14cm y B = 42º 27´
Demostración de la ley de los cosenos
En los siguientes casos de triángulos se proporcionan ciertos
datos. Calcula el valor de las incógnitas:
a)Datos: a = 18 cm b = 43 cm B = 25°
b) Datos: b = 5 cm C = 63°45' B = 84°
En los siguientes casos de triángulos se proporcionan ciertos
datos. Calcula el valor de las incógnitas:
a)Datos: a = 20 cm b = 32 cm c = 25cm
b) Datos: a = 20 cm b = 32 cm c = 55cm
En los siguientes casos de triángulos se proporcionan ciertos
datos. Calcula el valor de las incógnitas:
a)Datos: a = 18 cm C = 62º 34´ B = 36°
b) Datos: b = 15 cm C = 33°24' B = 104°
Método de doble observación:
Desde un cierto punto del suelo se ve el punto superior de una iglesia bajo un
ángulo de 37°. Si nos alejamos 42 m hacia otro punto del suelo, alineado con el
anterior y con el pie de la torre de la iglesia, vemos lo vemos bajo un ángulo de
22º. Calcula la altura del campanario.
Método de doble observación:
Desde un cierto punto del suelo se ve la copa de un pino bajo un ángulo de 65°.
Si nos alejamos 20 m hacia otro punto del suelo, alineado con el anterior y con
el pie del pino, vemos la copa bajo un ángulo de 33º. Calcula la altura del pino si
la altura de nuestros ojos es de 1,7m.
Método de doble observación:
Desde un cierto punto del mar se ve la parte superior de un faro bajo un ángulo
de 18°. Si nos movemos a una velocidad de 4m/s durante 12s en una recta
alineada con el anterior y con el pie del faro, lo vemos bajo un ángulo de 73º.
Calcula la altura del faro si la de la barca y el aparato de medida suman 3,2m.
Un individuo desea conocer la altura de un acantilado. Para esto
observa el punto más alto y lo ve con una inclinación de 20º. Al
acercarse 32m al pie del acantilado el ángulo pasa a ser de 42º.
¿Cuánto vale la altura?
Una persona desea conocer la altura de un globo aerostático. Para
esto lo observa y lo ve con una inclinación de 12º. Al acercarse 20m
al pie de la vertical del globo el ángulo pasa a ser de 37º. ¿Cuánto
vale la altura?
CASO ESPECIAL: a,b,B y a>b
Ejemplo: a = 16cm, b = 12cm y B = 20º32´
Ejemplo: c = 8cm, b = 12cm y C = 16º 54´
Ejemplo: b = 8cm, a = 16cm y B = 14º 40´
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Ley de los senos